شرح التناسب العكسي: y = k/x

Inverse Proportion: y = k/x

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Inverse Proportion Means (Higher)

في التناسب العكسي، إذا تضاعفت كمية تنقص الأخرى إلى النصف: عمال أكثر يعني أيامًا أقل. في المثال، حاصل ضرب عدد العمال في عدد الأيام يبقى ثابتًا دائمًا. القاعدة: «ص تتناسب عكسيًا مع س» تعني أن ص تساوي ثابت التناسب مقسومًا على س، ونجد هذا الثابت من زوج واحد من القيم.

When one quantity doubles, the other halves. More workers, fewer days.

Example

4 workers take 6 days. 8 workers take 3 days. The product stays the same: 4 × 6 = 8 × 3 = 24.

Rule

$y \propto \frac{1}{x}$ means $y = \frac{k}{x}$ for some number k. You find k from one pair of values.

2. Finding the Formula

معظم الأسئلة تعطيك زوجًا من القيم وتطلب القانون. اقرأ جيدًا: أي قوة للمتغير توضع في المقام؟ «يتناسب عكسيًا مع س» يضع س في المقام، و«مع مربع س» يضع المربع في المقام. الخطوات: اكتب القانون بثابت التناسب، ثم عوّض بالزوج المعطى، ثم اضرب الطرفين في المقام لتعزل الثابت، ثم اكتب القانون كاملًا بقيمة الثابت. عند استعماله لاحظ أن المتغير الأصغر يعطي ناتجًا أكبر، وهذا متوقع في التناسب العكسي. الخطأ الشائع: التوقف عند قيمة الثابت؛ السؤال يطلب قانونًا. واكتب كل سطر، فمعظم الدرجات على الخطوات.

Most questions give you a pair of values and ask for the formula. Read carefully which power of x goes on the bottom.

Worked example

1
$y = \frac{k}{x}$ — “Inversely proportional to x” puts x on the bottom.
2
$6 = \frac{k}{15}$ — Put in the pair we are given: y = 6 when x = 15.
3
$k = 6 \times 15 = 90$ — Multiply both sides by 15 to get k on its own.
4
$y = \frac{90}{x}$ — Write the formula with k filled in.
5
$y = \frac{90}{5} = 18$ — Now use it: x = 5. A smaller x gives a bigger y, as it should for inverse proportion.

Worked example

1
$I \propto \frac{1}{d ^{2}} \Rightarrow I = \frac{k}{d ^{2}}$ — “Inversely proportional to the square of d” puts d² on the bottom.
2
$12.5 = \frac{k}{4 ^{2}}$ — Put in the pair we are given: I = 12.5 when d = 4.
3
$12.5 = \frac{k}{16}$ — Work out 4² = 16.
4
$k = 12.5 \times 16 = 200$ — Multiply both sides by 16 to get k on its own.
5
$I = \frac{200}{d ^{2}}$ — Write the formula with k filled in.

Common mistake

Stopping at k = 200. The question asks for a formula: I = 200/d².

Key idea

Show every line. Most of the marks are for the working, and finding k earns its own mark.

3. Using the Formula

بعد إيجاد القانون، يعطيك السؤال قيمة ويطلب الأخرى. لإيجاد الكمية التي على اليسار: عوّض واحسب المربع ثم اقسم. لإيجاد المتغير الذي في المقام: عوّض بالقيمة المعطاة، ثم بدّل مكان المقام مع تلك القيمة، ثم خذ الجذر التربيعي، وإذا كانت الكمية طولًا فتجاهل الجواب السالب. انتبه مع الأعداد السالبة: ضعها دائمًا بين قوسين عند التعويض، لأن مربع العدد السالب موجب. والثابت قد يكون سالبًا، فالسالب في الموجب سالب، وعندها يكون الناتج سالبًا.

The next part gives one value and asks for the other. Use the formula $I = \frac{200}{d ^{2}}$ .

Worked example

1
$I = \frac{200}{2 ^{2}}$ — Find I when d = 2. Put d = 2 in.
2
$I = \frac{200}{4} = 50$ — Work out 2² = 4, then divide.
3
$3.125 = \frac{200}{d ^{2}}$ — Now find d when I = 3.125. Put I in.
4
$d^{2} = 200 \div 3.125$ — d² and I swap places, so d² = 200 ÷ I.
5
$d^{2} = 64$ — Work out 200 ÷ 3.125 = 64.
6
$d = 8$ — Take the square root. A length is positive, so ignore −8.

Negative numbers need care. Keep the bracket round a negative value.

Worked example

1
$f = \frac{k}{h ^{2}}$ — f is inversely proportional to the square of h.
2
$- 2 = \frac{k}{3 ^{2}}$ — Put in f = −2 and h = 3.
3
$k = - 2 \times 9 = - 18$ — Multiply both sides by 9. A negative times a positive is negative.
4
$f = \frac{- 18}{h ^{2}}$ — Write the formula with k filled in.
5
$f = \frac{- 18}{( - 6 ) ^{2}}$ — Now put in h = −6. Keep it in brackets.
6
$(- 6)^{2} = 36$ — A negative number squared is positive.
7
$f = \frac{- 18}{36} = - \frac{1}{2}$ — Divide. The top is negative and the bottom is positive, so f is negative.

4. Cubes and Square Roots

نفس الطريقة تصلح لأي قوة، ولا يتغير إلا مقام الكسر. مع المكعب: ضع مكعب المتغير في المقام، وعوّض بالزوج المعطى، واحسب المكعب، ثم اضرب لتجد الثابت. ولإيجاد المتغير بالعكس: بدّل مكان المكعب مع القيمة المعطاة، ثم خذ الجذر التكعيبي وتحقق بالضرب. ومع الجذر التربيعي: ضع جذر المتغير في المقام، واحسب الجذر عند التعويض، ثم أوجد الثابت واستخدم القانون بنفس الطريقة.

The same method works for any power. Only the bottom of the fraction changes.

Worked example

1
$y = \frac{k}{x ^{3}}$ — y is inversely proportional to x³.
2
$5 = \frac{k}{2 ^{3}}$ — Put in y = 5 and x = 2.
3
$5 = \frac{k}{8}$ — Work out 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
4
$k = 5 \times 8 = 40$ — Multiply both sides by 8 to get k.
5
$320 = \frac{40}{x ^{3}}$ — Now find x when y = 320.
6
$x^{3} = 40 \div 320 = 0.125$ — x³ and 320 swap places, so x³ = 40 ÷ 320.
7
$x = 3 0.125 = 0.5$ — Take the cube root. Check: 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.125.

Worked example

1
$y = \frac{k}{x}$ — “Inversely proportional to the square root of x” puts √x on the bottom.
2
$5 = \frac{k}{4}$ — Put in y = 5 and x = 4.
3
$5 = \frac{k}{2}$ — Work out √4 = 2.
4
$k = 5 \times 2 = 10$ — Multiply both sides by 2 to get k.
5
$y = \frac{10}{25}$ — Use it: put in x = 25.
6
$y = \frac{10}{5} = 2$ — Work out √25 = 5, then divide.

5. Inverse with a Bracket

أحيانًا يكون التناسب العكسي مع قوس كامل، مثل جذر المتغير زائد عدد. القاعدة: القوس كله يوضع في المقام، مرفوعًا للقوة المطلوبة، والعدد المضاف قد يكون سالبًا. عند التعويض احسب ما داخل القوس أولًا ثم الجذر أو المربع، ثم أوجد الثابت واكتب القانون. وللبحث عن المتغير بالعكس: اعزل القوس المربع، ثم خذ الجذر التربيعي وتذكّر أنه يعطي جوابين موجبًا وسالبًا، ثم أضف العدد لكل جواب، واستعمل الشرط المعطى في السؤال لترفض الجواب غير المناسب. الخطأ الشائع: وضع المتغير وحده في المقام وترك العدد خارج الكسر.

The bracket trick appears here too: “y is inversely proportional to √(x + 4)”. The whole bracket goes on the bottom.

Formula

y = \frac{k}{( x + a ) ^{n}}

Here $k$ is the fixed number you find, $a$ is the number added to $x$ in the question (it can be negative), and $n$ is the power.

Worked example

1
$y = \frac{k}{x + 4}$ — The whole bracket is under the root, on the bottom.
2
$2 = \frac{k}{12 + 4}$ — Put in x = 12 and y = 2. Add under the root first.
3
$2 = \frac{k}{4}$ — Work out √16 = 4.
4
$k = 2 \times 4 = 8$ — Multiply both sides by 4 to get k.
5
$y = \frac{8}{x + 4}$ — Write the formula with k filled in.
6
$y = \frac{8}{60 + 4}$ — Now put in x = 60.
7
$y = \frac{8}{8} = 1$ — Work out √64 = 8, then divide.

Now go the other way, finding x. Watch for a hint such as “x > 2”.

Worked example

1
$y = \frac{k}{( x - 2 ) ^{2}}$ — y is inversely proportional to the square of (x − 2).
2
$3 = \frac{k}{( 7 - 2 ) ^{2}}$ — Put in y = 3 and x = 7.
3
$3 = \frac{k}{25}$ — Work out (7 − 2)² = 5² = 25.
4
$k = 3 \times 25 = 75$ — Multiply both sides by 25.
5
$12 = \frac{75}{( x - 2 ) ^{2}}$ — Now find x when y = 12.
6
$(x - 2)^{2} = 75 \div 12 = 6.25$ — (x − 2)² and 12 swap places, so (x − 2)² = 75 ÷ 12.
7
$x - 2 = 2.5 or x - 2 = - 2.5$ — A square root gives a positive and a negative answer.
8
$x = 4.5 or x = - 0.5$ — Add 2 to each side.
9
$x = 4.5$ — The question says x > 2, so reject −0.5.

Common mistake

Putting only the x on the bottom. $y = \frac{8}{x + 4}$ is not $\frac{8}{x} + 4$ . The whole bracket goes on the bottom.

6. Letters Instead of Numbers (Higher)

قد يستعمل السؤال حروفًا بدل أعداد للقيم المعطاة. عامل كل حرف كأنه عدد، واتركه داخل ثابت التناسب. الخطوات نفسها: اكتب القانون، عوّض بالقيم الحرفية، احسب القوة، ثم اضرب لتعزل الثابت، فيظهر الحرف داخل الثابت. وفي المثال الثاني: جذر مربع الحرف يساوي الحرف نفسه لأنه موجب، وعند ضرب قوى الأساس نفسه نجمع الأسس. أخيرًا اكتب القانون، وتحقق بالتعويض بالقيمة الأصلية.

Questions can use letters for the given values. Treat each letter like a number and keep it in k.

Worked example

1
$A = \frac{k}{r ^{2}}$ — A is inversely proportional to r². We are told A = 2p when r = 3.
2
$2 p = \frac{k}{3 ^{2}}$ — Put in A = 2p and r = 3.
3
$2 p = \frac{k}{9}$ — Work out 3² = 9.
4
$k = 2 p \times 9 = 18 p$ — Multiply both sides by 9. The p stays in k.
5
$A = \frac{18 p}{r ^{2}}$ — Write the formula with k filled in.

Worked example

1
$y = \frac{k}{x}$ — y is inversely proportional to √x. We are told y = c³ when x = c², and c is positive.
2
$c^{3} = \frac{k}{c ^{2}}$ — Put in y = c³ and x = c².
3
$c^{3} = \frac{k}{c}$ — √(c²) = c, because c is positive.
4
$k = c^{3} \times c = c^{4}$ — Multiply both sides by c. Add the powers: c³ × c = c⁴.
5
$y = \frac{c ^{4}}{x}$ — Write the formula with k filled in. Check: x = c² gives c⁴ ÷ c = c³.

7. What Happens to y?

بعض الأسئلة تسأل: ماذا يحدث للكمية إذا قُسم المتغير على اثنين أو ضُرب في عدد؟ لا تحتاج ثابت التناسب هنا. ضع القيمة الجديدة مكان المتغير في القانون وقارن. القاعدة: إذا ضُرب المتغير في عدد، فالكمية تُقسم على ذلك العدد مرفوعًا لقوة المقام. مثلًا إذا كان المقام مربعًا وقُسم المتغير على اثنين، فالمربع يصبح ربعًا، والقسمة على ربع تعني الضرب في أربعة. ومع الجذر: إذا ضُرب المتغير في تسعة فجذره يُضرب في ثلاثة، فتُقسم الكمية على ثلاثة. الخطأ الشائع: القول إن الكمية تتضاعف فقط، ونسيان أن المتغير مربع.

Some questions ask what happens to y when x is halved or multiplied. You do not need k. Put the new x into the formula and compare.

Formula

x \to m x \Rightarrow y \to \frac{y}{m ^{n}}

This is for $y = \frac{k}{x ^{n}}$ . Here $m$ is the number x is multiplied by and $n$ is the power on the bottom.

Worked example

1
$F = \frac{k}{d ^{2}}$ — F is inversely proportional to d². Now d is halved.
2
$d \to \frac{1}{2} d$ — “Halved” means multiplied by ½.
3
$F = \frac{k}{( \frac{1}{2} d ) ^{2}}$ — Put ½d in place of d.
4
$(\frac{1}{2} d)^{2} = \frac{1}{4} d^{2}$ — Square the ½ as well as the d: ½ × ½ = ¼.
5
$F = \frac{k}{\frac{1}{4} d ^{2}} = 4 \times \frac{k}{d ^{2}}$ — Dividing by ¼ is the same as multiplying by 4.
6
$F \times 4$ — So F is multiplied by 4.

Worked example

1
$m = \frac{k}{p}$ — m is inversely proportional to √p. Now p is multiplied by 9.
2
$m = \frac{k}{9 p}$ — Put 9p in place of p.
3
$9 p = 3 p$ — Work out √9 = 3.
4
$m = \frac{1}{3} \times \frac{k}{p}$ — Dividing by 3 is the same as multiplying by ⅓.
5
$m \div 3$ — So m is divided by 3.

Common mistake

Saying F doubles when d is halved. The d is squared, so halving d multiplies F by $2^{2} = 4$ .

8. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة دليل: كلمات السؤال تخبرك ماذا تضع في المقام. «يتناسب عكسيًا» مع المتغير: المتغير في المقام، ومع مربعه: المربع في المقام، ومع مكعبه: المكعب، ومع الجذر التربيعي: الجذر. إذا كان مع قوس فالقوس كله في المقام. وإذا قيل «تناسب طردي» فارجع لدرس التناسب الطردي. وإذا سُئلت ماذا يحدث عند القسمة على اثنين أو الضرب في عدد، فالكمية تُقسم على ذلك العدد مرفوعًا للقوة. القاعدة الذهبية: أوجد الثابت أولًا، ثم اكتب القانون كاملًا، ثم استخدمه.

The words tell you what goes on the bottom.

You see	You write
“inversely … to x”	$y = \frac{k}{x}$
“… to the square of x”	$y = \frac{k}{x ^{2}}$
“… to x³”	$y = \frac{k}{x ^{3}}$
“… to the square root”	$y = \frac{k}{x}$
“directly proportional”	See Direct Proportion
“… to (x + 4)” or “√(x − 2)”	Keep the whole bracket on the bottom
“halved”, “multiplied by 9”	y is divided by mⁿ (m = the multiplier, n = the power)

Key idea

Always find k first, then write the full formula, then use it.

تدرّب على التناسب العكسي: y = k/x

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التناسب العكسي: y = k/x

1. What Inverse Proportion Means (Higher)

2. Finding the Formula

3. Using the Formula

4. Cubes and Square Roots

5. Inverse with a Bracket

6. Letters Instead of Numbers (Higher)

7. What Happens to y?

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على التناسب العكسي: y = k/x

أسئلة امتحانات سابقة على التناسب العكسي: y = k/x، محلولة ومشروحة بالعربي