شرح قوانين الأسس بالرموز

Index Laws with Letters

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Power Means

الأُس يعدّ النسخ: الحرف المرفوع إلى أُس معناه أن الحرف مضروب في نفسه بعدد مرات يساوي الأُس. لذلك إذا رأيت الحرف نفسه مضروبًا في نفسه عدة مرات، فأبسط إجابة أن تكتبه مرة واحدة مع أُس يساوي عدد النسخ. والأُس، أي العدد الصغير، يخص فقط ما يجاوره مباشرة، فالعدد المكتوب قبل الحرف لا يتأثر بالأُس. وكل قوانين هذا الدرس تأتي من عدّ النسخ، فإذا نسيت قانونًا فاكتب النسخ وعُدّها.

A power counts copies. $a^{5}$ means five a's multiplied together.

a^{5} = a \times a \times a \times a \times a

So when the exam writes $d \times d \times d \times d$ , the simplest answer is $d^{4}$ .

Rule

The small number is the index (or power). It only belongs to what is right next to it: $3 a^{2}$ is $3 \times a \times a$ .

Key idea

Every rule in this lesson comes from counting copies. If you forget a rule, write the copies out.

2. Multiplying and Dividing Powers

قانونان مهمان، ويعملان فقط عندما يكون الأساس، أي الحرف، هو نفسه. عند الضرب اجمع الأُسس، لأنك إذا كتبت النسخ تنضم كلها في صف واحد وعددها مجموع الأُسّين. وعند القسمة اطرح أُس المقام من أُس البسط، لأن كل نسخة في المقام تختصر نسخة في البسط. وإذا قسمت قوة على نفسها يكون الناتج واحدًا، ولذلك أي شيء مرفوع إلى الأُس صفر يساوي واحدًا.

Most 1-mark questions use one of these two laws. They only work when the letter (the base) is the same.

Formula

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

$a$ is the letter, and $m$ and $n$ are its two powers. Multiplying adds the powers.

Worked example

1
$a^{2} \times a^{3}$ — The question. Both powers belong to the same letter a, so the law works.
2
$= (a \times a) \times (a \times a \times a)$ — Write out the copies: a² is 2 copies of a and a³ is 3 copies.
3
$= a \times a \times a \times a \times a$ — Drop the brackets. Everything is multiplied, so the copies join into one row.
4
$= a^{5}$ — Count them: 5 copies. That is 2 + 3, which is why multiplying adds the powers.

Formula

a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}

Dividing takes away the powers: the top power minus the bottom power.

Worked example

1
$a^{5} \div a^{2}$ — The question. Same letter again, so the law works.
2
$= \frac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a}$ — Write it as a fraction: 5 copies on top, 2 on the bottom.
3
$= \frac{a \times a \times a \times a \times a}{a \times a}$ — Each a on the bottom cancels one a on top, because a ÷ a = 1.
4
$= a \times a \times a$ — 3 copies are left on top, and only 1 is left on the bottom.
5
$= a^{3}$ — 3 is 5 − 2, which is why dividing subtracts the powers.

Key idea

Divide a power by itself: $a^{5} \div a^{5} = a^{0}$ , and it is also 1. So anything to the power 0 is 1, even $(p + 3)^{0}$ .

3. A Bracket to a Power

هذا أكبر نوع من الأسئلة: قوس مرفوع إلى أُس، والأُس الخارجي يصل إلى كل شيء داخل القوس. قوة القوة: اضرب الأُسّين. وحاصل ضرب داخل قوس: يأخذ كل جزء الأُس الخارجي. الطريقة: أعطِ الأُس لكل جزء، ثم ارفع العدد إلى القوة فعلًا بضربه في نفسه بعدد المرات المطلوبة، ثم اضرب الأُسس لكل حرف، ثم اكتب الكل حدًا واحدًا: العدد أولًا ثم الحروف. الخطأ الشائع أن تضرب العدد في الأُس بدل رفعه إلى القوة. واكتب كل جزء وحده، لأن الدرجات تُعطى لكل جزء.

This is the biggest question type, often worth 2 marks. The power outside the bracket reaches everything inside it.

Formula

(a^{m})^{n} = a^{mn}

A power of a power: multiply the two powers. $(x^{2})^{3}$ is three copies of $x^{2}$ , which is $x^{6}$ .

Formula

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

$a$ and $b$ are the parts multiplied inside the bracket, numbers or letters. Each part gets the power $n$ .

Worked example

1
$(3 x^{2} y^{4})^{3}$ — The question. Inside the bracket are three parts: the number 3, $x^{2}$ and $y^{4}$ .
2
$= 3^{3} \times (x^{2})^{3} \times (y^{4})^{3}$ — Give the power 3 to every part, because the power reaches everything inside.
3
$3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27$ — Cube the number: three 3s multiplied. It is not 3 × 3.
4
$(x^{2})^{3} = x^{6}$ — Power of a power: multiply, 2 × 3 = 6.
5
$(y^{4})^{3} = y^{12}$ — The same law for y: 4 × 3 = 12.
6
$= 27 x^{6} y^{12}$ — Put the parts together as one term: the number first, then the letters.

Common mistake

Writing 9 for the number. The 3 is cubed too: $3^{3} = 27$ , not $3 \times 3$ .

Key idea

Show each part. The marks check the number and each letter on their own, so two parts right often still earns 1 of the 2 marks.

4. Multiplying Terms with Numbers

عندما تضرب حدّين في كل منهما عدد في المقدمة وحروف، تعامل مع كل نوع وحده. اجمع الأعداد معًا، وكل حرف مع مثيله، لأن كل شيء مضروب فالترتيب لا يهم. الأعداد أعداد عادية فاضربها، والحرف نفسه المضروب في نفسه تجمع أُسّيه، وتذكّر أن الحرف وحده أُسّه واحد. ثم اكتب الكل حدًا واحدًا: العدد أولًا ثم الحروف. الخطأ الشائع أن تجمع الأعداد التي في المقدمة، والصحيح أن الأُسس فقط تُجمع والأعداد تُضرب. أكمل كل جزء، فكل جزء صحيح له درجة.

Exams often ask you to multiply two terms that each have a number in front. Deal with the numbers and each letter on its own.

Worked example

1
$4 x^{2} y^{3} \times 6 x^{5} y$ — The question. Each term has a number, some x's and some y's.
2
$= (4 \times 6) \times (x^{2} \times x^{5}) \times (y^{3} \times y)$ — Group like with like: numbers, x's, y's. Everything is multiplied, so any order is fine.
3
$4 \times 6 = 24$ — The numbers in front are ordinary numbers, so multiply them.
4
$x^{2} \times x^{5} = x^{7}$ — Same letter multiplied: add the powers, 2 + 5 = 7.
5
$y^{3} \times y^{1} = y^{4}$ — y on its own means $y^{1}$ , so 3 + 1 = 4.
6
$= 24 x^{7} y^{4}$ — Write it as one term: the number first, then the letters.

Common mistake

Adding the numbers: 4 + 6 = 10. Only the powers add. The numbers in front multiply: 4 × 6 = 24.

Key idea

Each part earns credit: a right number with one wrong power usually still gets 1 of the 2 marks. So finish every part.

5. Tidy the Bracket First

أحيانًا يحتوي القوس على حدّين مضروبين. رتّب ما داخل القوس أولًا ليصبح حدًا واحدًا: اضرب الأعداد، واجمع أُسس الحرف نفسه، والحرف الذي ليس له مثيل يبقى كما هو. بعد ذلك أعطِ الأُس الخارجي لكل جزء: ارفع العدد إلى القوة، واضرب أُس كل حرف في الأُس الخارجي، ثم اكتب الكل حدًا واحدًا. واكتب القوس بعد الترتيب في سطر مستقل، فقد يمنحك درجة وحده حتى لو أخطأت بعده.

Sometimes the bracket holds two terms multiplied together. Tidy the inside into one term first, then use the power.

Worked example

1
$(2 x^{3} \times 5 x y^{2})^{2}$ — The question. Two terms multiply inside the bracket, and the power 2 is outside.
2
$2 \times 5 = 10$ — Tidy inside first. Start with the numbers: multiply them.
3
$x^{3} \times x^{1} = x^{4}$ — Then the x's: x on its own is $x^{1}$ , so 3 + 1 = 4. The $y^{2}$ has no partner, so it stays.
4
$(10 x^{4} y^{2})^{2}$ — Now the bracket is one term, like the earlier card.
5
$= 1 0^{2} \times (x^{4})^{2} \times (y^{2})^{2}$ — Give the power 2 to every part.
6
$1 0^{2} = 100$ — Square the number: 10 × 10.
7
$(x^{4})^{2} = x^{8}, (y^{2})^{2} = y^{4}$ — Power of a power for each letter: 4 × 2 = 8 and 2 × 2 = 4.
8
$= 100 x^{8} y^{4}$ — Put the parts together as one term.

Key idea

Write the tidied bracket down as its own line. It can earn a mark by itself, even if a later line slips.

6. Dividing Numbers and Letters

في كسر فيه أعداد وحروف، قسّمه إلى كسور صغيرة: كسر للأعداد، وكسر لكل حرف، وهذا مسموح لأن كل شيء مضروب. الأعداد أعداد عادية فاقسمها، والحرف نفسه في البسط والمقام تطرح أُسّيه، وتذكّر أن الحرف وحده أُسّه واحد. ثم اجمع الأجزاء في حد واحد. الخطأ الشائع أن تطرح الأعداد، والصحيح أن الأعداد تُقسم والأُسس فقط تُطرح. وإذا كان الأُس الأكبر في المقام فإن الحرف يبقى في المقام.

For a fraction with numbers and letters, deal with each part on its own.

Worked example

1
$\frac{24 x ^{5} y ^{3}}{6 x ^{2} y}$ — The question. A number and two letters on top, the same kinds on the bottom.
2
$= \frac{24}{6} \times \frac{x ^{5}}{x ^{2}} \times \frac{y ^{3}}{y}$ — Split it into small fractions: numbers, x's, y's. You can, because everything is multiplied.
3
$24 \div 6 = 4$ — The numbers are ordinary numbers, so divide them.
4
$x^{5} \div x^{2} = x^{3}$ — Same letter divided: subtract the powers, 5 − 2 = 3.
5
$y^{3} \div y^{1} = y^{2}$ — y on its own means $y^{1}$ , so 3 − 1 = 2.
6
$= 4 x^{3} y^{2}$ — Put the parts together as one term.

Common mistake

Taking away the numbers: 24 − 6. Numbers divide. Only the powers subtract.

Key idea

If the bigger power is on the bottom, that letter stays on the bottom: $\frac{x ^{2}}{x ^{5}} = \frac{1}{x ^{3}}$ .

7. A Fraction to a Power

إذا كان داخل القوس كسر، فالأُس الخارجي يصل إلى البسط وإلى المقام معًا. أعطِ الأُس للبسط كله وللمقام كله. في البسط ارفع العدد إلى القوة بضربه في نفسه، لا بضربه في الأُس، وارفع الحرف كذلك. وفي المقام قوة القوة: اضرب الأُسّين. ثم اكتب البسط على المقام، ولا شيء يُختصر إذا كانت الحروف مختلفة. الخطأ الشائع أن ترفع البسط فقط وتنسى المقام.

If the bracket holds a fraction, the power reaches the top and the bottom.

Formula

(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}

$a$ is the top, $b$ is the bottom (not 0), and $n$ is the power. Power the top, then power the bottom.

Worked example

1
$(\frac{2 x}{y ^{3}})^{4}$ — The question. The power 4 sits outside a fraction.
2
$= \frac{( 2 x ) ^{4}}{( y ^{3} ) ^{4}}$ — Give the power to the top and to the bottom.
3
$(2 x)^{4} = 2^{4} x^{4}$ — Top: the power reaches both the 2 and the x.
4
$2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ — Four 2s multiplied make 16, not 2 × 4 = 8.
5
$(y^{3})^{4} = y^{12}$ — Bottom: power of a power, so multiply, 3 × 4 = 12.
6
$= \frac{16 x ^{4}}{y ^{12}}$ — Top over bottom. Nothing cancels, because x and y are different letters.

Common mistake

Powering only the top and writing $\frac{16 x ^{4}}{y ^{3}}$ . The power reaches the bottom too.

8. Find the Missing Power

في بعض الأسئلة تُعطى النتيجة ويكون أحد الأُسس مجهولًا. بما أن الأُسس تتبع القوانين، اكتب معادلة في الأُسس فقط: الضرب يجمع الأُس، والقسمة تطرحه، ثم اجعل الناتج مساويًا لأُس الطرف الآخر. بسّط المعادلة وحلّها كأي معادلة عادية، ثم تحقّق بالتعويض في الأُسس. القاعدة: إذا كان الحرف نفسه في الطرفين فالأُسّان متساويان.

Some questions give the answer and hide a power, n. The powers follow the laws, so write an equation in the powers.

Worked example

1
$\frac{y ^{7} \times y ^{n}}{y ^{4}} = y^{9}$ — The question. Every term is a power of y, and one power is hidden.
2
$7 + n - 4 = 9$ — The powers must match on both sides. Multiplying adds n, dividing takes away 4.
3
$n + 3 = 9$ — Tidy the left side: 7 − 4 = 3.
4
$n = 6$ — Take 3 from both sides, as in any equation.
5
$7 + 6 - 4 = 9$ — Check: put n = 6 back into the powers. It gives 9, so n = 6 is right.

Rule

Same letter on both sides means the powers are equal.

9. Which Method? Read the Question

انظر إلى العملية بين القوى لتختار القانون. الحرف مضروب في نفسه عدة مرات: عُدّ النسخ واكتبها أُسًا. ضرب الحرف نفسه: اجمع الأُسس. قسمة الحرف نفسه: اطرح الأُسس. قوس مرفوع إلى أُس: ارفع العدد واضرب أُس كل حرف. قوس فيه حدّان مضروبان: رتّب داخله أولًا ثم ارفعه. كسر مرفوع إلى أُس: ارفع البسط والمقام. الأعداد في المقدمة تُضرب أو تُقسم عاديًا. أي شيء مرفوع إلى الأُس صفر يساوي واحدًا. وأُس مجهول: اكتب معادلة في الأُسس. وتذكّر أن القوانين تعمل فقط عندما تكون الحروف متماثلة.

Look at the sign between the powers.

You see	You do
$d \times d \times d$	Count the copies: d³
$a^{3} \times a^{4}$	Add the powers
$a^{5} \div a^{2}$	Subtract the powers
$(3 x^{2} y^{4})^{3}$	Power the number; multiply each letter's power
$(2 x^{3} \times 5 x y^{2})^{2}$	Tidy inside the bracket first, then power it
$(\frac{2 x}{y ^{3}})^{4}$	Power the top and the bottom
Numbers in front	Multiply or divide the numbers as normal
$a^{0}$	It is 1
A missing power n	Write an equation in the powers

Key idea

The laws only work when the letters match. $a^{3} \times b^{2}$ does not simplify.

تدرّب على قوانين الأسس بالرموز

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح قوانين الأسس بالرموز

1. What a Power Means

2. Multiplying and Dividing Powers

3. A Bracket to a Power

4. Multiplying Terms with Numbers

5. Tidy the Bracket First

6. Dividing Numbers and Letters

7. A Fraction to a Power

8. Find the Missing Power

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على قوانين الأسس بالرموز

أسئلة امتحانات سابقة على قوانين الأسس بالرموز، محلولة ومشروحة بالعربي