شرح رسم المنحنيات من جدول القيم

Plotting Curves from a Table of Values

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Table, Plot, Curve, Read

معظم أسئلة المنحنيات في ورقة الآلة الحاسبة تسير بالخطوات الأربع نفسها مهما تغيّر المنحنى. أولًا أكمل الجدول بالتعويض بكل قيمة للمجهول في المعادلة، ثم عيّن كل زوج من الجدول على الشبكة، ثم صِل النقاط بمنحنى أملس واحد، وأخيرًا اقرأ الإجابات من منحناك. هذه الأجزاء معًا تحمل عددًا كبيرًا من الدرجات، ولا تحتاج فكرة جديدة بل تحتاج الدقة والانتباه.

Most curve questions on the calculator paper follow the same four parts. The curve changes; the routine does not.

Steps

1
Complete the table: put each x into the equation.
2
Plot every pair from the table on the grid.
3
Join the points with one smooth curve.
4
Read answers off your curve.

Key idea

Together these parts are often worth 8 marks or more. Most of them need no new idea, only care.

2. Completing the Table

هذا سؤال قصير الدرجات: جدول لدالة تكعيبية فيه بعض الفراغات. احسب كل حد وحده، وضع القيمة السالبة بين قوسين. انتبه للإشارات: تكعيب العدد السالب يبقى سالبًا، أما ضرب سالب في سالب فيعطي موجبًا، ثم اجمع الحدود الثلاثة واحتفظ بكل المنازل العشرية. الخطأ الشائع هو الخلط بين التربيع والتكعيب: مربع العدد السالب موجب، أما مكعبه فسالب. وتحقّق من طريقتك بالقيم المطبوعة أصلًا في الجدول، فيجب أن تحصل عليها بالطريقة نفسها.

The 1 to 3 mark question: a table for a cubic like $y = x^{3} - 3 x + 1$ with a few gaps. Work out each term on its own, with negatives in brackets.

Worked example

1
$x = - 1.5$ — the first gap
2
$(- 1.5)^{3} = - 3.375$ — a cube keeps the minus
3
$- 3 \times (- 1.5) = + 4.5$ — minus times minus
4
$- 3.375 + 4.5 + 1 = 2.125$ — add the three terms
5
$x = 0.5 : 0.125 - 1.5 + 1$ — the next gap
6
$= - 0.375$ — keep every decimal

Common mistake

Mixing up the signs. A square of a negative is positive, but a cube of a negative stays negative: $(- 2)^{2} = 4$ but $(- 2)^{3} = - 8$ .

Key idea

Check with the table: values that are already printed must come out of your method too.

3. Fractions and Rounding in the Table

بعض الجداول تجمع بين القوى والكسور، والمجهول يكون في مقام الكسر، لذلك يتخطى الجدول القيمة صفر لأن القسمة على الصفر غير ممكنة. احسب كل حد وحده: مربع العدد السالب موجب، والقسمة على نصف تضاعف العدد، ثم اجمع الحدود. بعد ذلك قرّب الناتج بعدد المنازل العشرية نفسه الذي يستخدمه الجدول. الخطأ الشائع هو كتابة منازل عشرية أكثر أو أقل من المطلوب، فاقرأ السطر الذي فوق الجدول لأنه يخبرك كيف تقرّب.

Some tables mix powers and fractions, like $y = x^{2} + \frac{2}{x}$ . The table skips $x = 0$ because you cannot divide by 0.

Worked example

1
$x = - 0.5$ — the gap
2
$(- 0.5)^{2} = 0.25$ — square: positive
3
$\frac{2}{- 0.5} = - 4$ — dividing by a half doubles
4
$0.25 - 4 = - 3.75$ — add the terms
5
$x = 3 : 9 + 0.666 \dots$ — the next gap
6
$\approx 9.7$ — round like the table, here 1 decimal place

Common mistake

Giving more or fewer decimals than the table uses. Read the line above the table: it says how to round.

4. Plotting the Points

في سؤال الرسم على الشبكة، أول ما تفعله هو قراءة مقياس الرسم، لأن المربع الصغير غالبًا لا يساوي واحدًا. اقرأ عددين مكتوبين على المحور، واقسم الفرق بينهما على عدد المربعات الصغيرة بينهما لتعرف قيمة المربع الواحد. لتعيين قيمة فيها كسور، عُدّ الوحدات الكاملة أولًا ثم اقسم الباقي على قيمة المربع الصغير. اذهب أفقيًا إلى قيمة السيني أولًا، ثم إلى الأعلى أو الأسفل إلى قيمة الصادي، وضع علامة صغيرة مرتبة. الخطأ الشائع هو اعتبار كل مربع صغير واحدًا أو عُشرًا دون قراءة المحور.

The 3 to 4 mark question: “On the grid, draw the graph”. First read the scale. One small square is often not 1.

Worked example

1
$10 squares = 2 units$ — read two labels on the axis
2
$1 square = 0.2$ — one small square
3
$y = 2.125 = 2 + 0.125$ — whole units first
4
$0.125 \div 0.2 \approx 0.6$ — a bit over half a square

Rule

Go across to x first, then up or down to y. Mark each point with a small, neat cross.

Common mistake

Counting every small square as 1, or as 0.1, without reading the axis. Always divide the labelled gap by the number of squares.

5. One Smooth Curve

صِل النقاط باليد بمنحنى أملس واحد يمر بكل النقاط، ولا تستخدم المسطرة، لأن المنحنى ينحني في كل مكان وليس عند النقاط فقط. من الأخطاء التي تُفقدك درجة المنحنى: رسم خطوط مستقيمة قصيرة بين النقاط، أو جعل القاع مسطحًا بين قيمتين متساويتين. وإذا تخطى الجدول قيمة ما، كالصفر، فارسم جزأين منفصلين ولا تصل بينهما. وإذا وجدت نقطة لا تقع على منحنى أملس فراجع حسابها في الجدول، فغالبًا فيها خطأ بسيط.

Join the points freehand, in one smooth curve that passes through every point.

Rule

No ruler. The curve bends everywhere, not only at the points you worked out.

Common mistake

Short straight lines from point to point, or a flat bottom between two equal values. Both lose the curve mark.

Common mistake

Joining across a gap. If the table skips $x = 0$ , draw two separate pieces.

Key idea

If one point will not sit on a smooth curve, check that column of the table again. It is almost always a slip.

6. Reading Answers Off the Curve

بعد الرسم تأتي أسئلة قصيرة تطلب استخدام الرسم لإيجاد قيمة. لإيجاد الصادي عند قيمة معطاة للسيني، اصعد أو انزل من هذه القيمة حتى تصل إلى المنحنى، ثم اتجه أفقيًا إلى محور الصادات واقرأ القيمة، وارسم خطوطًا خفيفة لتوضيح ذلك. ولحل المعادلة التي تساوي صفرًا، ابحث عن الأماكن التي يقطع فيها المنحنى محور السينات، فالدالة التكعيبية قد تقطعه ثلاث مرات. الخطأ الشائع هو إعطاء إجابة واحدة فقط، فتتبّع الخط على الشبكة كلها وعُدّ كل نقاط التقاطع.

The 1 or 2 mark parts after the drawing: “use your graph to find …”. Draw faint lines to the curve and read the other axis.

Worked example

1
$x = 1.2$ — find y here
2
$up to the curve, across$ — to the y axis
3
$y \approx - 0.9$ — read to the grid
4
$x^{3} - 3 x + 1 = 0$ — now solve
5
$where y = 0$ — where it crosses the x axis
6
$x \approx - 1.9, 0.3, 1.5$ — a cubic can cross three times

Common mistake

Giving only one answer. Follow the whole line across the grid and count every crossing.

Key idea

For “by drawing a suitable straight line, solve …”, see Solving Equations by Graphical Methods.

7. Which Method? Read the Question

لكل جزء من سؤال المنحنى خطوة خاصة به. لإكمال الجدول احسب كل حد وحده مع وضع السالب بين قوسين، وقرّب القيم كما يطلب السؤال. للرسم اقرأ المقياس، وعيّن كل النقاط، وصِلها بمنحنى أملس. لإيجاد الصادي اصعد من السيني إلى المنحنى ثم اتجه أفقيًا، وللحل خذ كل نقاط التقاطع مع محور السينات. أما الحل برسم خط مناسب، ونقطة الدوران وتماثل المنحنى، ومنحنيات الكسور، فلها دروس خاصة بها.

Each part of a curve question has its own move.

You see	You do
“Complete the table”	Each term on its own, negatives in brackets
“Correct to 1 decimal place”	Round your values to match
“On the grid, draw the graph”	Read the scale, plot all points, smooth curve
“Use your graph to find y”	Up from x to the curve, across
“Use your graph to solve”	Every crossing of the x axis
“By drawing a suitable line”	Solving Equations by Graphical Methods
Turning point or symmetry of a U	Quadratic Graphs and the Parabola

Key idea

For a fraction curve, its shape and its gaps are in Reciprocal Functions.

تدرّب على رسم المنحنيات من جدول القيم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح رسم المنحنيات من جدول القيم

1. Table, Plot, Curve, Read

2. Completing the Table

3. Fractions and Rounding in the Table

4. Plotting the Points

5. One Smooth Curve

6. Reading Answers Off the Curve

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على رسم المنحنيات من جدول القيم

أسئلة امتحانات سابقة على رسم المنحنيات من جدول القيم، محلولة ومشروحة بالعربي