شرح الهندسة الإحداثية للأشكال

Coordinate Geometry of Shapes

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Shapes on a Grid

في هذه الأسئلة تُعطى بعض رؤوس الشكل ويُطلب الباقي، فتتحول خصائص الشكل إلى أدوات في الإحداثيات. الأضلاع المتقابلة المتوازية المتساوية لها الخطوة نفسها أفقيًا ورأسيًا. والزوايا القائمة تعني أن حاصل ضرب الميلين يساوي سالب واحد، وكذلك تقاطع قطري المعين أو الطائرة الورقية بزاوية قائمة. والقطران اللذان ينصّف كل منهما الآخر لهما نقطة المنتصف نفسها. والضلعان المتساويان في المثلث المتساوي الساقين نقارن طوليهما. والطائرة الورقية متماثلة حول أحد قطريها، فنعكس الرأس في هذا القطر. وارسم الشكل دائمًا والحروف بالترتيب حوله، لأن الترتيب يخبرك أي الرؤوس متصلة.

These questions give some corners of a shape and ask for the rest. The shape's facts become coordinate tools.

Shape fact	Coordinate tool
Opposite sides parallel and equal	same step across and up
Corners are right angles	gradients multiply to −1
Diagonals cut each other in half	same midpoint
Rhombus or kite diagonals cross at 90°	gradients multiply to −1
Two sides equal (isosceles)	compare lengths
A kite is symmetrical about one diagonal	reflect a corner in that diagonal

Key idea

Always sketch the shape with the letters in order round it. The order tells you which corners are joined.

2. The Parallelogram's Fourth Corner

في سؤال الدرجتين يُطلب الرأس الرابع لمتوازي أضلاع. الحروف مرتبة حول الشكل، فالرأس المجهول متصل بالرأس الأول والرأس الثالث. احسب الخطوة من الرأس الأول إلى الثاني: كم تتحرك أفقيًا وكم رأسيًا. الضلع المقابل له موازٍ ومساوٍ، فله الخطوة نفسها من الرأس المجهول إلى الرأس الثالث. ولأن الرأس المجهول هو بداية هذه الخطوة، فاطرح الخطوة من الرأس الثالث ولا تجمعها؛ الجمع يعطي نقطة ليست رأسًا. وتصلح الطريقة للمستطيل والمربع والمعين لأنها متوازيات أضلاع. وللتحقق: القطران لهما نقطة المنتصف نفسها.

The 2-mark question: “ABCD is a parallelogram. Find the coordinates of D.” Opposite sides are the same step, so copy one. Rectangles, squares and rhombuses are parallelograms too, so this works for them as well.

Worked example

1
$A (1, 1), B (6, 2), C (8, 6)$ — The question. The letters go in order round the shape, so D is the corner joined to both A and C.
2
$A to B : + 5, + 1$ — Subtract: 6 − 1 = 5 across and 2 − 1 = 1 up. This is the step along side AB.
3
$D to C : + 5, + 1$ — DC is the side opposite AB. Opposite sides of a parallelogram are parallel and equal, so it is the same step.
4
$D = (8 - 5, 6 - 1)$ — D is the start of that step and C is the end, so undo the step: take it away from C.
5
$D = (3, 5)$ — 8 − 5 = 3 and 6 − 1 = 5.

Common mistake

Adding the step to C. That gives (13, 7), which is not a corner. D comes before C, so step backwards.

Key idea

Check with midpoints: AC and BD both have midpoint $(4.5, 3.5)$ . The diagonals of a parallelogram cut each other in half.

3. A Side at a Right Angle

في سؤال الأربع درجات يُطلب معادلة الضلع التالي في مربع. الضلعان المتجاوران متعامدان، فحاصل ضرب ميليهما سالب واحد. أولًا احسب ميل الضلع المعلوم: التغير الرأسي مقسومًا على التغير الأفقي، واستعمل الأقواس مع الأعداد السالبة. ثم اقلب الكسر وغيّر إشارته لتحصل على ميل الضلع العمودي. بعدها عوّض إحداثيي الرأس المشترك في معادلة الخط المستقيم لتجد الجزء المقطوع من المحور الصادي، ثم اكتب المعادلة. وقد يُطلب أن تنقل كل الحدود إلى طرف واحد. والخطأ الشائع استعمال ميل الضلع الأول نفسه؛ الضلعان المتجاوران متعامدان وليسا متوازيين.

The 4-mark question: “ABCD is a square. Find an equation of the line through B and C.” BC meets AB at a right angle, so their gradients multiply to −1.

Worked example

1
$A (- 1, 1), B (3, 3)$ — The question. AB is one side of the square, and you want the next side, BC.
2
$m_{A B} = \frac{3 - 1}{3 - ( - 1 )} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ — Gradient is change in y ÷ change in x. Brackets keep the minus safe: 3 − (−1) = 4.
3
$m_{B C} = - 2$ — BC is perpendicular to AB, so flip ½ to 2 and change the sign. Check: ½ × (−2) = −1.
4
$3 = - 2 (3) + c$ — B is on line BC, so put x = 3 and y = 3 into y = −2x + c.
5
$3 = - 6 + c$ — −2 × 3 = −6.
6
$c = 9$ — Add 6 to both sides: 3 + 6 = 9.
7
$y = - 2 x + 9$ — Put m = −2 and c = 9 into y = mx + c.
8
$2 x + y - 9 = 0$ — Add 2x and take 9 from both sides, so everything is on one side. Some questions ask for this form.

Common mistake

Using AB's gradient for BC. Neighbouring sides of a square are perpendicular, not parallel.

4. Square Corners: Turn the Step

في سؤال الأربع درجات تُعطى رأسان متجاوران من مربع ويُطلب الرأسان الآخران. احسب الخطوة من الرأس الأول إلى الثاني أفقيًا ورأسيًا. ثم أدِرها ربع دورة: بدّل العددين وغيّر إشارة أحدهما، فيبقى الطول نفسه ويصبح الضلع الجديد عموديًا على الأول. أضف الخطوة المُدارة إلى الرأس الثاني لتحصل على الرأس الثالث، وأضفها إلى الرأس الأول لتحصل على الرأس الرابع. الدوران في الاتجاه الآخر يعطي مربعًا ثانيًا، فاختر الذي يحقق شرط السؤال. والخطأ الشائع التبديل دون تغيير الإشارة، فلا تكون الزاوية قائمة. وللتحقق: قطرا المربع لهما نقطة المنتصف نفسها.

The 4-mark question gives two neighbouring corners of a square and asks for the other two. Turn the step through a right angle.

Worked example

1
$A (2, 1), B (5, 2)$ — The question: square ABCD, and C has two positive coordinates. Find C and D.
2
$A to B : + 3, + 1$ — Subtract: 5 − 2 = 3 across and 2 − 1 = 1 up. This is the step along side AB.
3
$- 1, + 3$ — Turn it 90°: swap the two numbers and change one sign. The side stays the same length and now meets AB at a right angle.
4
$C = (5 - 1, 2 + 3) = (4, 5)$ — BC is the next side, so add the turned step to B.
5
$D = (2 - 1, 1 + 3) = (1, 4)$ — AD is parallel to BC and the same length, so add the same turned step to A.
6
$other turn (+ 1, - 3) : C = (6, - 1)$ — Turning the other way gives a second square. Reject it: −1 is not positive, and the question said C is.

Common mistake

Swapping the numbers without changing a sign: 1 across, 3 up. That side is not at a right angle to AB, so the shape is not a square.

Key idea

Check: AC and BD both have midpoint $(3, 3)$ . A square's diagonals cut each other in half.

5. Rectangle: Letters From Gradients

في الأسئلة الأصعب تُعطى مستطيلًا وبعض إحداثيات رؤوسه حروف مجهولة. الضلعان المتجاوران متعامدان، فحاصل ضرب ميليهما سالب واحد، وبهذا نجد المجهول. أولًا احسب ميل الضلع المعلوم كاملًا، مع الأقواس حول الأعداد السالبة. ثم اقلب الكسر وغيّر إشارته لتحصل على ميل الضلع المجاور. بعدها اكتب ميل هذا الضلع مرة ثانية باستعمال إحداثيات رأسيه (وفيها المجهول)، واجعل التعبيرين متساويين، وحُلّ المعادلة. أما الرأس الأخير فالضلع المقابل له الخطوة نفسها، فأضفها إلى الرأس المناسب. وللتحقق: القطران لهما نقطة المنتصف نفسها.

Harder questions give a rectangle with letters in the coordinates. Neighbouring sides meet at a right angle, so their gradients multiply to −1. Use that to find the letters.

Worked example

1
$A (- 3, - 1), B (1, 7), C (5, a), D (b, c)$ — The question: ABCD is a rectangle. Find a, b and c.
2
$m_{A B} = \frac{7 - ( - 1 )}{1 - ( - 3 )} = \frac{8}{4} = 2$ — Change in y ÷ change in x. Brackets keep the minus signs safe: 7 − (−1) = 8 and 1 − (−3) = 4.
3
$m_{B C} = - \frac{1}{2}$ — BC meets AB at a right angle, so flip 2 to ½ and change the sign.
4
$\frac{a - 7}{5 - 1} = - \frac{1}{2}$ — Write BC's gradient a second way, using B and C, and make the two equal.
5
$\frac{a - 7}{4} = - \frac{1}{2}$ — 5 − 1 = 4.
6
$a - 7 = - 2$ — Multiply both sides by 4.
7
$a = 5$ — Add 7 to both sides. So C is (5, 5).
8
$B to C : + 4, - 2$ — Subtract: 5 − 1 = 4 across and 5 − 7 = −2 up. This is the step along BC.
9
$D = (- 3 + 4, - 1 - 2) = (1, - 3)$ — AD is opposite BC, so it is the same step. Add it to A: b = 1 and c = −3.

Key idea

Check: AC and BD both have midpoint $(1, 2)$ . For the perimeter, work out AB and BC with Pythagoras, as in Length of a Line Segment.

6. Diagonals of a Rhombus or Kite

في هذا السؤال الطويل يتقاطع قطرا المعين أو الطائرة الورقية في نقطة، ومعادلة أحد القطرين معطاة، والمطلوب معادلة القطر الآخر. اقرأ ميل القطر المعطى من معادلته: هو معامل المجهول السيني. القطران متعامدان، فاقلب الميل وغيّر إشارته لتحصل على ميل القطر الآخر. ثم عوّض إحداثيي نقطة التقاطع في معادلة الخط المستقيم لتجد الجزء المقطوع من المحور الصادي، واكتب المعادلة. وتذكّر أن نقطة التقاطع هي منتصف القطرين، فإذا عرفت أحد طرفي القطر فخذ الخطوة نفسها مرة أخرى بعد نقطة التقاطع لتجد الطرف الآخر. والخطأ الشائع جعل القطرين متوازيين، وهما في الحقيقة متعامدان.

The 4 to 7-mark question: the diagonals cross at M, and one diagonal's line is given. The other diagonal is perpendicular and goes through M.

Worked example

1
$M (2, 3), A C : y = 2 x - 1$ — The question: a rhombus whose diagonals cross at M. Find the line BD.
2
$m_{A C} = 2$ — Read it from y = 2x − 1: the gradient is the number in front of x.
3
$m_{B D} = - \frac{1}{2}$ — A rhombus's diagonals cross at a right angle, so BD is perpendicular: flip 2 to ½ and change the sign.
4
$3 = - \frac{1}{2} (2) + c$ — BD passes through M, so put x = 2 and y = 3 into y = −½x + c.
5
$3 = - 1 + c$ — −½ × 2 = −1.
6
$c = 4$ — Add 1 to both sides.
7
$y = - \frac{1}{2} x + 4$ — Put m and c together. BD meets the y-axis at (0, 4), because c is where the line crosses it.

Key idea

M is the midpoint of both diagonals. If A is $(0, - 1)$ , step through M the same again: C is $(4, 7)$ .

Common mistake

Making BD parallel to AC. In a rhombus or kite the diagonals cross at a right angle.

7. Kite: Reflect in the Diagonal

الطائرة الورقية متماثلة حول أحد قطريها، فالرأس المجهول هو صورة الرأس المقابل له بالانعكاس في هذا القطر. الطريقة: احسب ميل قطر التماثل واكتب معادلته. ثم القطر الآخر عمودي عليه، فاقلب الميل وغيّر إشارته، وعوّض الرأس المعلوم لتجد معادلته. بعد ذلك اجعل المعادلتين متساويتين لتجد نقطة تقاطع القطرين، وتخلّص من الكسر بالضرب أولًا. نقطة التقاطع هي منتصف القطر الثاني، فاحسب الخطوة من الرأس المعلوم إليها، ثم كرّر الخطوة نفسها من نقطة التقاطع لتصل إلى الرأس المجهول. وللتحقق: يجب أن يكون في الشكل زوجان من الأضلاع المتساوية.

A kite is symmetrical about one diagonal, AC. So D is the mirror image of B in AC. Find where BD crosses AC, then step on the same again.

Worked example

1
$A (0, 1), B (1, 4), C (6, 4)$ — The question: ABCD is a kite with AB = AD and CB = CD. Find D.
2
$m_{A C} = \frac{4 - 1}{6 - 0} = \frac{1}{2}$ — Gradient of the diagonal AC: change in y ÷ change in x.
3
$A C : y = \frac{1}{2} x + 1$ — A(0, 1) is on the y-axis, so c = 1.
4
$m_{B D} = - 2$ — A kite's diagonals cross at a right angle, so flip ½ to 2 and change the sign.
5
$4 = - 2 (1) + c, c = 6$ — BD passes through B(1, 4): 4 = −2 + c, so add 2 to both sides.
6
$\frac{1}{2} x + 1 = - 2 x + 6$ — M is on both diagonals, so make the two y's equal.
7
$x + 2 = - 4 x + 12$ — Multiply every term by 2 to clear the fraction.
8
$5 x = 10, x = 2$ — Add 4x and take 2 from both sides, then divide by 5.
9
$M = (2, 2)$ — Put x = 2 into y = ½x + 1: y = 1 + 1 = 2. This is where the diagonals cross.
10
$B to M : + 1, - 2$ — Subtract: 2 − 1 = 1 across and 2 − 4 = −2 up.
11
$D = (2 + 1, 2 - 2) = (3, 0)$ — AC cuts BD in half, so M is halfway. Do the same step again from M.

Key idea

Check: AB and AD are both $10$ , and CB and CD are both 5. Two pairs of equal sides, so it is a kite.

8. Isosceles, Scalene or Equilateral?

لتعرف هل المثلث مختلف الأضلاع أم متساوي الساقين أم متساوي الأضلاع، احسب أطوال أضلاعه الثلاثة ثم قارن بينها. لكل ضلع اطرح الإحداثيات لتعرف المسافة الأفقية والرأسية، مع الأقواس حول السالب، ثم طبّق نظرية فيثاغورس: ربّع وأجمع ثم خذ الجذر التربيعي. وإذا كانت المسافة الرأسية صفرًا فالضلع أفقي وطوله هو المسافة الأفقية مباشرة. إذا تساوى ضلعان فقط فالمثلث متساوي الساقين. اكتب الأطوال الثلاثة كلها، لأن معظم الدرجات على الحل، وكتابة اسم النوع وحده لا تأخذ شيئًا.

“Is triangle ABC scalene, isosceles or equilateral?” Work out all three side lengths, then compare them.

Worked example

1
$A (- 2, 1), B (1, 5), C (6, 5)$ — The question. You must show your working.
2
$A B : 1 - (- 2) = 3, 5 - 1 = 4$ — Across and up from A to B. Brackets keep the minus safe: −(−2) = +2.
3
$A B = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ — Pythagoras: square each, add, then square root.
4
$B C : 6 - 1 = 5, 5 - 5 = 0, so B C = 5$ — Up is 0, so BC is flat and its length is just the 5 across.
5
$A C : 6 - (- 2) = 8, 5 - 1 = 4$ — Across and up from A to C.
6
$A C = 8^{2} + 4^{2} = 80 = 8.94$ — Square, add, square root: 64 + 16 = 80. √80 = 8.94 to 3 s.f.
7
$A B = B C \neq = A C$ — Exactly two sides are equal, so the triangle is isosceles.

Key idea

Show all three lengths. Most of the marks are for the working, so the word “isosceles” on its own scores nothing.

Key idea

To find a third corner that makes PQR isosceles with PR = QR, put R on the perpendicular bisector of PQ. See The Perpendicular Bisector.

9. Area of a Triangle Made by Lines

ينتهي هذا السؤال الطويل بحساب مساحة. ابدأ بإيجاد رؤوس المثلث، ثم استعمل قاعدة أفقية أو رأسية. في المثال المثلث محصور بين المستقيم والمحورين. على المحور الصادي يكون الإحداثي السيني صفرًا، فنعوّض لنجد نقطة التقاطع، وهذا الضلع الرأسي هو الارتفاع. وعلى المحور السيني يكون الإحداثي الصادي صفرًا، فنحل المعادلة لنجد القاعدة الأفقية. المحوران متعامدان، فالمساحة نصف القاعدة في الارتفاع. والخطأ الشائع أخذ الإشارة السالبة مع الطول؛ إذا كان الرأس تحت المحور فالطول موجب دائمًا.

The 5 to 7-mark question ends with an area. Find the corners first, then use a flat or upright base.

Worked example

1
$y = - \frac{1}{2} x + 4 and the axes$ — The question: find the area of the triangle made by this line and the two axes.
2
$x = 0 : y = 4$ — On the y-axis x is 0, so the line crosses at (0, 4). This upright side is the height.
3
$y = 0 : 0 = - \frac{1}{2} x + 4$ — On the x-axis y is 0.
4
$\frac{1}{2} x = 4$ — Add ½x to both sides.
5
$x = 8$ — Multiply both sides by 2. The line crosses at (8, 0), so the flat side, the base, is 8.
6
$\frac{1}{2} \times 8 \times 4 = 16$ — Area of a triangle = ½ × base × height. The axes meet at a right angle, so the height is upright.

Common mistake

Using a minus sign as a length. If a corner is at (0, −6), the height is 6: a length cannot be negative.

Key idea

For a triangle with no flat side, see Area from Coordinates.

10. Which Method? Read the Question

حدّد اسم الشكل أولًا، ثم اختر الخاصية التي تربط الرؤوس المعروفة بالرأس المطلوب. متوازي أضلاع ينقصه رأس: انسخ خطوة الضلع المقابل. ضلع في مربع أو مستطيل: ميل عمودي يمر برأس. قطرا معين أو طائرة ورقية: خط عمودي يمر بنقطة التقاطع، وهي منتصف القطرين. رأسان من مربع: أدِر الخطوة بتبديل العددين وتغيير إشارة أحدهما. مستطيل في رأسه مجهول: حاصل ضرب الميلين سالب واحد ثم حُلّ. طائرة ورقية ينقصها رأس: اعكس الرأس في قطر التماثل. نوع المثلث: احسب الأضلاع الثلاثة. وبعد إيجاد أي رأس تحقق بخاصية أخرى، مثل تساوي نقطتي المنتصف.

Name the shape, then pick the fact that links the corners you have to the one you need.

You see	You do
Parallelogram, one corner missing	copy the step of the opposite side
Square or rectangle, a side	perpendicular gradient through a corner
Rhombus or kite, diagonals	perpendicular through M, M is halfway
Square, two corners given	turn the step: swap, change one sign
Rectangle with a letter in a corner	gradients multiply to −1, then solve
Kite, one corner missing	reflect the corner in diagonal AC
Scalene, isosceles or equilateral?	work out all three lengths
AB = AD in a kite, or AB = AC	The Perpendicular Bisector
Lengths of sides or midpoints	Length of a Line Segment
Just the gradient rule	Perpendicular Lines

Key idea

After you find a corner, check one more fact, like equal midpoints. It catches most slips.

تدرّب على الهندسة الإحداثية للأشكال

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الهندسة الإحداثية للأشكال

1. Shapes on a Grid

2. The Parallelogram's Fourth Corner

3. A Side at a Right Angle

4. Square Corners: Turn the Step

5. Rectangle: Letters From Gradients

6. Diagonals of a Rhombus or Kite

7. Kite: Reflect in the Diagonal

8. Isosceles, Scalene or Equilateral?

9. Area of a Triangle Made by Lines

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على الهندسة الإحداثية للأشكال

أسئلة امتحانات سابقة على الهندسة الإحداثية للأشكال، محلولة ومشروحة بالعربي