شرح الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة

Functions: One-One, Inverses and Restricted Domains

يأتي في امتحانات IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Function, domain, range

اضغط زرًا واحدًا في آلة البيع تحصل على وجبة واحدة، لا اثنتين ولا مفاجأة. الدالة تعمل بالطريقة نفسها: كل مدخل يعطي مخرجًا واحدًا فقط. المجال هو مجموعة المدخلات المسموح بها، والمدى هو مجموعة المخرجات الناتجة. تُكتب الدالة بطريقتين بالمعنى نفسه: بالرمز المعتاد للدالة، أو بسهم يعني «تُرسل إلى». في مثال الدائرة نختار مدخلًا واحدًا فنجد له قيمتين للصاد، موجبة وسالبة، فهي ليست دالة؛ والخط الرأسي يقطع الرسم مرتين. وتذكّر: اكتب المدى برمز الدالة أو بالصاد، لا بالسين، وإلا ضاعت الدرجة. المجال ما يدخل، والمدى ما يخرج.

Press one button on a vending machine and you get one snack. Never two, never a surprise. A function works the same way: each input gives exactly one output.

Rule

A function gives exactly one output for each input. The domain is the set of inputs you are allowed to use. The range is the set of outputs you get.

You will see two ways to write the same function. Both say “double x and add 1, for x of 0 or more”:

Formula

f (x) = 2 x + 1 for x \geq 0

$f (x)$ — the output when the input is x.
$x \geq 0$ — the domain. The range here is $f (x) \geq 1$ .

Formula

f : x \mapsto 2 x + 1, x \geq 0

$\mapsto$ — read “maps to”: x goes to 2x + 1. It is the same function, written as an arrow.

Worked example

1
Explain why the graph of $x^{2} + y^{2} = 25$ (a circle) does not represent a function.
2
$x = 3 : 9 + y^{2} = 25$ — Pick one input and look for its outputs.
3
$y = 4 or y = - 4$ — One input gives two outputs.
4
$not a function$ — A vertical line at x = 3 meets the graph twice. A function allows at most once.

Rule

Write a range with the function's letter, not with x: $f (x) \geq 1$ , or $f \geq 1$ , or $y \geq 1$ . Writing $x \geq 1$ for a range loses the mark.

Key idea

The Swiss mathematician Leonhard Euler first wrote f(x) for a function in 1734. Almost three hundred years later, every exam paper still uses his notation.

Key idea

Domain is what goes in. Range is what comes out. A function never gives two outputs for one input.

2. One-one or many-one

بعض الدوال ترسل مدخلين مختلفين إلى المخرج نفسه، مثل دالة التربيع التي تعطي القيمة نفسها لعدد ولسالبه. الدالة «واحد لواحد» كل مخرج فيها يأتي من مدخل واحد فقط، والدالة «متعدد لواحد» فيها مخرج يأتي من مدخلين أو أكثر. للتحقق من الرسم ارسم خطوطًا أفقية: إذا قطع أي خط الرسم أكثر من مرة فهي متعدد لواحد. والدالة واحد لواحد فقط لها دالة عكسية، لأن العكسية يجب أن تعيد المخرج إلى مدخل واحد محدد. في المثال نكمل المربع فنجد نقطة الانقلاب داخل المجال، فالمنحنى ينزل ثم يصعد، ونجد مدخلين لهما المخرج نفسه. الخطأ الشائع: الاكتفاء بقول «لأنها تربيعية»؛ قل إنها متعدد لواحد وأعطِ المدخلين.

Some functions send two different inputs to the same output. For $f (x) = x^{2}$ , both 3 and −3 give 9.

Rule

A one-one function: every output comes from exactly one input.

A many-one function: at least one output comes from two or more inputs.

To check from a graph, draw horizontal lines. If any horizontal line meets the graph more than once, the function is many-one.

Only a one-one function has an inverse. The inverse must take the output back to the input. If 9 came from both 3 and −3, the inverse would not know which one to give back.

Worked example

1
The function $f (x) = x^{2} - 6 x + 5$ has domain $0 \leq x \leq 4$ . Explain why $f^{- 1}$ does not exist.
2
$x^{2} - 6 x + 5 = (x - 3)^{2} - 4$ — Complete the square. The turning point is at x = 3.
3
$0 \leq 3 \leq 4$ — The turning point is inside the domain, so the curve goes down and then back up.
4
$f (2) = - 3, f (4) = - 3$ — Two inputs give the same output.
5
$f is many-one$ — So f has no inverse: $f^{- 1} (- 3)$ would need two answers.

Common mistake

Writing only “because it is a quadratic”. Say the function is many-one (not one-one), and back it up with two inputs that give the same output.

Key idea

No inverse means two inputs share an output. Name the function as many-one and show the pair.

3. Restricting the domain

يمكن جعل دالة متعدد لواحد دالة واحد لواحد بقصّ مجالها. في الدالة التربيعية نقصّ عند نقطة الانقلاب ونحتفظ بجانب واحد. في المثال نكمل المربع بعد إخراج المعامل المشترك أولًا، فنجد نقطة الانقلاب. أصغر قيمة لبداية المجال هي الإحداثي السيني لنقطة الانقلاب، لأن المنحنى بعدها صاعد فقط. أما المدى فيبدأ من الإحداثي الصادي لنقطة الانقلاب، لأنها أصغر مخرج. ولو بدأ المجال قبل نقطة الانقلاب لاحتوى جانبيها وعادت الدالة متعدد لواحد. الخطأ الشائع: كتابة المدى بالسين بدل رمز الدالة، أو أخذ الإحداثي السيني لنقطة الانقلاب للمدى؛ المدى يستخدم الإحداثي الصادي.

A many-one function can be made one-one by cutting its domain. For a quadratic, cut at the turning point and keep one side.

Worked example

1
$f (x) = 2 x^{2} + 8 x + 3$ for $x \geq k$ . Find the least value of k for which $f^{- 1}$ exists, and the range of f.
2
$2 x^{2} + 8 x + 3 = 2 (x + 2)^{2} - 5$ — Complete the square. Take out the 2 first.
3
$turning point (- 2, - 5)$ — The bracket is 0 when x = −2, and then f is −5.
4
$k = - 2$ — From x = −2 onwards the curve only goes up, so f is one-one.
5
$f (x) \geq - 5$ — The range. The smallest output is at the turning point.

Notice: if k were smaller than −2, the domain would include both sides of the turning point and f would be many-one again.

Common mistake

Writing the range as $x \geq - 5$ . The range is about outputs, so write $f (x) \geq - 5$ .

Common mistake

Taking the x-coordinate of the turning point for the range. The range uses the y-coordinate, −5.

Key idea

To make a quadratic one-one, start the domain at the turning point. Its y-value starts the range.

4. Finding the inverse

لإيجاد الدالة العكسية: بدّل السين والصاد، ثم اجعل الصاد موضوع القانون. وحقيقتان تعطيانك المجال والمدى فورًا: مجال الدالة العكسية هو مدى الدالة الأصلية، ومداها هو مجال الأصلية. في المثال الأول نبدّل ونعزل القوس المربّع ونأخذ الجذر فتظهر إشارتان، ونختار الإشارة الموجبة لأن مدى العكسية يجب أن يطابق مجال الأصلية. وفي الدوال الأسية تحتاج حقيقة واحدة: اللوغاريتم الطبيعي يُلغي العدد النيبيري. نبدّل ونعزل الحد الأسي ونأخذ اللوغاريتم للطرفين، ومجال العكسية يأتي من مدى الأصلية. الخطأ الشائع: الظن أن رمز العكسية يعني واحدًا على الدالة؛ إنه اسم لا قوة. واكتب الإجابة برمز العكسية مع مجالها.

To find an inverse, swap x and y, then make y the subject. Two facts tell you the domain and range at once.

Rule

Domain of $f^{- 1}$ = range of f.

Range of $f^{- 1}$ = domain of f.

Worked example

1
$f (x) = 2 (x + 2)^{2} - 5$ for $x \geq - 2$ . Find $f^{- 1} (x)$ and state its domain.
2
$x = 2 (y + 2)^{2} - 5$ — Write y = f(x), then swap x and y.
3
$(y + 2)^{2} = \frac{x + 5}{2}$ — Add 5, then divide by 2.
4
$y + 2 = \pm \frac{x + 5}{2}$ — Square root both sides. There are two signs for now.
5
$y \geq - 2 \Rightarrow take +$ — The range of the inverse is the domain of f, x ≥ −2. Only the plus sign gives values of −2 or more.
6
$f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{x + 5}{2}, x \geq - 5$ — The domain of the inverse is the range of f.

Exponential functions come up often. You need one fact: ln undoes e. If $e^{k} = m$ , then $k = ln m$ .

Worked example

1
$g (x) = 4 e^{2 x} - 1$ for all real x. Find $g^{- 1} (x)$ and its domain.
2
$x = 4 e^{2 y} - 1$ — Swap x and y.
3
$e^{2 y} = \frac{x + 1}{4}$ — Add 1, then divide by 4.
4
$2 y = ln (\frac{x + 1}{4})$ — Take ln of both sides.
5
$g^{- 1} (x) = \frac{1}{2} ln (\frac{x + 1}{4}), x > - 1$ — $e^{2 x}$ is always positive, so the range of g is $g (x) > - 1$ . That is the domain of the inverse.

Common mistake

Thinking $f^{- 1} (x)$ means $\frac{1}{f ( x )}$ . The −1 is a label for the inverse, not a power.

Common mistake

Leaving the answer as “y = …”. Write it with the correct notation, $f^{- 1} (x) = \dots$ , and give its domain.

Key idea

Swap, solve, then swap the domain and range. They tell you which sign to keep.

5. Composite functions

الدالة المركبة تُدخل مخرج دالة في دالة أخرى. عند كتابة رمزين متجاورين، الدالة الأقرب إلى السين تعمل أولًا، فاقرأ من الداخل إلى الخارج. في المثال الأول نرى أن تغيير الترتيب يغيّر الإجابة، فالترتيب مهم. وتطبيق الدالة على نفسها يُكتب بأس اثنين، ومعناه تطبيقها مرتين لا تربيعها. والدالة المركبة موجودة فقط إذا كانت كل مخرجات الدالة الأولى مسموحًا بها في الثانية، أي أن مدى الأولى داخل مجال الثانية، وعندها يكون مجال المركبة هو مجال الأولى. في المثال الأخير نتحقق من ذلك، ثم نكوّن المركبة ونجد مداها، ونحلّ المعادلة بالتربيع ونتأكد أن الحل داخل المجال. الخطأ الشائع: البدء بالدالة الخارجية.

A composite function feeds the output of one function into another. $gf (x)$ means $g (f (x))$ : do f first, then g. Read it from the inside out.

Worked example

1
$f (x) = x + 3$ and $g (x) = x^{2}$ . Find $gf (x)$ and $fg (x)$ .
2
$gf (x) = g (x + 3) = (x + 3)^{2}$ — f first: add 3. Then g squares the result.
3
$fg (x) = f (x^{2}) = x^{2} + 3$ — g first: square. Then f adds 3. A different answer, so order matters.

Worked example

1
$h (x) = 3 x - 2$ . Find $h^{2} (x)$ .
2
$h^{2} (x) = h (h (x)) = h (3 x - 2)$ — $h^{2}$ means h twice, not h squared.
3
$= 3 (3 x - 2) - 2 = 9 x - 8$ — Put 3x − 2 in place of x, then expand.

Rule

$gf$ exists only if every output of f is allowed into g: the range of f must fit inside the domain of g. Then the domain of gf is the domain of f.

Worked example

1
$f (x) = 2 x + 1$ for $x \geq 0$ and $g (x) = x - 1$ for $x \geq 1$ . Show gf exists, find its range, and solve $gf (x) = 4$ .
2
$f (x) \geq 1$ — The range of f. Every output is 1 or more.
3
$domain of g: x \geq 1$ — The outputs of f all fit, so gf exists. Its domain is x ≥ 0.
4
$gf (x) = (2 x + 1) - 1 = 2 x$ — f first, then g.
5
$gf (x) \geq 0$ — Feed the range of f, 1 or more, into g: the outputs start at $0 = 0$ .
6
$2 x = 4 \Rightarrow 2 x = 16 \Rightarrow x = 8$ — Square both sides. 8 is in the domain, so it is valid.

If the domain of f were $x \geq - 1$ instead, f could output −1. Then g would need $- 2$ , which is impossible, so gf would not exist.

Common mistake

Doing g first for gf. The function next to the x acts first.

Key idea

Inside out: the function nearest x acts first. Check that its range fits into the next function's domain.

6. Graphs of f and its inverse

الدالة العكسية تبدّل كل مدخل بمخرجه، فكل نقطة على منحنى الدالة تنقلب إحداثياتها على منحنى العكسية، وتبديل الإحداثيين هو انعكاس في المستقيم الذي تساوي فيه الصاد السين. الطريقة: ارسم هذا المستقيم أولًا خطًا متقطعًا مرشدًا، ثم بدّل إحداثيات النقاط المهمة: نقطة النهاية، ونقطة التقاطع مع محور الصادات التي تصبح تقاطعًا مع محور السينات، ثم اعكس المنحنى عبر الخط. وخطوط التقارب تتبادل أيضًا: الأفقي يصبح رأسيًا. وبعض الدوال هي عكسية نفسها، فرسمها متماثل حول ذلك المستقيم. الخطأ الشائع: الانعكاس في محور السينات أو محور الصادات؛ مرآة العكسية هي دائمًا المستقيم الذي تساوي فيه الصاد السين.

An inverse swaps every input with its output. So the point (a, b) on $y = f (x)$ becomes (b, a) on $y = f^{- 1} (x)$ . Swapping x and y is a reflection in the line $y = x$ .

Rule

The graph of $y = f^{- 1} (x)$ is the reflection of $y = f (x)$ in the line $y = x$ .

Worked example

1
Sketch $y = f (x)$ and $y = f^{- 1} (x)$ for $f (x) = 2 (x + 2)^{2} - 5$ , $x \geq - 2$ .
2
$y = x$ — Draw this line first, as a dashed guide.
3
$(- 2, - 5) \to (- 5, - 2)$ — The end point of f swaps to the end point of the inverse.
4
$(0, 3) \to (3, 0)$ — The y-intercept of f becomes the x-intercept of the inverse.
5
$f^{- 1} (3) = - 2 + 4 = 0$ — Check with the formula from before: it agrees.

Asymptotes swap too. $y = 4 e^{2 x} - 1$ has asymptote $y = - 1$ , so its inverse has asymptote $x = - 1$ .

Some functions are their own inverse, such as $f (x) = 6 - x$ or $f (x) = \frac{1}{x}$ . Their graphs are symmetrical about $y = x$ .

Common mistake

Reflecting in the x-axis or the y-axis. The mirror line for an inverse is always $y = x$ .

Key idea

Draw $y = x$ first. Then swap the coordinates of each key point and mirror the curve across the line.

7. Which method? Read the question

أسئلة الدوال تأتي أجزاء يبني بعضها على بعض. «فسّر لماذا ليست دالة»: مدخل واحد بمخرجين. «فسّر لماذا لا توجد عكسية»: بيّن أنها متعدد لواحد بمدخلين لهما المخرج نفسه. «أصغر قيمة لبداية المجال لتوجد العكسية»: أكمل المربع، فهي الإحداثي السيني لنقطة الانقلاب. «أوجد المدى»: أصغر أو أكبر مخرج، مكتوبًا برمز الدالة. «أوجد العكسية»: بدّل وعزل واختر الإشارة. «مجال أو مدى العكسية»: بدّل مدى الأصلية ومجالها. «فسّر لماذا توجد المركبة»: مدى الأولى داخل مجال الثانية. «ارسم الدالة وعكسيتها»: انعكاس في المستقيم المائل. الخطأ الشائع: نسيان ذكر المجال عندما يُطلب.

Function questions come in parts that build on each other. Match the words to the method.

You see	You do
“Explain why this is not a function”	Find one input with two outputs
“Explain why $f^{- 1}$ does not exist”	Show f is many-one: two inputs, same output
“Least value of k so $f^{- 1}$ exists”	Complete the square; k is the x of the turning point
“Find the range of f”	Smallest (or largest) output; write $f (x) \geq \dots$
“Find $f^{- 1} (x)$ ”	Swap x and y, make y the subject, choose the sign
“Domain / range of $f^{- 1}$ ”	Swap the range and domain of f
“Explain why gf exists”	Range of f lies inside the domain of g
“Sketch f and $f^{- 1}$ ”	Reflect in $y = x$ ; swap the coordinates of key points

Common mistake

Losing the domain. An inverse or a composite is not finished until its domain is stated whenever the question asks for it.

Key idea

Find the range of f first. It becomes the domain of the inverse, and it must fit inside the domain of any function applied after f.

تدرّب على الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة

1. Function, domain, range

2. One-one or many-one

3. Restricting the domain

4. Finding the inverse

5. Composite functions

6. Graphs of f and its inverse

7. Which method? Read the question

تدرّب على الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة

أسئلة امتحانات سابقة على الدوال: واحد لواحد والعكسية والمجالات المقيدة، محلولة ومشروحة بالعربي