شرح ترتيب القيم

Ordering Values

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Ordering Means

الترتيب يعني كتابة الأعداد من الأصغر إلى الأكبر، والامتحان يقول «ابدأ بالأصغر». تخيّل خط الأعداد: اليسار أصغر واليمين أكبر. ابدأ بالأعداد السالبة لأنها على يسار الصفر، ورتّبها: الأبعد عن الصفر هو الأصغر. ثم الصفر، فهو أكبر من كل سالب وأصغر من كل موجب. ثم الأعداد الموجبة من الصغير إلى الكبير. الخطأ الشائع: ترتيب السالبة حسب أرقامها، والصحيح أن السالب الأقرب إلى الصفر هو الأكبر.

To order numbers, write them from the smallest to the largest. The exam says "Start with the smallest number".

The 1-mark question: whole numbers, some of them negative. Picture a number line. Left is smaller, right is bigger.

Worked example

1
$4, - 7, 0, - 2, 9$ — The list. Some numbers are negative, so picture them on a number line.
2
$- 7, - 2$ — Pick out the negatives first. They sit left of zero, so they are the smallest.
3
$- 7 < - 2$ — −7 is 7 steps below zero and −2 is only 2 below. So −7 is further left, and smaller.
4
$- 7, - 2, 0$ — Zero comes next. It is bigger than every negative and smaller than every positive.
5
$- 7, - 2, 0, 4, 9$ — Last, the positives from small to big: 4, then 9.

Common mistake

Putting $- 2$ before $- 7$ because 2 is smaller than 7. For negatives it flips: the one nearer zero is bigger.

2. Ordering Decimals

هذا أكثر سؤال شائع: ترتيب كسور عشرية من الأصغر إلى الأكبر. انتبه: الكسر العشري الأطول ليس دائمًا الأكبر. القاعدة: اجعل كل الكسور بعدد المنازل نفسه بإضافة أصفار في النهاية، فالأصفار في النهاية لا تغيّر القيمة. ثم قارنها كأنها أعداد صحيحة. في النهاية اكتب الأعداد كما أُعطيت في السؤال، من الأصغر إلى الأكبر. الخطأ الشائع: الظن أن العدد الذي فيه أرقام أكثر هو الأكبر، والصحيح أن تنظر أولًا إلى خانة الأعشار.

The 1-mark question, the most common one: five decimals, smallest first. A longer decimal is not always bigger.

Rule

Give every decimal the same number of places by adding zeros at the end. Then compare them like whole numbers.

Worked example

1
$0.65, 0.6, 0.26, 0.065, 0.206$ — The list. The decimals have different lengths, so they are hard to compare as they are.
2
$0.65 0, 0.6 00, 0.26 0$ — The longest have 3 places, so add zeros to the end of the others. Zeros at the end do not change the value.
3
$0.065, 0.206$ — These two already have 3 places, so leave them.
4
$065 < 206 < 260 < 600 < 650$ — Now ignore the 0. at the front and compare the digits like whole numbers.
5
$0.065, 0.206, 0.26, 0.6, 0.65$ — Write the answer with the numbers exactly as given, smallest first.

Common mistake

Thinking $0.065$ is bigger than $0.6$ because it has more digits. Look at the first place after the point: 0 tenths against 6 tenths.

3. Greatest or Least From a Table

في هذا السؤال جدول لدول أو جبال أو بحيرات، ويسألك أيها الأكبر أو الأصغر. لمقارنة الأعداد الكبيرة عُدّ الأرقام أولًا، فالعدد الذي فيه أرقام أكثر هو الأكبر. وإذا تساوى عدد الأرقام فقارن من اليسار رقمًا برقم حتى تجد الاختلاف. أجب باسم الدولة لا بالعدد، لأن السؤال يسأل «أيها». وقد يأتي سؤال متابعة يطلب الفرق بين الأكبر والأصغر، فاطرح الأصغر من الأكبر. الخطأ الشائع: الخلط بين «الأقل» و«الأكبر»، فضع خطًا تحت الكلمة.

The 1-mark question: a table of countries, mountains or lakes. "Which has the greatest area?" Write the name, not the number.

Country	Area (km²)
A	912 000
B	1 098 000
C	945 000
D	1 141 000

Worked example

1
$7 digits: B and D$ — Count the digits. B and D have 7 and the others have 6. More digits means a bigger whole number.
2
$1141000 > 1098000$ — B and D both start with 1 million, so look at the next digit: 1 beats 0.
3
$greatest: D$ — The question asks which country, so answer with the name D, not the number.
4
$1141000 - 912000$ — A 2-mark follow-on asks for the difference between the greatest and the least. A, at 912 000, is the least, so take it from D.
5
$= 229000$ — 1 141 000 − 912 000 = 229 000.

Common mistake

Reading "least" as "greatest". Underline the word, then look for the smallest number.

4. Ordering Fractions

لترتيب الكسور: حوّلها كلها إلى المقام نفسه، ثم قارن البسوط. اختر مقامًا مشتركًا تقبل كل المقامات القسمة عليه، واضرب بسط كل كسر ومقامه في العدد نفسه. عندما تتساوى المقامات تصبح الأجزاء بالحجم نفسه، فالبسط الأكبر يعني كسرًا أكبر. ثم اكتب الكسور كما أُعطيت من الأصغر إلى الأكبر. الخطأ الشائع: الترتيب حسب المقام، مع أن المقام الأكبر يعني أجزاء أصغر. ولإيجاد كسر بين كسرين، اضرب بسط كل منهما ومقامه في اثنين حتى تظهر فجوة بين البسطين.

The 2-mark question: four fractions, smallest first. Change them all to the same bottom number, then compare the tops.

Worked example

1
$\frac{2}{3}, \frac{5}{8}, \frac{3}{4}, \frac{7}{12}$ — The list. The bottom numbers are all different, so the tops cannot be compared yet.
2
$common bottom: 24$ — 3, 8, 4 and 12 all go into 24, so every fraction can be written in 24ths.
3
$\frac{16}{24}, \frac{15}{24}, \frac{18}{24}, \frac{14}{24}$ — Multiply the top and bottom of each by the same number: × 8, × 3, × 6 and × 2. Keep the order of the list.
4
$14 < 15 < 16 < 18$ — The pieces are now the same size, so the bigger top means the bigger fraction.
5
$\frac{7}{12}, \frac{5}{8}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$ — Write the fractions as given, smallest first. 14/24 was 7/12, so it goes first.

Common mistake

Ordering by the bottom number. A bigger bottom means smaller pieces, so $\frac{1}{8}$ is less than $\frac{1}{4}$ .

Key idea

"Is $\frac{1}{3}$ halfway between $\frac{1}{4}$ and $\frac{1}{2}$ ?" Halfway is $\frac{3}{8} = \frac{9}{24}$ , but $\frac{1}{3} = \frac{8}{24}$ . So no.

A fraction in between. Some questions ask for any fraction between two others. Make the pieces smaller until there is room between the tops.

Worked example

1
$\frac{3}{20} and \frac{4}{20}$ — The question. No whole number lies between the tops 3 and 4, so you cannot answer yet.
2
$\frac{6}{40} and \frac{8}{40}$ — Multiply the top and bottom of both by 2. The values stay the same, but now there is a gap between the tops.
3
$\frac{7}{40}$ — 7 is between 6 and 8, so 7/40 lies between the two fractions. It is exactly halfway too.

5. Fractions, Decimals and Percentages Together

عندما تختلط الكسور العادية والكسور العشرية والنسب المئوية، حوّل كل قيمة إلى كسر عشري ثم رتّب. الكسر العادي يعني البسط مقسومًا على المقام، والنسبة المئوية تعني القسمة على مئة. اجعل كل الكسور العشرية بعدد المنازل نفسه وقارن. ثم اكتب الأعداد بصيغتها الأصلية كما في السؤال، لا الكسور العشرية. وفي سؤال «أيهما أكبر؟» احسب الكميتين: نسبة مئوية من عدد تعني الضرب، وكسر من عدد يعني القسمة على المقام ثم الضرب في البسط. اكتب الكميتين ثم قارن وقل الإجابة بالكلمات.

The 2-mark question mixes all three. Change every value to a decimal, then order the decimals.

Worked example

1
$0.41, \frac{3}{8}, 42%, \frac{2}{5}, 0.405$ — The list mixes decimals, fractions and a percentage. Change every one to a decimal.
2
$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ — A fraction means top divided by bottom.
3
$42% = 42 \div 100 = 0.42$ — Percent means out of 100, so divide by 100.
4
$\frac{2}{5} = 2 \div 5 = 0.4$ — Top divided by bottom again.
5
$0.375 < 0.400 < 0.405 < 0.410 < 0.420$ — Pad them all to 3 places and compare like whole numbers.
6
$\frac{3}{8}, \frac{2}{5}, 0.405, 0.41, 42%$ — Write the original numbers in that order, not the decimals.

The 3-mark question: "Which is larger?" Work out both amounts, and show it.

Worked example

1
$35% of 360 = 0.35 \times 360$ — 35% is 35 ÷ 100 = 0.35, and “of” means multiply.
2
$= 126$ — 0.35 × 360 = 126. This is the first amount.
3
$\frac{3}{8} of 320 = 320 \div 8 \times 3$ — For 3/8, divide by the bottom to find one eighth, then multiply by the top.
4
$= 40 \times 3$ — 320 ÷ 8 = 40. That is one eighth.
5
$= 120$ — 40 × 3 = 120. This is the second amount.
6
$126 > 120$ — Compare, then say it in words: 35% of 360 is larger. Show both amounts to get all the marks.

Common mistake

Writing the decimals in your final answer. Give the numbers exactly as the question wrote them.

6. Roots, π and Standard Form in a List

القوائم الأصعب تحتوي على الثابت باي أو جذور أو الصيغة العلمية. الطريقة نفسها: حوّل كل قيمة إلى كسر عشري بالآلة الحاسبة، واحتفظ بأربع منازل عشرية لأن هذه القيم تكون متقاربة جدًا. استخدم زر باي لا قيمة تقريبية، والضرب في عشرة أس سالب واحد يعني القسمة على عشرة. ثم قارن واكتب القيم بصيغتها الأصلية من الأصغر إلى الأكبر. اكتب كل كسر عشري تحت عدده، فقد يكسبك درجة. الخطأ الشائع: التقريب لمنزلتين مبكرًا فتبدو قيمتان مختلفتان متساويتين.

Harder lists mix in π, roots or standard form. The method stays the same: change every value to a decimal with your calculator. Keep 4 decimal places, because these values are often very close.

0.3, \frac{6}{11}, 55%, \frac{π}{6}, 5.4 \times 1 0^{- 1}

Worked example

1
$0.3 = 0.5477...$ — Use the calculator for the root. Keep 4 decimal places, not 2.
2
$\frac{6}{11} = 6 \div 11 = 0.5454...$ — A fraction means top divided by bottom.
3
$55% = 55 \div 100 = 0.55$ — Percent means out of 100.
4
$\frac{π}{6} = 0.5235...$ — Type π ÷ 6 on the calculator. Use the π key, not 3.
5
$5.4 \times 1 0^{- 1} = 5.4 \div 10 = 0.54$ — Times $1 0^{- 1}$ means divide by 10.
6
$0.5235 < 0.5400 < 0.5454 < 0.5477 < 0.5500$ — Pad them all to 4 places and compare like whole numbers.
7
$\frac{π}{6}, 5.4 \times 1 0^{- 1}, \frac{6}{11}, 0.3, 55%$ — Write the values back in the form the question used, smallest first.

Key idea

Write each decimal under its number. If one value ends up in the wrong place, the decimals can still earn you a mark.

Common mistake

Rounding to 2 decimal places too early. Then $\frac{6}{11}$ becomes 0.55 and looks equal to 55%. With 4 places, 0.5454 is clearly smaller.

Key idea

A dot over a digit means it repeats forever: $0. \dot{4} = 0.4444...$ , so it is a little bigger than 0.444.

7. Compare With <, > or =

بعض الأسئلة تعطيك قيمتين وتطلب أن تضع بينهما «أصغر من» أو «أكبر من» أو «يساوي». حوّل القيمتين إلى كسور عشرية بعدد المنازل نفسه، ثم قارن. الجهة المفتوحة من العلامة تواجه القيمة الأكبر. وأحيانًا تكون القيمتان متساويتين تمامًا فتكون الإجابة علامة المساواة. الخطأ الشائع: عدم اختيار المساواة أبدًا، مع أن الامتحان يضع غالبًا زوجًا متساويًا، فاحسب القيمتين قبل الاختيار.

Some questions give two values and ask you to write <, > or = between them. Change both to decimals, then compare. The open side of the sign faces the bigger value.

Worked example

1
$\frac{3}{8} □ 0.38$ — The question. One is a fraction and one is a decimal, so change the fraction.
2
$\frac{3}{8} = 3 \div 8 = 0.375$ — Top divided by bottom.
3
$0.375 and 0.380$ — Pad both to 3 places so the digits line up.
4
$\frac{3}{8} < 0.38$ — 375 is less than 380, so the fraction is smaller. The point of < faces the smaller value.

Worked example

1
$\frac{9}{40} □ 22.5%$ — The question. Change both to decimals.
2
$\frac{9}{40} = 9 \div 40 = 0.225$ — Top divided by bottom.
3
$22.5% = 22.5 \div 100 = 0.225$ — Percent means divide by 100.
4
$\frac{9}{40} = 22.5%$ — The decimals are exactly the same, so the answer is =.

Common mistake

Never choosing =. Exam questions often include a pair that is exactly equal, so work both out before you pick < or >.

8. Which Method? Read the Question

هذه شاشة مراجعة: انظر إلى نوع الأعداد في القائمة. الأعداد الصحيحة والسالبة: تخيّل خط الأعداد، فاليسار أصغر. الكسور العشرية: أضف أصفارًا وقارن خانة بخانة. سؤال «أيها الأكبر أو الأصغر» من جدول: عُدّ الأرقام وأجب بالاسم. الكسور العادية فقط: وحّد المقامات وقارن البسوط. الخليط من كسور ونسب مئوية: حوّل الكل إلى كسور عشرية. ومع باي والجذور والصيغة العلمية استخدم الآلة واحتفظ بأربع منازل. وتحقّق دائمًا هل يطلب السؤال البدء بالأصغر أم بالأكبر.

Look at what kind of numbers are in the list.

You see	You do
Whole numbers and negatives	number line: left is smaller
Decimals	add zeros, compare place by place
Which has the greatest or least?	count digits, answer with the name
Fractions only	same bottom number, compare tops
Fractions, decimals and %	change all to decimals
π, roots or standard form	calculator, keep 4 decimal places
Write <, > or =	both to decimals, then compare
Which is larger: % of or fraction of	work out both amounts
Inequality signs, list the integers	Ordering and Inequalities
Change a fraction to a decimal	Converting Fractions to Decimals
Times or add first?	Order of Operations

Key idea

Always check the start word: "smallest first" or "largest first".

تدرّب على ترتيب القيم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح ترتيب القيم

1. What Ordering Means

2. Ordering Decimals

3. Greatest or Least From a Table

4. Ordering Fractions

5. Fractions, Decimals and Percentages Together

6. Roots, π and Standard Form in a List

7. Compare With <, > or =

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على ترتيب القيم

أسئلة امتحانات سابقة على ترتيب القيم، محلولة ومشروحة بالعربي