شرح الاحتمال الشرطي

Conditional Probability

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What "Given That" Means

عبارة «علمًا بأن» تعني أن شيئًا ما معروف مسبقًا عن الشخص أو الشيء المختار، فأنت تختار من تلك المجموعة الأصغر فقط. هذا هو الاحتمال المشروط: البسط هو عدد من يحققون الشرطين معًا، والمقام هو عدد المجموعة المعروفة فقط، لا الجميع. وهناك لغز مشهور: جائزة خلف أحد ثلاثة أبواب، تختار بابًا، فيفتح المقدم الذي يعرف مكانها بابًا آخر فارغًا. هل تغيّر اختيارك؟ نعم! لأن اختيارك الأول صحيح في ثلث المرات فقط، فالتغيير يفوز في الثلثين.

"Given that" tells you something is already known about the person or thing chosen. So you only choose from that smaller group.

Formula

P (A given B) = \frac{number in both}{number in B}

B is the group you already know about. A is what you want to find inside that group.

Rule

Given that: the bottom of the fraction is the smaller group, not everyone.

Key idea

Puzzle: a prize is behind one of 3 doors. You pick one. The host, who knows where the prize is, opens another door with nothing behind it. Should you switch? Yes! Your first pick was right only $\frac{1}{3}$ of the time, so switching wins $\frac{2}{3}$ of the time.

2. Given That From a Table

السؤال الأشهر: «اختير أحد هواتف النوع الأول» أو «علمًا بأن سعة الهاتف كذا». هذه العبارة تحدد المجموعة التي تختار منها. اجمع الصف أو العمود الخاص بتلك المجموعة فيصبح هو المقام الجديد، ثم ضع في البسط الخانة التي تحقق المطلوب داخلها. انتبه: إذا بدّلت المجموعة المعطاة تغيّر الجواب، فالمقام مرة مجموع صف ومرة مجموع عمود. الخطأ الشائع: القسمة على العدد الكلي لكل الهواتف، مع أن الاختيار من مجموعة واحدة فقط.

The most common 1 or 2-mark question: "One of the type A phones is chosen." or "Given that the phone is 128 GB..." A shop sold 155 phones.

Phone	64 GB	128 GB
Type A	38	47
Type B	29	41

Worked example

1
$type A = 38 + 47 = 85$ — “One of the type A phones” means only type A can be chosen. Add along the row: 85 phones is the new total.
2
$P (128 GB) = \frac{47}{85}$ — 47 of those 85 type A phones are 128 GB. The group you are given goes on the bottom.
3
$128 GB = 47 + 41 = 88$ — Now the question says “given 128 GB”. Add down the column: 88 phones are 128 GB.
4
$P (type B) = \frac{41}{88}$ — 41 of those 88 are type B, so 88 is the bottom this time.

Common mistake

Dividing by 155. "One of the type A phones" means only the 85 type A phones can be chosen.

Key idea

Swap the group and the answer changes. Given type A, 128 GB is $\frac{47}{85}$ . Given 128 GB, type A is $\frac{47}{88}$ .

3. Given That From a Grouped Table

جدول مجمّع بفترات زمنية، والسؤال: «علمًا بأن المتسوق قضى أكثر من مدة معينة، ما احتمال أنه قضى أكثر من مدة أطول؟». أولًا حدّد الصفوف التي تحقق الشرط المعطى واجمعها، فهذه هي المجموعة المعطاة وهي المقام. ثم داخل هذه المجموعة حدّد الصفوف التي تحقق المطلوب وضعها في البسط. الخطأ الشائع: القسمة على عدد المتسوقين كلهم؛ من لم يحقق الشرط المعطى لا يمكن اختياره، فاستبعده.

The 2-mark question: "Given that a shopper spent more than 24 minutes, find the probability they spent more than 36 minutes."

Minutes	Shoppers
$0 < t \leq 12$	6
$12 < t \leq 24$	11
$24 < t \leq 36$	13
$36 < t \leq 48$	10

Worked example

1
$t > 24 : 13 + 10 = 23$ — More than 24 minutes means the last two rows. Add them: 23 shoppers is the group you are given.
2
$t > 36 : 10$ — Inside that group, only the last row took more than 36 minutes.
3
$P = \frac{10}{23}$ — The part you want over the group you are given. 10 and 23 share no factor, so it does not simplify.

Common mistake

Writing $\frac{10}{40}$ . The 17 shoppers under 24 minutes cannot be chosen, so leave them out.

4. Given That From a Venn Diagram

في مخطط فن، عبارة مثل «اختير طالب من الذين يسبحون» تعني أن تلك الدائرة هي الكلي الجديد. اجمع كل المناطق داخل تلك الدائرة، ومنها التقاطعات، فهذا هو المقام. ثم داخلها ابحث عن المناطق التي تقع أيضًا في الدائرة الأخرى واجمعها للبسط. وإذا كان المخطط أو الشجرة يعرض احتمالات بدل الأعداد، فالاحتمال المشروط يساوي احتمال حدوث الحدثين معًا مقسومًا على احتمال الحدث المعطى؛ والخط العمودي في الرمز يعني «علمًا بأن». الناتج يكون أكبر من احتمال «كلاهما» لأننا نحسب داخل المجموعة المعطاة فقط. الخطأ الشائع: القسمة على عدد الطلاب كلهم بدل عدد الدائرة.

Exams often say “a student is picked from those who swim”. The circle you are told about is the new total.

40 students: football (F), tennis (T), swimming (S). The Venn diagram regions are:

Region	Students
F only	7
T only	5
S only	6
F and T only	3
F and S only	4
T and S only	2
All three	1
None	12

A student is picked from those who swim. Find the probability they also play tennis.

Worked example

1
$n (S) = 6 + 4 + 2 + 1 = 13$ — Add every region inside the S circle, including the overlaps. These 13 swimmers are the only ones who can be picked.
2
$n (S \cap T) = 2 + 1 = 3$ — Inside S, find the regions that are also in T: “T and S only” and “all three”. That is 3.
3
$P (T given S) = \frac{3}{13}$ — The part you want over the circle you are given.

When the Venn diagram or tree shows probabilities instead of numbers, use this.

Formula

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}

The bar $∣$ means “given”. $A \cap B$ means A and B both happen. $P (B)$ is the probability of the thing you are told has happened.

Worked example

1
$P (rain) = 0.3, P (rain \cap wind) = 0.12$ — Read the two probabilities. The day is given to be rainy, so rain is B.
2
$P (wind ∣ rain) = \frac{0.12}{0.3}$ — Put “both” on top and the given event on the bottom.
3
$= 0.4$ — 0.12 ÷ 0.3 = 1.2 ÷ 3 = 0.4. It is bigger than 0.12 because only rainy days count now.

Common mistake

Dividing by 40 in the swimming question. “From those who swim” means only the 13 in circle S can be picked.

5. Given That From a Sample Space

سؤال مثل «علمًا بأن المجموع فردي». الطريقة: املأ جدول النتائج كله أولًا، وكل خانة لها الفرصة نفسها. ثم احذف الخانات التي لم تحدث حسب الشرط المعطى، واحتفظ فقط بالخانات التي تحققه، فعددها هو المقام. بعد ذلك عُدّ داخلها الخانات التي تحقق المطلوب وضعها في البسط. الخطأ الشائع: القسمة على عدد كل الخانات، مع أن الخانات التي لا تحقق الشرط لم تحدث فتُستبعد. واكتب الكسر دائمًا، فالمقام الصحيح وحده قد يأخذ درجة.

A common 2 or 3-mark question: “Given that the total is odd…”. Fill the table, cross out the cells that did not happen, then count.

Lola picks a number from 1, 2, 3, then a number from 2, 4, 5, and adds them. Given that the total is odd, find the probability that one of the numbers she picks is 2.

+	1	2	3
2	3	4	5
4	5	6	7
5	6	7	8

Worked example

1
$3 \times 3 = 9 cells$ — Every first number goes with every second number. Each of the 9 cells is equally likely.
2
$3, 5, 5, 7, 7$ — “Given the total is odd”: keep only the odd cells. There are 5, so 5 goes on the bottom.
3
$1 + 2, 2 + 5, 3 + 2$ — Inside those 5 cells, find the ones where one of the numbers picked is a 2. There are 3.
4
$P = \frac{3}{5}$ — The cells you want over the cells you are given.

Common mistake

Dividing by 9. Once you know the total is odd, the 4 even cells cannot have happened, so leave them out.

Key idea

Always write the fraction. A right bottom number, like 5 here, can score a mark even if the top is wrong.

6. Given That, Then Two Picks

يُختار شخصان من مجموعة محددة، مثل «اثنان من لاعبي الشطرنج». استعمل تلك المجموعة فقط، فهي المقام الأول، ولا يُحسب باقي أعضاء النادي. الاختيار الأول: عدد من يحققون المطلوب داخل المجموعة على حجمها. الاختيار الثاني: الشخص نفسه لا يُختار مرتين، فينقص البسط واحدًا وينقص المقام واحدًا. ثم اضرب الكسرين لأن الحدثين يجب أن يقعا معًا، وبسّط. الخطأ الشائع: استعمال عدد كل أعضاء النادي في المقام بدل المجموعة المحددة.

The 3-mark question: two people are picked from one group, like “two of the students who like tennis”. Use only that group, and the second pick has one fewer.

A club has 30 members. 12 play chess, and 8 of those also play draughts. Two of the chess players are picked at random. Find the probability that both play draughts.

Worked example

1
$group = 12$ — Only the 12 chess players can be picked, so 12 is the first bottom. The other 18 members do not count.
2
$P (1st draughts) = \frac{8}{12}$ — 8 of the 12 chess players also play draughts.
3
$P (2nd draughts) = \frac{7}{11}$ — The same person cannot be picked twice. One draughts player is gone, so 7 are left out of 11.
4
$\frac{8}{12} \times \frac{7}{11} = \frac{56}{132}$ — Both must happen, so multiply along the path.
5
$= \frac{14}{33}$ — Divide top and bottom by 4 to simplify.

Common mistake

Using $\frac{8}{30} \times \frac{7}{29}$ . The two people come from the 12 chess players, not the whole club.

7. Given That on a Tree

هنا احتمال الحدث الثاني يعتمد على نتيجة الأول، فتختلف الفروع الثانية بعد الفوز عنها بعد الخسارة. ارسم الشجرة: الفرع الأول فوز أو خسارة، ثم بعد كل منهما فرعان باحتمالاتهما الخاصة، وكل زوج فروع مجموعه واحد، فالخسارة هي الواحد ناقص الفوز. احتمال أي مسار هو حاصل ضرب الاحتمالات على طوله. وإذا كان المطلوب «فوز واحد بالضبط» فهناك مساران: فوز ثم خسارة، وخسارة ثم فوز، فاجمعهما. الخطأ الشائع: استعمال احتمال السباق الأول نفسه في السباق الثاني؛ انظر على أي فرع أنت.

The 3-mark question: the chance of the second event depends on the first. The second branches are different after each first result.

Emma wins her first race with probability 0.6. If she wins a race, she wins the next with probability 0.7. If she loses, she wins the next with probability 0.4.

Worked example

1
$P (W, W) = 0.6 \times 0.7 = 0.42$ — Win the first race (0.6), then win again. After a win the branch is 0.7. Multiply along the path.
2
$P (W, L) = 0.6 \times 0.3 = 0.18$ — Win, then lose. After a win, losing is 1 − 0.7 = 0.3, because the two branches add to 1.
3
$P (L, W) = 0.4 \times 0.4 = 0.16$ — Lose the first (1 − 0.6 = 0.4), then win. After a loss the branch is 0.4.
4
$exactly one = 0.18 + 0.16 = 0.34$ — Win then lose, and lose then win, both have exactly one win. Either path will do, so add them.

Common mistake

Using 0.6 again for the second race. After a win it is 0.7, after a loss it is 0.4. Read which branch you are on.

Key idea

Three races? Same idea: multiply along each path, and each branch depends on the race before it.

8. Which Method? Read the Question

دليل لاختيار الطريقة في الاحتمال المشروط: ابحث أولًا عن المجموعة المعطاة، فهي المقام الجديد. «اختيرت إحدى البنات»: اقسم على البنات فقط. «علمًا بأن» صفة في جدول: اقسم على مجموع ذلك العمود أو الصف. جدول مجمّع: اجمع فقط الصفوف التي تحقق الشرط. جدول نتائج: عُدّ الخانات التي تحقق الشرط فقط. اختيار شخصين من مجموعة: المجموعة في المقام ثم ينقص واحدًا. احتمالات لا أعداد: احتمال الحدثين معًا على احتمال الحدث المعطى. «إذا فازت فإن...»: الفروع التالية تتغير. وتحقق: مقام إجابة «علمًا بأن» أصغر من العدد الكلي.

Find the group you are given. That is your new total.

You see	You do
One of the girls is chosen	divide by the girls only
Given that it is 128 GB	divide by that column
Given more than 24 minutes	add only the rows above 24
Given that the total is odd	count only the odd cells
Two picked from one group	that group on the bottom, then one fewer
Probabilities, not numbers	$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$
If she wins, then...	the next branches change
Chosen from everyone	Probability from Tables and Charts
Picked from those in one circle	divide by everyone in that circle
Taken and not put back	Tree Diagrams for Dependent Events

Key idea

Check: the bottom of a given that answer is smaller than the grand total.

تدرّب على الاحتمال الشرطي

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاحتمال الشرطي

1. What "Given That" Means

2. Given That From a Table

3. Given That From a Grouped Table

4. Given That From a Venn Diagram

5. Given That From a Sample Space

6. Given That, Then Two Picks

7. Given That on a Tree

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاحتمال الشرطي

أسئلة امتحانات سابقة على الاحتمال الشرطي، محلولة ومشروحة بالعربي