شرح الأعداد الأولية

Prime Numbers

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Prime Number Is

العدد الأولي هو عدد له عاملان بالضبط: الواحد والعدد نفسه، ولا يقبل القسمة على أي عدد آخر. الجدول يوضح ذلك: العدد الذي له عاملان فقط أولي، والعدد الذي له عامل ثالث ليس أوليًا. احفظ الأعداد الأولية حتى الثلاثين. والاثنان هو العدد الأولي الزوجي الوحيد، لأن كل عدد زوجي آخر يقبل القسمة على اثنين، أما الواحد فليس أوليًا أبدًا لأن له عاملًا واحدًا فقط. ومن القصص الجميلة أن العالم اليوناني إقليدس أثبت قبل نحو ألفين وثلاثمئة عام أن الأعداد الأولية لا تنتهي: اضرب أي مجموعة من الأعداد الأولية وأضف واحدًا، فلن يقسم الناتجَ أيٌّ منها، لذلك يوجد دائمًا عدد أولي فاتك.

A prime number has exactly two factors: 1 and itself. Nothing else divides into it.

Number	Factors
7	1, 7: prime
9	1, 3, 9: not prime
2	1, 2: prime
1	just 1: not prime

Memory trick

The primes up to 30: $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29$ .

Rule

2 is the only even prime. Every other even number divides by 2. And 1 is never prime: it has only one factor.

Key idea

About 2,300 years ago, the Greek mathematician Euclid proved that the primes never run out. His idea: multiply any list of primes and add 1, like $2 \times 3 \times 5 + 1 = 31$ . No prime on your list divides the new number, so there is always a prime you missed.

2. Spot the Prime in a List

سؤال الدرجة الواحدة: اختر العدد الأولي من قائمة، أو اكتب العدد الأولي الواقع بين عددين. اختبر كل عدد بالقسمة على اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة: الزوجي يقبل القسمة على اثنين، وما ينتهي بصفر أو خمسة يقبل القسمة على خمسة، وللثلاثة اجمع الأرقام فإن كان المجموع من جدول الثلاثة فالعدد يقبل القسمة عليها. في المثال نستبعد الأعداد واحدًا تلو الآخر لأن لكل منها عاملًا غير الواحد ونفسه، ويبقى العدد الذي لا يقبل القسمة على أي منها، فهو الأولي. الخطأ الشائع أن تختار عددًا فرديًا لمجرد أنه يبدو أوليًا، فبعض الأعداد الفردية مربعات أو حاصل ضرب عددين أوليين.

The 1-mark question: pick the prime from a list, or write down the prime between two numbers. Test each number by dividing by 2, 3, 5 and 7.

From 21, 27, 39, 41, 45, 49, write down a prime number.

Worked example

1
$21 = 3 \times 7$ — 3 goes into 21, so 21 has a factor other than 1 and itself. Not prime.
2
$27 = 3 \times 9$ — 2 + 7 = 9 and 3 goes into 9, so 3 goes into 27. Not prime.
3
$39 = 3 \times 13$ — 3 + 9 = 12 and 3 goes into 12, so 3 goes into 39. Not prime.
4
$45 = 5 \times 9$ — It ends in 5, so 5 goes into it. Not prime.
5
$49 = 7 \times 7$ — It is a square number, 7 times itself, so 7 is a factor. Not prime.
6
$41$ — Odd, digits add to 5, does not end in 0 or 5, and 41 ÷ 7 leaves 6. Nothing goes in, so 41 is prime.

Key idea

A quick test for 3: add the digits. For 39, $3 + 9 = 12$ , and 3 goes into 12, so 3 goes into 39.

Common mistake

Picking an odd number because it looks prime. 49 and 91 are odd, but $91 = 7 \times 13$ . Between 90 and 100, only 97 is prime.

3. Is It Prime? Give a Reason

في هذا السؤال يدّعي شخص أن عددًا ما أولي، أو أن قاعدة ما تعطي دائمًا أعدادًا أولية. لتثبت أنه مخطئ يكفي مثال واحد يكسر الادعاء. مع العدد: اختبره بجمع أرقامه، ثم اقسمه لتجد العامل الآخر، واكتب «لا» مع حاصل الضرب الذي يثبت أن له عاملًا غير الواحد ونفسه. مع القاعدة الجبرية: عوّض بأعداد صحيحة صغيرة واحدًا تلو الآخر حتى تعطيك القاعدة عددًا غير أولي، ثم اكتب قيمة المجهول وما نتج عنها ولماذا ليس أوليًا. الخطأ الشائع كتابة «لا» فقط، فالدرجة على الإثبات وليست على الكلمة.

The 1 or 2-mark question: someone says a number is prime, or that a rule always gives primes. Are they right? To say no, show one number that breaks it.

Sam says 93 is a prime number. Is Sam correct?

Worked example

1
$9 + 3 = 12$ — Add the digits to test for 3. 3 goes into 12, so 3 goes into 93.
2
$93 \div 3 = 31$ — Divide to find the other factor. It goes exactly, nothing left over.
3
$93 = 3 \times 31$ — So 3 is a factor of 93, as well as 1 and 93.
4
$No: 93 = 3 \times 31$ — Write “No” and the reason. The mark is for the factor, not the word.

Lena says $n^{2} + n + 3$ is prime for any whole number $n$ . Try small numbers until one fails.

Worked example

1
$n = 1 : 1 + 1 + 3 = 5$ — Start with a small whole number. 5 is prime, so the rule works so far.
2
$n = 2 : 4 + 2 + 3 = 9$ — Try the next one. $2^{2} = 4$ , then add 2 and 3.
3
$9 = 3 \times 3$ — 9 has a factor other than 1 and 9, so it is not prime. One value has broken the rule.
4
$No: n = 2 gives 9 = 3 \times 3$ — Write the value of n, what the expression gives, and why that is not prime.

Key idea

One example is enough to prove a claim wrong. Someone says no even number is prime? 2 is even and prime, so they are wrong.

Common mistake

Writing just “No”. Show the working: the factor, like $93 = 3 \times 31$ , or the value of $n$ and what it gives. That working is where the marks are.

4. Bigger Numbers: Test Up to √n

للأعداد الأكبر من مئة وعشرين لا يكفي الاختبار بالقسمة على اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة. القاعدة: جرّب كل عدد أولي يكون حاصل ضربه في نفسه لا يزيد على العدد الذي تختبره، فإذا لم يقسمه أي منها فالعدد أولي. في المثال، حدّد أولًا آخر عدد أولي تحتاجه بمقارنة مربعات الأعداد الأولية بالأعداد المطلوبة، ثم استبعد الأعداد الزوجية، ثم ما ينتهي بخمسة، ثم ما يقبل القسمة على ثلاثة بجمع الأرقام، ثم جرّب سبعة وأحد عشر. تذكّر أن الاختبار حتى سبعة يكفي فقط للأعداد حتى مئة وعشرين. الخطأ الشائع التوقف عند سبعة، فبعض الأعداد تنجح في اختبار اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة لكنها تقبل القسمة على أحد عشر.

Above 120, testing 2, 3, 5 and 7 is not enough. This rule tells you which primes to try, and when to stop.

Formula

p \times p \leq n

$n$ is the number you are testing. $p$ is each prime you try: 2, 3, 5, 7, 11, 13 … Try every prime whose $p \times p$ is not bigger than $n$ . If none of them divides $n$ , then $n$ is prime.

Find the prime number between 140 and 150.

Worked example

1
$11 \times 11 = 121, 13 \times 13 = 169$ — Every number here is below 169, so the biggest prime to try is 11. Test with 2, 3, 5, 7 and 11.
2
$142, 144, 146, 148$ — These are even, so 2 goes into them. Cross them out.
3
$145 = 5 \times 29$ — It ends in 5, so 5 goes into it. Cross it out.
4
$141 = 3 \times 47$ — 1 + 4 + 1 = 6, so 3 goes into it. Cross it out.
5
$147 = 3 \times 49$ — 1 + 4 + 7 = 12, so 3 goes into it. Cross it out.
6
$143 = 11 \times 13$ — 2, 3, 5 and 7 all fail here, but 11 goes in. This is why you must try 11.
7
$149$ — 2, 3, 5, 7 and 11 do not go in, so 149 is prime.

Memory trick

Up to 120, testing 2, 3, 5 and 7 is enough, because the next prime gives $11 \times 11 = 121$ .

Common mistake

Stopping at 7 for a bigger number. 143 passes 2, 3, 5 and 7, but $143 = 11 \times 13$ .

5. Find the Primes, Then Use Them

سؤال الدرجتين: ابحث عن الأعداد الأولية التي تحقق شرطًا معينًا، ثم اجمعها أو اضربها. أولًا اكتب كل الأعداد الصحيحة في المدى المطلوب حتى لا يفوتك أي عدد. ثم استبعد الزوجية، وما ينتهي بخمسة، وما يقبل القسمة على ثلاثة بجمع أرقامه، وما يقبل القسمة على سبعة، فما يبقى هو الأعداد الأولية. بعد ذلك اجمعها، ويمكنك أن تجمعها على مجموعتين ثم تجمع المجموعين. اكتب الأعداد الأولية التي وجدتها قبل الجمع، فإذا أخطأت في المجموع قد تحصل على درجة عليها. الخطأ الشائع نسيان عدد أو إضافة عدد ليس أوليًا مثل الواحد، وأكثر الأخطاء نسيان الاثنين، فهو عدد أولي.

The 2-mark question: find the primes that fit a rule, then add or multiply them.

Two prime numbers are between 30 and 40. Work out their sum.

Worked example

1
$31, 32, 33, \dots, 39$ — List every whole number in the gap, so none is missed.
2
$32, 34, 36, 38$ — Even, so 2 goes into them. Cross them out.
3
$33 = 3 \times 11$ — 3 + 3 = 6, so 3 goes into 33. Cross it out.
4
$35 = 5 \times 7$ — It ends in 5, so 5 goes into it. Cross it out.
5
$39 = 3 \times 13$ — 3 + 9 = 12, so 3 goes into 39. Cross it out.
6
$31, 37$ — Only these survive: 2, 3, 5 and 7 do not go in. They are the two primes.
7
$31 + 37 = 68$ — Add the two primes to get the sum.

Find the sum of all the prime numbers less than 20.

Worked example

1
$2, 3, 5, 7$ — The primes below 10. Start with 2: it is the only even prime.
2
$11, 13, 17, 19$ — The primes from 10 to 19. 15 = 3 × 5 is not one.
3
$2 + 3 + 5 + 7 = 17$ — Add the first group.
4
$11 + 13 + 17 + 19 = 60$ — Add the second group.
5
$17 + 60 = 77$ — Add the two totals. The sum is 77.

Key idea

Write the primes down before you add them. If the total slips, the primes you found can still earn a mark.

Common mistake

Missing one or adding an extra, like 1 or 15. Leaving out 2 is the most common slip: 2 is prime. Check every number in the gap.

6. Primes That Fit Clues

بعض الأسئلة تصف عددًا أوليًا بمجموعة من الشروط. اقرأ كل شرط، واكتب الأعداد التي تحققه، ثم تأكد من كل الشروط في النهاية. عندما ترى المجهول محصورًا بين عددين بإشارة «أصغر من» من الجهتين، فهذا يعني أنه أكبر من الأول وأصغر من الثاني، ولا يجوز أن يساوي أيًا من الطرفين. في المثال الأول اكتب الأعداد بينهما واستبعد غير الأولية حتى يبقى عدد واحد. وفي المثال الثاني ابدأ بالشرط الأصعب: حدد الأعداد المربعة الممكنة، ثم اطرح منها ما يطلبه السؤال، واختبر الناتج هل هو أولي. اكتب الأعداد المربعة التي استخدمتها، فقد تأخذ درجة عليها حتى لو كانت الإجابة النهائية خاطئة. الخطأ الشائع استخدام أحد الطرفين مع أن الإشارة تعني «أصغر من» وليست «يساوي».

Some questions describe a prime with clues. Read each clue, list what fits, then check every clue.

Rule

$20 < P < 28$ means P is more than 20 and less than 28. The end numbers 20 and 28 are not allowed.

P is a prime number and $20 < P < 28$ . Find P.

Worked example

1
$21, 22, \dots, 27$ — P is between 20 and 28, so list the whole numbers in between.
2
$22, 24, 26$ — Even, so 2 goes into them. Cross them out.
3
$21 = 3 \times 7$ — 3 goes into 21. Cross it out.
4
$25 = 5 \times 5$ — It ends in 5, so 5 goes into it. Cross it out.
5
$27 = 3 \times 9$ — 2 + 7 = 9, so 3 goes into 27. Cross it out.
6
$P = 23$ — Only 23 is left, and 2, 3 and 5 do not go in. So P = 23.

P is a prime number and $40 < P < 70$ . P is 3 less than a square number. Find P.

Worked example

1
$49, 64$ — P is between 40 and 70, so P + 3 is between 43 and 73. The only square numbers there are 7² = 49 and 8² = 64.
2
$49 - 3 = 46$ — Take 3 away to get a possible P. 46 is even, so it is not prime.
3
$64 - 3 = 61$ — Take 3 away again. 2, 3, 5 and 7 do not go into 61, so it is prime.
4
$P = 61$ — Check every clue: 61 is prime, it is between 40 and 70, and 61 + 3 = 64 is a square.

Key idea

Write down the square numbers you used. In a 2-mark question, a correct square seen can earn a mark even if P is wrong.

Common mistake

Using an end number. In $20 < P < 29$ , P cannot be 29, even though 29 is prime. The sign < means “less than”, not “equal to”.

7. Which Method? Read the Question

كلمات السؤال تخبرك بما يجب أن تفعله. إذا طُلب عدد أولي من قائمة فاختبر كل عدد بالقسمة على اثنين وثلاثة وخمسة وسبعة، وإذا طُلب العدد الأولي بين عددين فافحص كل عدد في المدى. وإذا سُئلت «هل هذا صحيح؟ اذكر السبب» فأظهر عاملًا للعدد أو قيمة تكسر القاعدة. ولمجموع أعداد أولية جدها كلها ثم اجمعها. وللأعداد الأكبر من مئة وعشرين جرّب أيضًا أحد عشر وثلاثة عشر وما بعدهما ما دام مربع العدد الأولي لا يزيد على العدد. ومع الشروط اكتب ما يحققها ثم تحقق من كل شرط. أما التحليل إلى العوامل الأولية، والعامل المشترك الأكبر، واختيار مربع أو مكعب أو عدد فردي، فلكل منها درس خاص.

The words tell you what to do.

You see	You do
Write down a prime	test each number with 2, 3, 5, 7
The prime between	check each number in the gap
Is this correct? Give a reason	show a factor, or a value that fails
Sum of these primes	find them all, then add
A prime above 120	also try 11, 13, … while p × p ≤ n
A prime with clues, like 20 < P < 28	list what fits, check every clue
Product of prime factors	Prime Factorization
Highest common factor	HCF and LCM
Pick a square, cube or odd	Integers

Key idea

Up to 120, you only need to test 2, 3, 5 and 7. If none go in, the number is prime. Above 120, keep going with 11, 13, … until $p \times p$ is bigger than the number.

تدرّب على الأعداد الأولية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأعداد الأولية

1. What a Prime Number Is

2. Spot the Prime in a List

3. Is It Prime? Give a Reason

4. Bigger Numbers: Test Up to √n

5. Find the Primes, Then Use Them

6. Primes That Fit Clues

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأعداد الأولية

أسئلة امتحانات سابقة على الأعداد الأولية، محلولة ومشروحة بالعربي