شرح القطاعات الدائرية

Pie Charts

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Pie Chart Shows

القطاعات الدائرية دائرة مقسومة إلى شرائح اسمها القطاعات، والدائرة كلها تمثل كل الأشخاص، ودورتها الكاملة ثلاثمئة وستون درجة. كلما كان نصيب المجموعة من الناس أكبر كانت زاوية قطاعها أكبر: الكل يأخذ الدائرة كاملة، والنصف يأخذ نصفها، والربع يأخذ زاوية قائمة. تذكّر القاعدة الأهم: مجموع زوايا القطاعات دائمًا ثلاثمئة وستون درجة.

A pie chart is a circle cut into slices, called sectors. The whole circle is everyone, and a full turn is $36 0^{\circ}$ .

A bigger share of the people gets a bigger angle.

Share of the people	Angle
all of them	$36 0^{\circ}$
half	$18 0^{\circ}$
a quarter	$9 0^{\circ}$
a tenth	$3 6^{\circ}$

Rule

The angles in a pie chart always add up to $36 0^{\circ}$ .

Key idea

The first known pie charts appeared in 1801, in a book by the Scottish engineer William Playfair. One of them showed what share of the Ottoman (Turkish) Empire's land lay in Asia, Europe and Africa.

2. Fractions and Percentages

إذا سُئلت «ما الكسر» أو «ما النسبة المئوية» فأنت تحتاج الزاوية فقط، لأن الدائرة كلها تمثل الجميع. ضع زاوية القطاع في البسط وثلاثمئة وستين في المقام، فهذا هو الكسر، ثم بسّطه بالقسمة على أكبر عدد يقسم البسط والمقام معًا. وللنسبة المئوية اضرب الكسر في مئة. في المثال: نقيس زاوية القطاع بالمنقلة، ثم نكتبها على الدائرة كلها، ثم نبسّط، ثم نضرب في مئة. أما المنوال فهو ببساطة أكبر قطاع، ولا يحتاج إلى حساب. الخطأ الشائع أن تضع مئة في المقام بدل ثلاثمئة وستين.

Exams often ask “What fraction chose …?” or “What percentage …?”. You only need the angle, because the whole circle is everyone.

Formula

fraction = \frac{angle}{360}

Formula

percentage = \frac{angle}{360} \times 100

angle is the size of the sector you are asked about, in degrees. 360 is the whole circle, which stands for all the people.

Worked example

1
$Bus = 10 8^{\circ}$ — Measure the bus sector with a protractor: centre on the middle of the circle, 0 on one edge, read where the other edge crosses. It is 108°.
2
$\frac{108}{360}$ — Put the sector's angle over the whole circle. This is the fraction of people who took the bus.
3
$\frac{108 \div 36}{360 \div 36} = \frac{3}{10}$ — Simplify. 36 is the biggest number that goes into both 108 and 360, so divide top and bottom by 36.
4
$\frac{3}{10} \times 100 = 30%$ — For a percentage, times the fraction by 100. So 30% took the bus.

Key idea

“Which is the mode?” is the biggest sector, the one with the largest angle. You do not need to work anything out.

Common mistake

Writing 108 out of 100. The whole circle is 360°, not 100, so the bottom of the fraction is 360.

3. From Frequency to Angle

سؤال «احسب زاوية القطاع» يعني أن كل مجموعة تأخذ نصيبها من الثلاثمئة والستين درجة: الزاوية تساوي التكرار مقسومًا على المجموع الكلي ثم مضروبًا في ثلاثمئة وستين. الطريقة السهلة: اقسم ثلاثمئة وستين على عدد الأشخاص كلهم لتعرف كم درجة يأخذ الشخص الواحد، ثم اضرب هذا العدد في تكرار كل مجموعة. في النهاية تحقّق أن مجموع الزوايا ثلاثمئة وستون، وإلا فهناك زاوية خاطئة. الخطأ الشائع هو الضرب في مئة، فهذا يعطي نسبة مئوية لا زاوية. وإذا أُعطيت نسبًا مئوية فكل واحد في المئة يساوي ثلاث درجات وستة أعشار الدرجة. واكتب خطوات الحل دائمًا، فهي تكسب درجة حتى لو أخطأت في الناتج.

The 2-mark question: “Work out the angle for …”. Each sector gets its share of the $36 0^{\circ}$ .

Formula

angle = \frac{frequency}{total} \times 360

frequency is how many people are in that group. total is everyone in the survey. Example: 60 people chose a favourite fruit: 21 apple, 18 banana, 12 pear, 9 grape.

Worked example

1
$360 \div 60 = 6^{\circ}$ — Share the 360° equally between the 60 people. Each person gets 6°. This is the formula done in a handy order.
2
$Apple: 21 \times 6 = 12 6^{\circ}$ — 21 people chose apple, and each one is worth 6°, so times 21 by 6.
3
$Banana: 18 \times 6 = 10 8^{\circ}$ — Same move for banana: 18 people at 6° each.
4
$Pear: 12 \times 6 = 7 2^{\circ}$ — Pear: 12 people at 6° each.
5
$Grape: 9 \times 6 = 5 4^{\circ}$ — Grape: 9 people at 6° each.
6
$126 + 108 + 72 + 54 = 360$ — Check: the angles must make a full turn. If they do not, one of them is wrong.

Common mistake

Multiplying by 100 instead of 360. That gives a percentage, 35%, not an angle.

Key idea

Given percentages instead? 1% of the circle is $360 \div 100 = 3. 6^{\circ}$ , so 35% is $35 \times 3.6 = 12 6^{\circ}$ .

Key idea

Write the working, e.g. $360 \div 60 \times 21$ . If your answer slips, that line still earns a mark. In a “Show that” question the working is the answer, so write every number.

4. Drawing a Pie Chart

بعد حساب الزوايا قد يطلب الامتحان «أكمل القطاعات الدائرية»، وكل قطاع مرسوم بدقة يكسب درجات، فارسم بالمنقلة قطاعًا بعد قطاع. أولًا ارسم خطًا من المركز إلى محيط الدائرة لتقيس منه، إلا إذا كان مرسومًا. ثم ضع مركز المنقلة على مركز الدائرة وصفرها على هذا الخط، وعلّم الزاوية الأولى وصِلها بالمركز. القطاع التالي يُقاس من الخط الذي رسمته للتو، لا من خط البداية. القطاع الأخير هو ما تبقّى، فقِسه للتأكد، ثم اكتب اسم كل قطاع داخله. انتبه: للمنقلة تدريجان، فتأكد بعينك أن الزاوية المنفرجة تبدو أوسع من الربع.

After the angles, exams often say “Complete the pie chart”. Each sector drawn correctly earns marks, so draw with a protractor, one sector at a time. Here are the fruit angles: 126°, 108°, 72° and 54°.

Worked example

1
$Start line: centre to edge$ — Every sector needs an edge to measure from. Draw a line from the centre straight up to the circle, unless the exam has drawn one.
2
$Apple = 12 6^{\circ}$ — Put the protractor's centre on the circle's centre and its 0 on the start line. Mark 126° and join the mark to the centre.
3
$Banana = 10 8^{\circ}$ — Now put 0 on the apple line you just drew, not the start line. Mark 108° and join it to the centre.
4
$Pear = 7 2^{\circ}$ — Same again, measuring from the banana line.
5
$Grape = 360 - 126 - 108 - 72 = 5 4^{\circ}$ — Grape is the gap that is left. Measure it: if it is not 54°, one of your earlier sectors is off.
6
$Label each sector$ — Write apple, banana, pear and grape in their slices, so the reader knows which is which.

Common mistake

Measuring every sector from the start line. Each new sector starts where the last one ended.

Key idea

A protractor has two scales, and 126 on one is 54 on the other. Check by eye: 126° is more than a right angle, so the apple slice must be wider than a quarter.

5. From Angle to Frequency

هنا العكس: تُعطى الزوايا ويُسأل «كم شخصًا؟». إذا عرفت عدد الأشخاص في قطاع واحد، فاقسم عددهم على زاويته لتعرف كم شخصًا تمثّل الدرجة الواحدة، ثم اضرب هذا الناتج في زاوية أي قطاع آخر، أو في ثلاثمئة وستين لتحصل على المجموع الكلي. أما إذا أُعطيت المجموع الكلي، فالتكرار يساوي الزاوية على ثلاثمئة وستين مضروبًا في المجموع، فمثلًا القطاع القائم ربع الدائرة، إذن هو ربع الأشخاص. الخطأ الشائع أن تعامل عدد أشخاص قطاع واحد كأنه المجموع الكلي.

The 2 or 3-mark question gives the angles and asks “How many people …?”. Often you know one sector's number. Beach is $15 0^{\circ}$ and 45 people. Walking is $8 0^{\circ}$ .

Worked example

1
$15 0^{\circ} = 45 people$ — Start from the sector you know: 150° stands for 45 people.
2
$1^{\circ} = 45 \div 150 = 0.3$ — Divide to find what one degree stands for: 0.3 of a person. Then any angle can be turned into people.
3
$Walking = 80 \times 0.3 = 24$ — Walking is 80°, and each degree is 0.3 people, so 80 × 0.3 = 24 people.
4
$Total = 360 \times 0.3 = 108$ — If asked for everyone, use the whole circle: 360 × 0.3 = 108 people.

If the question gives the total instead, use this formula:

Formula

frequency = \frac{angle}{360} \times total

angle is the sector's angle, 360 is the whole circle, and total is everyone in the survey. Example: 108 people, a 90° sector.

Worked example

1
$\frac{90}{360} = \frac{1}{4}$ — A 90° sector is a quarter of the circle, so it is a quarter of the people.
2
$\frac{1}{4} \times 108 = 27$ — A quarter of the 108 people is 27 people.

Common mistake

Using 45 as the total. 45 is only the beach sector, not the whole circle.

6. When You Know the Difference

أحيانًا لا يُعطى عدد أي قطاع، بل الفرق بين مجموعتين، مثل «جاء بالسيارة عدد أكبر ممن جاؤوا بالحافلة بكذا شخصًا». الفكرة: الفرق بين الزاويتين يمثّل الفرق بين عددي الأشخاص. أولًا اطرح الزاويتين، ثم اقسم الفرق في الأشخاص على الفرق في الزوايا لتعرف ما تمثّله الدرجة الواحدة. بعد ذلك احسب زاوية القطاع المطلوب مما تبقى من الثلاثمئة والستين، واضربها في ما تمثله الدرجة. للتحقق احسب عدد المجموعتين وتأكد أن الفرق بينهما كما في السؤال. الخطأ الشائع أن تعامل الفرق كأنه عدد إحدى المجموعتين.

Some questions give no sector's number. Instead they say “30 more people came by car than by bus”. The gap in angles stands for the gap in people.

Car is $14 0^{\circ}$ , bus is $10 0^{\circ}$ , and the rest walk. 30 more people came by car than by bus. How many walk?

Worked example

1
$140 - 100 = 4 0^{\circ}$ — Find the gap between the car and bus sectors: 40°.
2
$4 0^{\circ} = 30 people$ — The extra 40° is the extra 30 people, so these two match.
3
$1^{\circ} = 30 \div 40 = 0.75$ — Divide to find what one degree stands for: 0.75 of a person.
4
$Walk = 360 - 140 - 100 = 12 0^{\circ}$ — Walk is the rest of the circle, because the angles add up to 360°.
5
$120 \times 0.75 = 90 people$ — Turn walk's angle into people: 120 × 0.75 = 90.

Key idea

Check: car is 140 × 0.75 = 105 and bus is 100 × 0.75 = 75. 105 − 75 = 30, as the question said.

Common mistake

Using 30 as the number for car. The 30 is the gap between two sectors, so match it with the gap in angles.

7. Completing the Table

في سؤال إكمال الجدول تنقص بعض التكرارات وبعض الزوايا. ابحث عن الصف الكامل الذي فيه التكرار والزاوية معًا، واقسم الزاوية على التكرار لتعرف كم درجة يأخذ الشخص الواحد. لتحويل زاوية إلى أشخاص اقسم عليها، ولتحويل أشخاص إلى زاوية اضرب فيها. للقطاع الأخير اجمع الزوايا المعروفة واطرحها من ثلاثمئة وستين، ثم حوّل الناتج إلى أشخاص. وفي النهاية تحقّق أن مجموع الأشخاص يساوي عدد من سُئلوا. لا تقدّر القطاع الأخير بالعين أبدًا.

The 3-mark question: a table with some frequencies and some angles missing. Find the degrees for each person from a full row, then fill the gaps.

Drink	Frequency	Angle
Tea	8	96°
Coffee	?	120°
Juice	5	?
Water	?	?

30 people were asked.

Worked example

1
$96 \div 8 = 1 2^{\circ}$ — Tea is the only row with both numbers. 96° for 8 people means each person gets 12°.
2
$Coffee: 120 \div 12 = 10$ — To turn an angle into people, divide by 12°. So 10 people chose coffee.
3
$Juice: 5 \times 12 = 6 0^{\circ}$ — To turn people into an angle, times by 12°.
4
$96 + 120 + 60 = 27 6^{\circ}$ — Add up the angles you know so far.
5
$Water: 360 - 276 = 8 4^{\circ}$ — The angles add up to 360°, so water gets what is left.
6
$84 \div 12 = 7 people$ — Turn water's angle into people by dividing by 12°.
7
$8 + 10 + 5 + 7 = 30$ — Check: the people add up to the 30 who were asked.

Common mistake

Measuring the last sector by eye. Take the other angles away from $36 0^{\circ}$ .

8. Ratios and Comparing Pie Charts

بما أن كل شخص يأخذ عدد الدرجات نفسه، فالنسبة بين مجموعتين هي النسبة بين زاويتيهما: اكتب الزاويتين ثم بسّط بالقسمة على أكبر عدد يقسمهما. وعند مقارنة قطاعين دائريين لمجموعتين مختلفتين، الزاوية نفسها لا تعني العدد نفسه، لأن الزاوية تُظهر النصيب من المجموعة لا العدد؛ فربع صف صغير أقل بكثير من ربع صف كبير. لذلك تحتاج المجموع الكلي لكل مجموعة. وإذا أُضيفت بيانات وتغيّر المجموع، فالمجموعة التي لم يزد عددها يصغر نصيبها وتصغر زاويتها.

The 1 or 2-mark question: a ratio from the angles, or "Is this person right?" about two pie charts.

Worked example

1
$Elephants : giraffes = 120 : 60$ — Every animal gets the same number of degrees, so the angles are in the same ratio as the numbers. Write the two angles.
2
$= 2 : 1$ — Divide both by 60, the biggest number that goes into both. This is the simplest form.

Class A has 40 students and Class B has 200. Both pie charts have a $9 0^{\circ}$ sector for football.

Worked example

1
$A: \frac{90}{360} \times 40 = 10$ — 90° is a quarter of the circle, and a quarter of Class A's 40 students is 10.
2
$B: \frac{90}{360} \times 200 = 50$ — Same angle, but a quarter of Class B's 200 students is 50.
3
$10 \neq = 50$ — Same angle, different numbers. An angle shows a share of the group, not how many.

Common mistake

Saying the same angle means the same number of people. A pie chart shows shares, so you need each total.

Key idea

“If more data is added, will an angle change?” Yes, if the total changes. A group that got no new people has the same number out of a bigger total, so its share and its angle get smaller.

9. Which Method? Read the Question

هذا جدول يساعدك على اختيار الطريقة من كلمات السؤال، وكلها ترجع إلى حقيقة واحدة: الدائرة كلها تمثّل الجميع. لحساب الزاوية: اقسم ثلاثمئة وستين على المجموع واضرب في التكرار. للكسر أو النسبة المئوية: الزاوية على ثلاثمئة وستين. المنوال: أكبر قطاع. لعدد الأشخاص: استخدم المجموع إن أُعطي، أو ما تمثّله الدرجة من قطاع معروف، أو فرق الزوايا مقابل فرق الأشخاص. القطاع الأخير هو ثلاثمئة وستون ناقص الباقي، والنسبة بين مجموعتين هي نسبة زاويتيهما. وتحقّق دائمًا أن الزوايا مجموعها ثلاثمئة وستون، وأن التكرارات مجموعها العدد الكلي.

Every question comes back to one fact: the whole circle is everyone.

You see	You do
Work out the angle	360 ÷ total, times the frequency
Complete the pie chart	measure each sector from the last line drawn
What fraction or percentage	angle ÷ 360 (then × 100 for %)
Which is the mode	the biggest sector
How many, total given	angle ÷ 360, times the total
How many, one sector given	people ÷ its angle, times the new angle
“… more than …”	gap in angles = gap in people
Complete the table	degrees per person from a full row
Last sector missing	360 take away the others
Ratio of two groups	ratio of their angles, simplified
Actual numbers, side by side	Bar Charts and Composite Bar Charts
Symbols with a key	Pictograms

Key idea

Always check: the angles add to 360 and the frequencies add to the total.

تدرّب على القطاعات الدائرية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح القطاعات الدائرية

1. What a Pie Chart Shows

2. Fractions and Percentages

3. From Frequency to Angle

4. Drawing a Pie Chart

5. From Angle to Frequency

6. When You Know the Difference

7. Completing the Table

8. Ratios and Comparing Pie Charts

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على القطاعات الدائرية

أسئلة امتحانات سابقة على القطاعات الدائرية، محلولة ومشروحة بالعربي