شرح التناسب الطردي: y = kx

Direct Proportion: y = kx

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Direct Proportion Means (Higher)

تكون كميتان متناسبتين طرديًا إذا كانت إحداهما دائمًا مضاعفًا ثابتًا للأخرى: إذا ضاعفت الأولى تضاعفت الثانية أيضًا. في الجدول، الكمية الثانية دائمًا ثلاثة أمثال الأولى. هذا المضاعف الثابت يسمى «ثابت التناسب». القاعدة: «ص تتناسب طرديًا مع س» تعني أن ص تساوي ثابت التناسب مضروبًا في س، ونجد هذا الثابت من زوج واحد من القيم.

Two quantities are directly proportional when one is always the same multiple of the other. Double one, and the other doubles too.

x	4	8	12
y	12	24	36

Here y is always 3 times x. That fixed multiple is called k, the constant of proportionality.

Rule

$y \propto x$ means $y = k x$ for some number k. You find k from one pair of values.

2. Finding the Formula

المطلوب هنا إيجاد قانون يربط الكميتين. الخطوة الأولى: «تتناسب طرديًا» تعني أن الكمية الأولى تساوي ثابت التناسب مضروبًا في الثانية، فاكتب هذا. الخطوة الثانية: عوّض بزوج القيم المعطى، فيصبح الثابت هو المجهول الوحيد. الخطوة الثالثة: اقسم الطرفين لتجد الثابت، وتحقق بالضرب. أخيرًا اكتب القانون بوضع قيمة الثابت مكانه، مع إبقاء المتغير حرفًا لأن السؤال يطلب قانونًا. الخطأ الشائع: قلب القسمة؛ الثابت هو الكمية التي على اليسار مقسومة على التي على اليمين.

The 3-mark question: d is directly proportional to t, and $d = 14$ when $t = 4$ . Find a formula for d in terms of t.

Worked example

1
$d \propto t \Rightarrow d = k t$ — “Directly proportional” means d is always the same multiple of t. Call that multiple k.
2
$14 = k \times 4$ — Put in the pair you are given, d = 14 and t = 4. Now k is the only unknown.
3
$k = \frac{14}{4}$ — Divide both sides by 4 to get k on its own.
4
$k = 3.5$ — 14 ÷ 4 = 3.5. Check: 3.5 × 4 = 14.
5
$d = 3.5 t$ — Write the formula with the number in place of k. The question asks for a formula, so t stays a letter.

Common mistake

Working out $\frac{4}{14}$ instead of $\frac{14}{4}$ . k is the thing on the left divided by the thing on the right: $k = \frac{d}{t}$ .

3. Using the Formula Both Ways

بعد إيجاد القانون، يعطيك الجزء التالي قيمة ويطلب الأخرى. إذا أُعطيت المتغير الذي على اليمين، فعوّض به في القانون واضرب. وإذا أُعطيت الكمية التي على اليسار، فعوّض بها فيصبح المتغير الآخر مجهولًا، ثم اقسم الطرفين على ثابت التناسب، وتحقق بالضرب. تأكد أن الجواب منطقي: في التناسب الطردي إذا كبرت كمية كبرت الأخرى بنفس النسبة. نصيحة: اكتب قيمة الثابت في سطر وحده، لأن معظم الدرجات على إيجاده.

The next part gives one value and asks for the other. Use the formula $d = 3.5 t$ from the last card.

Worked example

1
$d = 3.5 \times 10$ — To find d when t = 10, put t = 10 into the formula.
2
$d = 35$ — Multiply. t went up, so d went up too, which makes sense.
3
$49 = 3.5 t$ — To find t when d = 49, put d = 49 into the formula. Now t is the unknown.
4
$t = \frac{49}{3.5}$ — Divide both sides by 3.5, the k, to get t on its own.
5
$t = 14$ — 49 ÷ 3.5 = 14. Check: 3.5 × 14 = 49.

Key idea

Check your answer makes sense: d got bigger, so t must get bigger by the same factor.

Key idea

Write k = 3.5 on its own line. Most of the marks are for finding k, so it still scores if the last step slips.

4. Shortcut: Compare Two Pairs

إذا كنت تحتاج قيمة ناقصة فقط وليس القانون، فهناك طريق مختصر. بما أن قسمة الكمية الأولى على الثانية تعطي دائمًا نفس ثابت التناسب، فالكسر من الزوج المعطى يساوي الكسر من الزوج الجديد. ضع الزوج المعطى في طرف والزوج الجديد في الطرف الآخر، والقيمة المطلوبة هي المجهول، ثم اضرب الطرفين لتعزل المجهول، وبسّط الكسر أولًا فهو نفسه ثابت التناسب. نفس الفكرة بدون أعداد: إذا ضُربت كمية في عدد ضُربت الأخرى في نفس العدد، وإذا زادت بنسبة مئوية زادت الأخرى بنفس النسبة. الخطأ الشائع: قلب كسر واحد فقط؛ اجعل الكمية نفسها في البسط في الطرفين.

If you only need a missing value, not the formula, you can skip writing y = kx. Because y ÷ x is always the same k, any two pairs give the same answer:

Formula

\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}

$x_{1}$ and $y_{1}$ are the pair you are given. $x_{2}$ is the new value, and $y_{2}$ is the one you want.

Worked example

1
$y \propto x, y = 18 when x = 12$ — The question: find y when x = 20.
2
$\frac{18}{12} = \frac{y _{2}}{20}$ — Put the given pair on the left and the new pair on the right. y₂ is the unknown.
3
$y_{2} = \frac{18}{12} \times 20$ — Multiply both sides by 20 to get y₂ on its own.
4
$\frac{18}{12} = 1.5$ — Simplify the fraction first. This is just k.
5
$y_{2} = 1.5 \times 20 = 30$ — Multiply. Check: 30 ÷ 20 = 1.5, the same as 18 ÷ 12.

Key idea

The same idea with no numbers: if x is multiplied by 3, y is multiplied by 3. If x goes up by 20%, y goes up by 20%.

Common mistake

Flipping one side only, like $\frac{18}{12} = \frac{20}{y _{2}}$ . Keep y on top on both sides.

5. Is It Proportional? Tables and Graphs

السؤال هنا: أثبت أن كميتين متناسبتان طرديًا من جدول أو رسم بياني. من الجدول: اقسم الكمية الثانية على الأولى لكل زوج، وليس لزوج واحد فقط. إذا أعطت كل الأزواج نفس الناتج فهذا هو ثابت التناسب، والكميتان متناسبتان طرديًا، فاكتب هذه الجملة كخلاصة. من الرسم البياني: التناسب الطردي خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وميله هو ثابت التناسب. الخطأ الشائع: ظن أن كل خط مستقيم يعني تناسبًا؛ الخط الذي لا يمر بنقطة الأصل ليس تناسبًا طرديًا، لأن نواتج القسمة لا تتساوى.

The 2-mark question: “Show that y is directly proportional to x” using a table or a graph.

Worked example

1
$x : 2, 6, 10 y : 7, 21, 35$ — The table. To show proportion you must check every pair, not just one.
2
$\frac{7}{2} = 3.5$ — Divide y by x for the first pair.
3
$\frac{21}{6} = 3.5$ — Second pair: the same answer.
4
$\frac{35}{10} = 3.5$ — Third pair: the same again.
5
$y = 3.5 x$ — Every pair gives the same k = 3.5, so y is directly proportional to x. Write this as your conclusion.

Rule

On a graph, direct proportion is a straight line that goes through $(0, 0)$ . The gradient is k.

Common mistake

Thinking every straight line is proportional. $y = 2 x + 3$ is straight but misses $(0, 0)$ . Try it: x = 1, 2, 4 gives y = 5, 7, 11, and $\frac{5}{1} \neq = \frac{7}{2}$ .

6. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة دليل لاختيار الطريقة: كلمات السؤال تخبرك أي قانون تكتب. «تتناسب طرديًا» تعني أن الكمية تساوي ثابت التناسب مضروبًا في الأخرى. «أثبت أنها متناسبة» تعني أن تقسم لكل زوج وتقارن. إذا طُلبت قيمة ناقصة فقط فاستخدم تساوي الكسرين أو أوجد الثابت أولًا. إذا كان التناسب مع مربع أو مكعب أو جذر فراجع درس التناسب مع القوى، وإذا كان «عكسيًا» فراجع درس التناسب العكسي، وللوصفات والمقارنة بين الأسعار راجع درس التناسب الطردي في الحياة. القاعدة الذهبية: أوجد الثابت أولًا، ثم اكتب القانون كاملًا، ثم استخدمه.

The words tell you which formula to write.

You see	You do
“y is directly proportional to x”	$y = k x$
“show that y is proportional”	Divide y by x for each pair
Only a missing value wanted	$\frac{y _{1}}{x _{1}} = \frac{y _{2}}{x _{2}}$ , or find k first
“proportional to x², x³ or √x”	See Proportion to Powers of x
“inversely proportional”	See Inverse Proportion: y = k/x
A recipe or a best buy	See Direct Proportion in Real Life

Key idea

Always find k first, then write the full formula, then use it.

تدرّب على التناسب الطردي: y = kx

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara