LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

شرح المدرجات التكرارية (فئات غير متساوية)

Histograms (Unequal Class Intervals)

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Frequency Density Means

عندما تختلف أطوال الفئات، يبدو العمود العريض كبيرًا حتى لو كان فيه عدد قليل، لذلك لا يكون الارتفاع هو التكرار. نستخدم كثافة التكرار، وهي التكرار مقسومًا على طول الفئة، وطول الفئة هو الحد الأعلى ناقص الحد الأدنى. القاعدة الأهم: مساحة العمود هي التكرار، أي الارتفاع في العرض. واكتب على المحور الرأسي «كثافة التكرار» وليس «التكرار».

When the bars have different widths, a wide bar looks big even with few people in it. So the height is not the frequency.

Formula

Frequency is how many are in the class. Class width is the top of the class minus the bottom.

Rule

The AREA of each bar is the frequency: .

Key idea

Label the side of the graph "Frequency density", not "Frequency".

2. How Many Altogether?

هنا لا يوجد مقياس على المحور الرأسي، لكن السؤال يعطيك تكرار فئة واحدة. ابدأ بهذا العمود: أوجد طول فئته، ثم اقسم التكرار على الطول لتعرف كثافته، أي ارتفاعه الحقيقي. اقسم هذا الارتفاع على عدد المربعات الصغيرة لتعرف قيمة المربع الواحد، فيصبح للمحور مقياس. بعد ذلك حوّل مربعات كل عمود إلى ارتفاع، واضرب كل ارتفاع في طول فئته لتحصل على تكراره، ثم اجمع كل التكرارات ومعها التكرار المعطى. الخطأ الشائع جمع الارتفاعات مباشرة، فهي كثافات وليست أعدادًا. واكتب المقياس على المحور، فهذا وحده يعطيك درجة على الطريقة.

The 3-mark question: the histogram has no numbers up the side, but you are told one frequency. Use it to find the scale, then read every bar.

Here 30 people waited between 5 and 15 minutes. The bars are 24, 30, 24, 16 and 3 small squares tall.

Worked example

  1. 1

    — Start with the bar you know. Find its width (top minus bottom), because its area, not its height, is the 30 people.

  2. 2

    — Frequency ÷ width gives this bar's frequency density. So the top of this bar stands for 3.

  3. 3

    — This bar is 30 small squares tall. 3 ÷ 30 gives one square's value. Now the side has a scale.

  4. 4

    — Turn each bar's squares (24, 30, 24, 16, 3) into a height by multiplying by 0.1.

  5. 5

    — Frequency = height × width, because the area of a bar is its frequency. Width is 5 − 0 = 5.

  6. 6

    — Same height as the first bar, but 3 times as wide (30 − 15 = 15), so 3 times as many people.

  7. 7

    — Height × width again. Width is 40 − 30 = 10.

  8. 8

    — A low bar, but wide (60 − 40 = 20), so it still holds 6 people.

  9. 9

    — Add every bar, including the 30 you were told, to get the total.

Common mistake

Adding the heights (2.4 + 3 + ...). Heights are densities. Multiply each by its width first.

Key idea

Write your scale on the axis (for example 3 at the top of the 5 to 15 bar). That alone earns a method mark, even if a later line goes wrong.

3. Part of a Bar: Probability and Proportion

عندما تقع القيمة المطلوبة داخل عمود، خذ الجزء الذي تحتاجه فقط من ذلك العمود. أوجد عرض هذا الجزء، أي من القيمة المطلوبة إلى نهاية الفئة، واضربه في ارتفاع العمود. هذا تقدير، لأننا نفترض أن الأشخاص موزعون بالتساوي داخل العمود. ثم أضف تكرارات الأعمدة الكاملة التي تقع كلها بعد القيمة. للاحتمال أو النسبة اقسم الناتج على المجموع الكلي. وإذا كان المطلوب بين قيمتين فاقطع عند الطرفين. الخطأ الشائع استخدام العمود كله بدل الجزء المطلوب.

The 3-mark question asks how many are above (or below) a value that cuts through a bar. Take only the part of the bar you need.

Same waiting times, 100 people. How many waited more than 20 minutes?

Worked example

  1. 1

    — 20 cuts through the 15 to 30 bar. Only the part from 20 to 30 counts, so the width is 10, not 15.

  2. 2

    — Height × width of just that part. We assume people are spread evenly across a bar, so this is an estimate.

  3. 3

    — The bars after 30 lie wholly above 20 minutes, so take their full frequencies.

  4. 4

    — Add the part bar and the whole bars: 46 people waited more than 20 minutes.

  5. 5

    — Probability (or proportion) = how many ÷ total. As a percentage this is 46%.

Common mistake

Using the whole 15 to 30 bar (36). The question starts at 20, so use width 10, not 15.

Key idea

Between two values? Cut at both ends. Between 10 and 20 minutes: from the 5 to 15 bar, plus from the 15 to 30 bar, so 27 people.

4. Drawing the Histogram

لرسم مدرج تكراري بفئات غير متساوية، احسب أولًا كثافة التكرار لكل فئة: التكرار مقسومًا على طول الفئة. الفئة الضيقة ذات التكرار الكبير تعطي عمودًا طويلًا لأن القيم متقاربة فيها، والفئة العريضة تعطي عمودًا أقصر مما يوحي به تكرارها. اختر مقياسًا رأسيًا يصل إلى أكبر كثافة، ثم ارسم كل عمود من بداية فئته إلى نهايتها بارتفاع كثافته، والأعمدة متلاصقة. الخطأ الشائع رسم الأعمدة حتى التكرار. اكتب الكثافات في عمود إضافي في الجدول، فتأخذ عليها درجة حتى لو أخطأت في الرسم.

The 3-mark question gives a table. Work out a frequency density for each class, then draw bars that touch.

Plant heights: 8 plants in , 12 in , 30 in and 18 in .

Worked example

  1. 1

    — Width is 10 − 0 = 10. Frequency ÷ width gives the bar's height, the frequency density.

  2. 2

    — Width is only 5, so 12 plants make a tall bar: they are packed close together.

  3. 3

    — Width 10. This is the tallest bar, so pick a scale up the side that reaches at least 3.

  4. 4

    — Width 15. A wide class gets a shorter bar than its frequency suggests.

  5. 5

    — Each bar runs exactly from the start to the end of its class, so the bars touch. Its height is the density you found.

Common mistake

Drawing the bars to the frequency (8, 12, 30, 18). With unequal widths the height must be the density.

Key idea

Write the densities in your working (an extra column in the table is fine). If a bar is drawn wrong, you still get a mark for them.

5. Filling Gaps in the Table and the Graph

في هذا السؤال جزء من الجدول ناقص وجزء من الرسم ناقص. لكل نقص طريقة: إذا كان العمود موجودًا والتكرار ناقصًا فاضرب الارتفاع في طول الفئة. وإذا كان التكرار موجودًا والعمود ناقصًا فاقسم التكرار على طول الفئة لتجد الارتفاع. وإذا نقص الاثنان لكن المجموع الكلي معروف، فاطرح بقية الفئات من المجموع لتجد التكرار، ثم اقسم على الطول وارسم العمود. احسب الطول دائمًا بطرح الحد الأدنى من الأعلى، ولا تأخذ أحد الحدين على أنه الطول.

The 2 to 4-mark question gives half a table and half a histogram. Go one way for each gap.

You haveYou work out
a bar, no frequencyheight × width
a frequency, no barfrequency ÷ width
neither, but the totaltotal minus the other classes

Same 100 waiting times. The table has no number for 15 to 30, the graph has no bar for 40 to 60, and 30 to 40 is missing from both.

Worked example

  1. 1

    — The bar is drawn but the table is blank. Find the width first.

  2. 2

    — Height × width gives the frequency, because a bar's area is its frequency. Write 36 in the table.

  3. 3

    — This time the table has 6 but the bar is missing.

  4. 4

    — Frequency ÷ width gives the height. Draw the bar 0.3 high from 40 to 60.

  5. 5

    — Neither is given, but the total is. Take every other class away from 100 to leave 16.

  6. 6

    — Now it is a normal “frequency, no bar” gap: divide by the width 10 and draw the bar.

Common mistake

Taking the width of 40 to 60 as 40 or 60. Width is the top minus the bottom: 20.

6. Bar Heights in Centimetres

أحيانًا لا يوجد مقياس للكثافة، ويُعطى فقط ارتفاع عمود واحد بالسنتيمتر. الارتفاعات تتناسب مع كثافات التكرار وليس مع التكرارات. أولًا احسب كثافة العمود المعروف بقسمة تكراره على طول فئته. ثم اقسم ارتفاعه بالسنتيمتر على كثافته لتعرف كم سنتيمترًا لكل وحدة كثافة. بعدها احسب كثافة العمود الآخر واضربها في هذا العدد لتجد ارتفاعه. الخطأ الشائع التناسب مع التكرارات مباشرة، وهذا خطأ لأن أطوال الفئات مختلفة.

Some questions give no density scale at all, just one bar's height in centimetres. Heights match frequency densities, so compare densities, not frequencies.

20 people are in and 21 people are in . The bar is 6 cm tall. How tall is the other bar?

Worked example

  1. 1

    — Frequency density of the bar you know: frequency ÷ width (5 − 0 = 5).

  2. 2

    — A density of 4 is drawn 6 cm tall. 6 ÷ 4 gives 1.5 cm for each unit of density.

  3. 3

    — Density of the other bar. Its width is 12 − 5 = 7.

  4. 4

    — Multiply its density by 1.5 cm to get its height.

Common mistake

Scaling the frequencies (20 is 6 cm, so 21 is 6.3 cm). The widths differ, so only the densities are in proportion to the heights.

7. Which Method? Read the Question

انظر ماذا أُعطيت وماذا ينقص. للرسم اقسم التكرار على طول الفئة لكل عمود. لإيجاد المجموع أو «كم عددًا» اضرب الارتفاع في الطول ثم اجمع. إذا لم يوجد مقياس وأُعطي تكرار واحد فابدأ بإيجاد ارتفاع ذلك العمود. إذا أُعطي ارتفاع عمود بالسنتيمتر فأوجد كم سنتيمترًا لكل وحدة كثافة. وإذا وقعت القيمة داخل عمود فاستخدم جزءه فقط. للتحقق: مجموع مساحات الأعمدة يساوي التكرار الكلي.

Look at what is given and what is missing.

You seeYou do
Draw a histogramfrequency ÷ width for each bar
Total, or how manyheight × width, then add
No scale, one frequency toldfind that bar's height first
One bar’s height in cm givenfind cm per unit of density
More than a value inside a baruse only part of that bar
All classes the same widthHistograms (Equal Class Intervals)
Estimate the meanEstimating the Mean for Grouped Data

Key idea

Check your answer: the areas of all the bars add up to the total frequency.

تدرّب على المدرجات التكرارية (فئات غير متساوية)

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة امتحانات سابقة على المدرجات التكرارية (فئات غير متساوية)، محلولة ومشروحة بالعربي