شرح الترتيب والمتباينات

Ordering and Inequalities

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What the Signs Mean

علامة المتباينة تقارن بين عددين غير متساويين. هناك أربع علامات: أصغر من، وأكبر من، وأصغر من أو يساوي، وأكبر من أو يساوي، وعلامة خامسة تعني «لا يساوي». القاعدة: الجهة المفتوحة الواسعة من العلامة تواجه دائمًا العدد الأكبر، والرأس المدبّب يشير إلى الأصغر. يمكن قراءة الحقيقة نفسها من الجهتين، فتنقلب العلامة لكن جهتها المفتوحة تبقى نحو العدد الأكبر. والخط تحت العلامة نصف علامة مساواة، ويعني أن العدد نفسه مسموح أيضًا.

An inequality sign compares two numbers that are not equal. There are four signs to know, plus one for “not equal”.

Sign	Means
$<$	is less than
$>$	is more than
$\leq$	is less than or equal to
$\geq$	is more than or equal to
$\neq =$	is not equal to

Rule

The wide, open side of the sign always faces the bigger number. The point faces the smaller one.

Worked example

1
$7 > 3$ — Seven is more than three. The open side of the sign faces the bigger number, 7.
2
$3 < 7$ — The same fact read from the other side. The sign turns round, but its open side still faces 7.
3
$7 \neq = 3$ — Seven and three are different numbers, so “not equal” is also true. A crossed-out equals sign means not equal.

Key idea

The line under $\leq$ and $\geq$ is half an equals sign. It means the number itself is allowed too.

2. Put a Sign Between Two Numbers

في هذا السؤال تضع علامة «أصغر من» أو «أكبر من» بين عددين. تخيّل خط الأعداد: العدد الأبعد إلى اليمين هو الأكبر. مع الأعداد السالبة، العدد الأقرب إلى الصفر هو الأكبر. مع الكسور العشرية اجعل عدد المنازل متساويًا بإضافة أصفار في النهاية ثم قارن. ومع الكسور العادية وحّد المقامات أولًا ثم قارن البسوط. الخطأ الشائع: الظن أن السالب الذي رقمه أكبر هو الأكبر، والصحيح أنه الأصغر لأنه أبعد تحت الصفر.

The 1-mark question: "Write < or > between each pair of numbers." Picture the number line: the one further right is bigger.

Worked example

1
$- 5 □ - 2$ — Two negative numbers. Picture them on the number line.
2
$- 5 < - 2$ — −5 is further left, further below zero, so it is the smaller number.
3
$0.3 □ 0.25$ — Decimals with different numbers of places. Give them the same number of places first.
4
$0.3 = 0.30$ — A zero on the end does not change a decimal. Now both numbers have 2 decimal places.
5
$0.30 > 0.25$ — 30 hundredths is more than 25 hundredths, so 0.3 is bigger.
6
$\frac{2}{3} □ \frac{3}{5}$ — Fractions with different bottoms. Make the bottoms the same first.
7
$\frac{2}{3} = \frac{10}{15}, \frac{3}{5} = \frac{9}{15}$ — 15 is in the 3 and the 5 times tables. Multiply the top and bottom of the first by 5, and of the second by 3.
8
$\frac{10}{15} > \frac{9}{15}$ — Same bottoms, so compare the tops: 10 is more than 9. So the first fraction is bigger.

Common mistake

Writing $- 5 > - 2$ because 5 is bigger than 2. With negatives, the one nearer zero is bigger.

3. Compare Different Forms

الامتحانات تخلط الصيغ: كسر مقابل نسبة مئوية، أو قوة مقابل كسر عشري. حوّل الاثنين إلى كسور عشرية ثم قارن، وقد تكون الإجابة أنهما متساويان. لتحويل الكسر اقسم البسط على المقام، ولتحويل النسبة المئوية اقسم على مئة. احسب القوة أولًا، وتذكّر أن تربيع كسر عشري أقل من الواحد يجعله أصغر. وعندما يتكرر الرقم إلى ما لا نهاية قارن خانة بخانة. الخطأ الشائع: تقريب الكسر الدوري ثم كتابة علامة المساواة. وقد يكون في سؤال «ضع دائرة حول كل علامة صحيحة» أكثر من إجابة.

Exams mix forms: a fraction against a percentage, or a power against a decimal. Change both into decimals, then compare. Sometimes the answer is =.

Worked example

1
$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ — Change the fraction to a decimal: divide the top by the bottom.
2
$37.5% = 37.5 \div 100 = 0.375$ — Change the percentage to a decimal: divide by 100.
3
$\frac{3}{8} = 37.5%$ — Both are 0.375, so they are equal.
4
$0. 3^{2} = 0.3 \times 0.3 = 0.09$ — Work out the power first. Squaring a decimal below 1 makes it smaller.
5
$0. 3^{2} < 0.3$ — 0.09 is 9 hundredths and 0.3 is 30 hundredths, so the square is smaller.
6
$\frac{5}{6} = 5 \div 6 = 0.8333 \dots$ — Divide 5 by 6. The 3s go on for ever, so keep the dots.
7
$\frac{5}{6} > 0.83$ — Compare place by place. Both start 0.83, then $\frac{5}{6}$ carries on with more 3s, so it is bigger.

Common mistake

Rounding $\frac{5}{6}$ to 0.83 and writing =. 0.8333… is a little more than 0.83.

Key idea

“Ring every sign that is correct” can have two answers. 0.4 = 40%, which is more than 4%, so >, ≥ and ≠ are all correct between 0.4 and 4%.

4. Words Into Symbols

في هذا السؤال تحوّل الكلمات إلى متباينة، وتستخدم حرفًا للمجهول. «أكثر من» و«أقل من» لهما العلامة بلا خط، أما «على الأقل» فتعني العدد أو أكثر، و«على الأكثر» تعني العدد أو أقل، فنستخدم العلامة التي تحتها خط لأن العدد نفسه مسموح. ويمكن كتابة المتباينة والمجهول على اليمين، فإذا بدّلت الطرفين اقلب العلامة. الخطأ الشائع: استخدام «أكبر من» لعبارة «على الأقل»، مع أن الطفل الذي طوله يساوي الحد تمامًا مسموح له.

The 1-mark question: "Write an inequality for ...". Turn each phrase into a sign. Use a letter for the unknown.

Words	Symbol
more than 4	$x > 4$
at least 4 (4 or more)	$x \geq 4$
less than 4	$x < 4$
at most 4 (4 or less)	$x \leq 4$

Worked example

1
$ride: at least 120 cm$ — The rule on a fairground ride. Use $h$ for a child’s height in cm.
2
$h \geq 120$ — “At least” means 120 or more. 120 itself is allowed, so use the sign with the line under it.
3
$5 > x$ — Some answers are written with the letter on the right. This says 5 is more than $x$ .
4
$x < 5$ — Read it from the other side: swap the two sides and turn the sign round. Both say $x$ is below 5.

Common mistake

Writing $h > 120$ for "at least 120". A child exactly 120 cm tall can ride, so you need $\geq$ .

5. List the Integers

العدد الصحيح هو عدد كامل بلا كسور، ويمكن أن يكون سالبًا أو صفرًا. لكتابة قيم المجهول الممكنة، اقرأ كل طرف من المتباينة وحده: إذا كانت العلامة بلا خط فالعدد عند هذا الطرف غير مسموح فابدأ من العدد الصحيح الذي يليه، وإذا كانت العلامة بخط فالعدد مسموح. ثم اكتب كل الأعداد الصحيحة بين الطرفين. الخطأ الشائع: نسيان الصفر، أو إدخال العدد الذي عند العلامة بلا خط. تحقّق من الطرفين دائمًا.

The 2-mark question: "n is an integer. $- 3 < n \leq 2$ . List the possible values of n." An integer is a whole number, and it can be negative.

Worked example

1
$- 3 < n \leq 2$ — The question. Read each end on its own.
2
$- 3$ — The left sign is <, with no line, so −3 itself is out. Start at the next integer up, −2.
3
$2$ — The right sign is ≤, with a line, so 2 is in. Stop at 2.
4
$n = - 2, - 1, 0, 1, 2$ — Write every whole number from −2 up to 2. Do not skip 0: it is an integer too.

Common mistake

Leaving out 0, or including −3. Write every whole number from one end to the other, then check both ends.

6. Read the Number Line

في هذا السؤال تكتب المتباينة المرسومة على خط الأعداد. الدائرة المملوءة تعني أن العدد داخل في الحل، فنستخدم «أصغر من أو يساوي». والدائرة المفتوحة تعني أن العدد غير داخل، فنستخدم «أصغر من». اكتب المتباينة كما يُقرأ الخط: العدد الأصغر على اليسار، والمجهول في الوسط، والعدد الأكبر على اليمين. الخطأ الشائع: استخدام العلامة نفسها عند الطرفين، فافحص كل دائرة وحدها. وكل طرف صحيح قد يأخذ درجة وحده، فاكتب الطرفين دائمًا.

The 2-mark question: “Write down the inequality shown on the number line.” Here the line has a filled circle at −1 and an open circle at 4, joined by a line.

Worked example

1
$filled circle at - 1$ — A filled circle means −1 is included, so this end uses ≤.
2
$open circle at 4$ — An open circle means 4 is not included, so this end uses <.
3
$- 1 \leq x < 4$ — Write it the way the line reads: the smaller number on the left, $x$ in the middle, the bigger number on the right.

Common mistake

Using < at both ends. Check each circle on its own: filled means ≤, open means <.

Key idea

Each correct end can earn a mark on its own. If you are unsure, still write both ends.

7. Which Method? Read the Question

هذه شاشة مراجعة: انظر إلى ما يعطيك السؤال وما يطلبه. للمقارنة بين عددين تخيّل خط الأعداد، فاليمين أكبر. مع كسر ونسبة مئوية وقوة حوّل الجميع إلى كسور عشرية ثم قارن. «على الأقل» و«على الأكثر» لهما العلامة التي تحتها خط، و«أكثر من» و«أقل من» بلا خط. عند كتابة الأعداد الصحيحة افحص الطرفين. على خط الأعداد: الدائرة المملوءة تعني أن العدد داخل، والمفتوحة تعني أنه غير داخل. أما ترتيب قائمة أعداد وحل المتباينات فلها دروس خاصة.

Look at what the question gives you and what it wants back.

You see	You do
Write < or > between	number line: right is bigger
A fraction, a percentage or a power	change both to decimals, then compare
"at least" or "at most"	use the sign with a line under it
"more than" or "less than"	use the sign with no line
n is an integer, list the values	whole numbers, check both ends
Inequality shown on a number line	filled circle ≤ or ≥, open circle < or >
Order a list of numbers	Ordering Values
Solve an inequality with x in it	Linear Inequalities

Key idea

On a number line, an open circle means the number is not included. A filled circle means it is.

تدرّب على الترتيب والمتباينات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الترتيب والمتباينات

1. What the Signs Mean

2. Put a Sign Between Two Numbers

3. Compare Different Forms

4. Words Into Symbols

5. List the Integers

6. Read the Number Line

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الترتيب والمتباينات

أسئلة امتحانات سابقة على الترتيب والمتباينات، محلولة ومشروحة بالعربي