شرح متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة

Pattern Sequences and Special Sequences

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Pattern Sequence Is

كثير من الأسئلة تعرض أشكالًا من أعواد أو نقاط أو بلاطات: الشكل الأول، ثم الثاني، ثم الثالث، وتعدّ ما في كل شكل. ما يضيفه الشكل في كل مرة هو الفرق، وهو الذي يكشف القاعدة تمامًا كما في متتابعة الأعداد. في المثال كل مربع جديد يضيف عددًا ثابتًا من الأعواد. لرسم الشكل التالي انسخ الشكل الأخير وأضف إليه الجزء الجديد، وتأكد أن العدد زاد بمقدار الفرق.

Many questions show patterns made of sticks, dots or tiles. Pattern 1, Pattern 2, Pattern 3 … and you count what is in each.

Example

A row of squares made of sticks: Pattern 1 is one square (4 sticks). Each new square adds 3 sticks. So the counts go 4, 7, 10, 13.

Rule

What a pattern adds each time is the difference. It tells you the rule, just like a number sequence.

Key idea

Draw the next pattern by copying the last one and adding the new part. The count must go up by the difference.

2. Continuing the Pattern

أول الدرجات في هذه الأسئلة لرسم الشكل التالي وإكمال الجدول، ثم يأتي سؤال عن شكل بعيد مثل الشكل العاشر. عُدّ ما في الأشكال الأولى واكتب الأعداد بالترتيب، ثم أوجد الفرق بينها. للشكل التالي أضف الفرق إلى آخر عدد. أما للشكل البعيد فاكتب قاعدة: الفرق مضروبًا في رتبة الشكل، ثم قارن بالحد الأول لتعرف كم تضيف أو تطرح. بعدها عوّض برتبة الشكل في القاعدة. الجمع المتكرر حتى تصل للشكل البعيد ينجح لكنه يسبب أخطاء، فاستخدم القاعدة وتحقق منها بشكل صغير.

The first marks are for drawing the next pattern and completing a table. Then comes a far-away pattern, like Pattern 10.

Worked example

1
$4, 7, 10, 13$ — Count the sticks in Patterns 1 to 4 and write the counts in order.
2
$7 - 4 = 3$ — Find the gap. Each new square adds 3 sticks, so the difference is 3.
3
$13 + 3 = 16$ — Pattern 5 is Pattern 4 with one more square, so add 3. Pattern 5 has 16 sticks.
4
$3 n$ — For a far pattern, use a rule. 3 sticks per square gives 3n, which is 3, 6, 9, 12.
5
$4 - 3 = 1$ — Compare the first terms: 4 sticks, but 3n gives 3. Every count is 1 more than 3n.
6
$3 n + 1$ — So the rule is 3n + 1. The extra 1 is the starting stick on the left.
7
$3 \times 10 + 1 = 31$ — Put n = 10 into the rule. Pattern 10 has 31 sticks.

Common mistake

Adding 3 again and again to reach Pattern 10. It works, but slips are easy. Use the rule 3n + 1, and check it with n = 2: 3 × 2 + 1 = 7.

3. Which Pattern Has …?

بعض الأسئلة تعطيك عدد الأعواد وتسأل: أي شكل فيه هذا العدد؟ أو هل هذا العدد ممكن أصلًا؟ اجعل القاعدة تساوي العدد المعطى، ثم حل المعادلة لتجد رتبة الشكل. إذا خرجت رتبة الشكل عددًا صحيحًا فهذا هو الشكل المطلوب. وإذا خرجت كسرًا فلا يوجد شكل بهذا العدد، لأن الأشكال تُرقَّم بأعداد صحيحة. في سؤال «نعم أو لا» لا تكتفِ بالجواب: اكتب المعادلة وقل هل الناتج عدد صحيح أم لا.

Some questions give the count and ask for the pattern number, or ask whether a count is possible.

Worked example

1
$3 n + 1 = 64$ — Which pattern has 64 sticks? Set the rule equal to 64.
2
$3 n = 63$ — Take 1 from both sides, so the n part is alone.
3
$n = 21$ — Divide both sides by 3. 21 is a whole number, so Pattern 21 has 64 sticks.
4
$3 n + 1 = 50$ — Now test 50 sticks the same way.
5
$3 n = 49$ — Take 1 from both sides.
6
$n = 16.33 \dots$ — Divide by 3. n is not a whole number, and there is no Pattern 16⅓, so no pattern has 50 sticks.

Key idea

A “Yes/No” question needs a reason. Show the equation and say whether n is a whole number.

4. Why a Number Cannot Be in It

عندما يطلب السؤال أن تشرح لماذا لا يمكن أن يكون عدد ما من حدود المتتابعة، فكثيرًا ما يكون السبب السريع هو الزوجي والفردي. في المثال تبدأ المتتابعة بعدد فردي ونضيف كل مرة عددًا زوجيًا، والفردي زائد الزوجي فردي دائمًا، إذن كل الحدود فردية. والعدد المسؤول عنه زوجي، فلا يمكن أن يكون حدًا. الخطأ الشائع أن تكتب «لأنه ليس في النمط» فقط؛ الممتحن يريد السبب: كل الحدود فردية وهذا العدد زوجي.

“Explain why 238 cannot be in the sequence” often has a quick reason: odd and even.

Worked example

1
$5, 9, 13, 17, \dots$ — The sequence starts at 5, an odd number, and adds 4 each time.
2
$odd + even = odd$ — 4 is even, and odd + even is always odd. So every term is odd.
3
$238 is even$ — 238 ends in 8, so it is even. An even number cannot be a term, so 238 is not in the sequence.

Common mistake

Writing only “because it is not in the pattern”. Say why: every term is odd and 238 is even.

5. Two-Step Term-to-Term Rules

قاعدة الانتقال من حد إلى الحد الذي يليه قد تكون من خطوتين، مثل «اضرب في ثلاثة ثم اطرح اثنين». نفّذ الخطوتين بالترتيب نفسه على الحد الذي عندك لتحصل على الحد التالي، ثم كرر على الحد الجديد. وللرجوع إلى الخلف اعكس العمليتين بترتيب معكوس: ابدأ بعكس الخطوة الأخيرة، فبدل الطرح تجمع، ثم بدل الضرب تقسم. الخطأ الشائع تنفيذ الخطوتين بترتيب خاطئ، فيتغير الناتج. ولاحظ أيضًا متتابعات يتغير فيها الفرق نفسه بمقدار ثابت، فتكمل النمط في الفروق.

A term-to-term rule can have two steps, like “multiply by 3 then subtract 2”. Do the steps in order, starting from the term you have.

Worked example

1
$2$ — The first term, given in the question. The rule is × 3, then − 2.
2
$2 \times 3 = 6$ — First step: multiply by 3.
3
$6 - 2 = 4$ — Second step: subtract 2. So the second term is 4.
4
$4 \times 3 - 2 = 10$ — Use both steps again on the new term: 12 − 2 = 10.
5
$10 \times 3 - 2 = 28$ — And again: 30 − 2 = 28. The sequence is 2, 4, 10, 28.

To go backwards, undo the steps in reverse order. The 5th term is 82. Find the 4th.

Worked example

1
$82 + 2 = 84$ — Undo the last step first: the rule subtracted 2, so add 2.
2
$84 \div 3 = 28$ — Then undo the multiply: divide by 3. The 4th term is 28.

Common mistake

Doing the steps in the wrong order. 4 × 3 − 2 = 10, but (4 − 2) × 3 = 6.

Key idea

Some gaps change by the same amount: 30, 28, 25, 21 takes away 2, 3, 4. Keep going: take away 5, then 6, to get 16 and 10.

6. Repeating Patterns

بعض الأنماط تكرر مجموعة الأشكال نفسها. لمعرفة الشكل في موقع بعيد، حدد طول المجموعة المتكررة أولًا. ثم اقسم رقم الموقع على طول المجموعة: خارج القسمة هو عدد المجموعات الكاملة، والباقي يخبرك كم شكلًا تعدّ بعدها من بداية المجموعة. انتبه: إذا كان الباقي صفرًا فالشكل هو آخر شكل في المجموعة وليس أولها. ولشرح لماذا يقع شكل معين في موقع ما، بيّن أن الموقع من مضاعفات طول المجموعة.

Some patterns repeat the same block of shapes. To find a far-away position, use the length of the block.

Worked example

1
$circle, square, triangle, circle, \dots$ — The block that repeats is 3 shapes long.
2
$3, 6, 9, \dots$ — A triangle ends every block, so the triangles sit at the multiples of 3.
3
$50 = 3 \times 16 + 2$ — What is at position 50? Divide 50 by 3: 16 full blocks, remainder 2.
4
$remainder 2 \Rightarrow square$ — After 16 full blocks, count 2 more shapes: circle, square. Position 50 is a square.

Common mistake

Remainder 0 means the last shape of the block, not the first. 48 = 3 × 16, so position 48 is a triangle.

Key idea

“Explain why position 99 is a triangle”: 99 = 3 × 33, a multiple of 3, and every multiple of 3 is a triangle.

7. Special Sequences to Recognise

بعض المتتابعات ليست خطية، أي أن الفروق بين حدودها تكبر. احفظ هذه المتتابعات الخاصة لأنها أساس أسئلة كثيرة: الأعداد المربعة، والأعداد المكعبة، والأعداد المثلثية، وقوى العدد اثنين، ومعها الحد العام لكل منها في الجدول. الطريقة: إذا وجدت الفروق تكبر، فاكتب الأعداد المربعة تحت الحدود وقارن، واطرح كل مربع من الحد الذي فوقه. إذا كان الناتج ثابتًا فالحد العام هو مربع رتبة الحد زائد أو ناقص هذا الثابت. ومثال من الحياة: قوارير البولينج مرتبة على شكل مثلث، وعددها عدد مثلثي.

Some sequences are not linear. Learn these by sight; many questions are built from them.

Name	Terms	nth term
Square	1, 4, 9, 16	$n^{2}$
Cube	1, 8, 27, 64	$n^{3}$
Triangle	1, 3, 6, 10	$\frac{n ( n + 1 )}{2}$
Powers of 2	2, 4, 8, 16	$2^{n}$

Worked example

1
$2, 5, 10, 17$ — The gaps are 3, 5, 7. They grow, so the sequence is not linear.
2
$1, 4, 9, 16$ — Write the square numbers underneath to compare.
3
$2 - 1, 5 - 4, 10 - 9, 17 - 16$ — Take each square away from the term above it. The answer is 1 every time.
4
$n^{2} + 1$ — So each term is a square number plus 1: the nth term is n² + 1.

Key idea

Bowling pins stand in a triangle: rows of 1, 2, 3 and 4 make $10$ , a triangle number. Add a fifth row and you get the next one, $15$ : exactly the number of red balls racked in a triangle in snooker.

8. Patterns With Two Parts

كثير من الأنماط فيها نوعان من البلاط، رمادي وأبيض، والجدول يسأل عن كل نوع وعن المجموع. الطريقة: أوجد قاعدة لكل نوع وحده، ثم اجمع القاعدتين لتحصل على قاعدة المجموع. في المثال البلاط الرمادي يزيد بمقدار ثابت فقاعدته خطية، والأبيض أعداد مربعة. بعد الجمع رتّب الحدود من الأس الأكبر، وتحقق بالشكل الأول. الخطأ الشائع أن تبدأ من جديد لإيجاد قاعدة المجموع، مع أن لديك الجزأين وما عليك إلا جمعهما. وإذا كان النمط صفوفًا، فالمجموع هو عدد الصفوف مضروبًا في عدد النقاط في كل صف.

Many patterns use two kinds of tile, grey and white. The table asks for each kind and the total. Find a rule for each kind, then add them.

Example

Pattern n is an n by n square of white tiles, with grey tiles along its top and one side. The counts are: grey 3, 5, 7; white 1, 4, 9; total 4, 9, 16.

Worked example

1
$grey: 3, 5, 7$ — The grey tiles go up by 2 each time, so they are linear.
2
$2 n + 1$ — 2 each time gives 2n, which is 2, 4, 6. Each grey count is 1 more, so grey = 2n + 1.
3
$white: 1, 4, 9$ — The white tiles are the square numbers, so white = n².
4
$2 n + 1 + n^{2}$ — Every pattern is grey plus white, so add the two rules to get the total.
5
$n^{2} + 2 n + 1$ — Tidy it up, biggest power first. Check n = 1: 1 + 2 + 1 = 4.
6
$1 0^{2} + 2 \times 10 + 1 = 121$ — Pattern 10 has 121 tiles. Check: 21 grey + 100 white = 121.

Common mistake

Starting again to find the total's rule. You already have the two parts: just add them.

Key idea

If a pattern is made of rows, total = rows × dots in each row. With n + 2 rows of 2n dots, Pattern 3 has 5 × 6 = 30 dots.

9. A Number in Both Sequences

بعض الأسئلة تعطيك متتابعتين وتطلب عددًا موجودًا في الاثنتين. اكتب حدودًا كافية من كل متتابعة، وابحث عن عدد يظهر في القائمتين. للمتتابعة المعطاة بقاعدة عوّض بالرتب واحدًا بعد الآخر. بعد أن تجد العدد المشترك تحقق منه بالحد العام للمتتابعة الأخرى: إذا أعطى رتبة صحيحة فهو حد فعلًا. الخطأ الشائع مقارنة الحدود في الموقع نفسه؛ المطلوب العدد نفسه أينما كان موقعه.

Some questions give two sequences and ask for a number that is in both. Write out terms of each and look for a match.

Worked example

1
$S : 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43$ — Sequence S adds 6 each time. Write enough terms to give a match a chance.
2
$T = n^{2} + 1 : 2, 5, 10, 17, 26, 37$ — For sequence T, put n = 1, 2, 3 … into the rule n² + 1.
3
$37$ — 37 is in both lists, so 37 is a number in both sequences.
4
$6 \times 6 + 1 = 37$ — Check with S's nth term, 6n + 1: n = 6 gives 37, a whole n, so it really is a term.

Common mistake

Matching positions instead of numbers. The 3rd terms are 19 and 10; you need the same number, wherever it sits.

10. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة من كلمات السؤال، وأول خطوة دائمًا أن تنظر إلى الفروق. فروق متساوية تعني متتابعة خطية: الفرق مضروبًا في رتبة الحد ثم تعديل. لشكل بعيد استخدم القاعدة لا الرسم. «أي شكل فيه هذا العدد» تعني مساواة القاعدة بالعدد وحل المعادلة. «اشرح لماذا لا يمكن» تعني الزوجي والفردي أو أن الرتبة ليست عددًا صحيحًا. فروق تكبر تعني المقارنة بالمربعات والمكعبات والأعداد المثلثية. قاعدة من خطوتين تُنفذ بالترتيب وتُعكس بالترتيب المعاكس. مجموعة أشكال متكررة تعني القسمة واستخدام الباقي. نوعان من البلاط يعنيان قاعدة لكل نوع ثم الجمع. وكل درجة «اشرح» تحتاج عددًا أو سببًا، لا مجرد نعم أو لا.

Check the gaps first.

You see	You do
Equal gaps	Linear: difference × n, then adjust
“Pattern number 10”	Use the rule, not ten drawings
“Which pattern has 64?”	Set the rule = 64, solve for n
“Explain why … cannot”	Odd/even, or n is not whole
Gaps that grow	Compare with squares, cubes, triangles
A rule like “× 3 then − 2”	Do the steps in order; undo them in reverse
A repeating block of shapes	Divide the position by the block length; use the remainder
Two kinds of tile	A rule for each kind, then add them
“A number in both sequences”	List terms of each and find a match

Key idea

Every “explain” mark needs a number or a reason, not just yes or no.

تدرّب على متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة

1. What a Pattern Sequence Is

2. Continuing the Pattern

3. Which Pattern Has …?

4. Why a Number Cannot Be in It

5. Two-Step Term-to-Term Rules

6. Repeating Patterns

7. Special Sequences to Recognise

8. Patterns With Two Parts

9. A Number in Both Sequences

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة

أسئلة امتحانات سابقة على متتابعات الأنماط والمتتابعات الخاصة، محلولة ومشروحة بالعربي