شرح التحويلات المركبة

Combined Transformations

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. One Transformation, Then Another

التحويل المركّب يعني حركتين متتاليتين، والحركة الثانية تُطبَّق على صورة الحركة الأولى لا على الشكل الأصلي. أولًا نفّذ الحركة الأولى وسمِّ الشكل الجديد، ثم نفّذ الحركة الثانية على هذا الشكل الجديد وسمِّ الناتج. إذا طُلب منك تحويل واحد يكافئ الحركتين، فقارن الشكل الأصلي بالناتج الأخير فقط. نصيحة: تتبّع رأسًا واحدًا عبر الخطوتين، فموضعه في البداية والنهاية يكشف لك التحويل الواحد غالبًا.

A combined transformation is two moves in a row. The second move acts on the first image, not on the original shape.

Steps

1
Do the first move. Label the new shape B.
2
Do the second move to B. Label the result C.
3
If asked, compare the first shape with C and describe one move that does the same.

Key idea

Track one corner through both steps. Its start and end often name the single move.

2. Two Reflections Can Make a Turn

سؤال شائع: انعكاس في محور السينات ثم انعكاس في محور الصادات، والمطلوب تحويل واحد. الانعكاس في محور السينات يغيّر إشارة الإحداثي الصادي ويُبقي السيني كما هو، ثم الانعكاس في محور الصادات يغيّر إشارة الإحداثي السيني ويُبقي الصادي. قارن الشكل الأول بالأخير فقط وتجاهل الشكل الأوسط: ستجد أن إشارتي الإحداثيين تغيّرتا معًا، وهذا دوران نصف دورة حول نقطة الأصل، ونصف الدورة لا يحتاج إلى ذكر الاتجاه. الخطأ الشائع أن تكتب «انعكاس ثم انعكاس»، والسؤال يريد تحويلًا واحدًا.

The common question: reflect A in the x-axis to get B, then reflect B in the y-axis to get C. Describe the single transformation from A to C.

Worked example

1
$(1, 2) \to (1, - 2)$ — Reflect A in the x-axis first. A corner flips to the other side of the axis, so the y value changes sign and the x value stays. Call the new shape B.
2
$(1, - 2) \to (- 1, - 2)$ — Now reflect B in the y-axis. The x value changes sign and the y value stays. Call the result C.
3
$(1, 2) \to (- 1, - 2)$ — Compare A with C only and ignore B. Both numbers have changed sign.
4
$Rotation 18 0^{\circ}, centre (0, 0)$ — Both signs changing means a half turn about the origin. A half turn needs no direction.

Common mistake

Answering "a reflection, then another reflection". The question wants one transformation.

3. The Order Matters

إذا بدّلت ترتيب حركتين فقد تصل إلى نقطة مختلفة، ونختبر ذلك بنقطة واحدة. في الترتيب الأول نعكس في المستقيم الذي يتساوى عليه الإحداثيان فيتبادلان مكانيهما، ثم ندير ربع دورة مع عقارب الساعة حول نقطة الأصل، وهذا الدوران يضع الإحداثي الصادي أولًا وسالب الإحداثي السيني ثانيًا. في الترتيب الثاني ندير أولًا ثم نعكس. ينتهي الترتيبان عند نقطتين مختلفتين، فالترتيب مهم. الترتيب الأول يكافئ انعكاسًا في محور السينات، والثاني يكافئ انعكاسًا في محور الصادات؛ لذلك نفّذ الحركات دائمًا بالترتيب المذكور في السؤال.

Swap the order of two moves and you can land somewhere else. Test with one point, (2, 1).

Worked example

1
$(2, 1) \to (1, 2)$ — Order 1, move 1: reflect in y = x. This swaps the two numbers.
2
$(1, 2) \to (2, - 1)$ — Order 1, move 2: turn 90° clockwise about O. A clockwise quarter turn changes (x, y) to (y, −x), so (1, 2) goes to (2, −1).
3
$(2, 1) \to (1, - 2)$ — Order 2, move 1: turn 90° clockwise first. Using (x, y) → (y, −x), the point (2, 1) goes to (1, −2).
4
$(1, - 2) \to (- 2, 1)$ — Order 2, move 2: reflect in y = x. This swaps the numbers, so (1, −2) goes to (−2, 1).
5
$(2, - 1) \neq = (- 2, 1)$ — The two orders end at different points, so the order matters.

Key idea

Order 1 does the same as a reflection in the x-axis, and order 2 the same as a reflection in the y-axis. Always do the moves in the order the question gives.

4. Two Reflections in Parallel Lines

هنا انعكاسان في مستقيمين رأسيين متوازيين. في الانعكاس الأول تقع الصورة على البعد نفسه من المرآة لكن في الجهة الأخرى، ثم نعكس هذه الصورة في المرآة الثانية بالطريقة نفسها. بعدها نقارن نقطة البداية بنقطة النهاية فنجد أن النقطة انزلقت أفقيًا فقط. النتيجة انتقال، ونكتبه باسمه مع متجه العمود؛ ومقدار الانزلاق ضعف المسافة بين المرآتين، في اتجاه السير من المرآة الأولى نحو الثانية. القاعدة: انعكاسان في مستقيمين متوازيين يعطيان انتقالًا، وانعكاسان في مستقيمين متقاطعين يعطيان دورانًا حول نقطة التقاطع.

Reflect in $x = 1$ , then in $x = 4$ . The two mirror lines are parallel, 3 apart.

Worked example

1
$(2, 3) \to (0, 3)$ — Reflect in x = 1 first. The point is 1 to the right of the line, so its image is 1 to the left, at x = 0.
2
$(0, 3) \to (8, 3)$ — Now reflect this image in x = 4. It is 4 to the left of that line, so the new image is 4 to the right, at x = 8.
3
$(8 - 2, 3 - 3) = (6, 0)$ — Compare the start with the end. The point has moved 6 right and 0 up.
4
$Translation by (60)$ — Give the name and the column vector. The lines are 4 − 1 = 3 apart, and the slide is twice the gap: 2 × 3 = 6, from the first line towards the second.

Key idea

Two reflections in parallel lines give a translation. Two reflections in lines that cross give a rotation about the crossing point.

5. Reflections in Crossing Lines

المرآتان المتقاطعتان لا تعطيان انزلاقًا بل دورانًا حول نقطة تقاطعهما. زاوية الدوران تساوي ضعف الزاوية بين المرآتين، واتجاه الدوران من المرآة الأولى نحو الثانية. في المثال: المرآة الأولى محور السينات والثانية المستقيم الذي يتساوى عليه الإحداثيان، والزاوية بينهما نصف قائمة، فالدوران ربع دورة عكس عقارب الساعة حول نقطة الأصل. نتحقق بنقطة واحدة نطبّق عليها الانعكاسين ونقارن النتيجة بالدوران. لو عكسنا ترتيب المرآتين لصار الدوران مع عقارب الساعة. الخطأ الشائع أن تكتب الزاوية بين المرآتين على أنها زاوية الدوران، والصحيح أنها ضعفها.

Mirror lines that cross do not give a slide. They give a turn about the point where the lines meet.

Formula

angle of rotation = 2 \times angle between the mirror lines

The centre is where the two lines cross. The turn goes from the first line towards the second.

Worked example

1
$angle between the lines = 4 5^{\circ}$ — Reflect in the x-axis, then in y = x. The line y = x goes 1 across for every 1 up, so it makes 45° with the x-axis.
2
$2 \times 4 5^{\circ} = 9 0^{\circ}$ — The angle of rotation is twice the angle between the lines.
3
$centre (0, 0)$ — The x-axis and y = x cross at the origin, so the origin is the centre.
4
$from the x -axis to y = x : anticlockwise$ — Going from the first line to the second means turning anticlockwise, so the rotation is anticlockwise.
5
$(2, 1) \to (2, - 1) \to (- 1, 2)$ — Check with a point. The x-axis gives (2, −1). Swapping the numbers for y = x gives (−1, 2).
6
$(x, y) \to (- y, x) : (2, 1) \to (- 1, 2)$ — A 90° anticlockwise turn about the origin does exactly this, so the check agrees.
7
$Rotation 9 0^{\circ} anticlockwise, centre (0, 0)$ — Give the name, the angle with its direction, and the centre.

Key idea

Do the mirrors in the other order (y = x first, then the x-axis) and the turn goes the other way: 90° clockwise.

Common mistake

Giving the angle between the lines as the angle of rotation. The turn is twice as big.

6. Which Method? Read the Question

اقرأ السؤال جيدًا: أي حركة تأتي أولًا؟ وهل يطلب منك تحويلًا واحدًا في النهاية؟ إذا قال «نفّذ هذا ثم ذاك» فالحركة الثانية تُطبَّق على صورة الأولى. وإذا طلب تحويلًا واحدًا من الشكل الأول إلى الأخير فقارن بينهما فقط. انعكاسان في مستقيمين متوازيين يعطيان انتقالًا مقداره ضعف المسافة بينهما، وانعكاسان في مستقيمين متقاطعين يعطيان دورانًا حول نقطة التقاطع. وإذا قال «صِف وصفًا كاملًا» فارجع إلى درس وصف التحويلات. ارسم الشكل الأوسط حتى لو لم يُطلب، فهو يحميك من الخلط بين الخطوات.

Read which move comes first, and whether you must name one move at the end.

You see	You do
Do this, then that	the second move acts on the first image
Single transformation, A to C	compare A and C only
Two reflections, parallel lines	a translation, twice the gap
Two reflections, crossing lines	a rotation about the crossing point
Describe fully	Describing Transformations

Key idea

Draw the middle shape even if you are not asked for it. It stops you mixing up the steps.

تدرّب على التحويلات المركبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara