شرح حل المعادلات الخطية

Solving Linear Equations

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Solving an Equation Means

حلّ المعادلة يعني إيجاد العدد الذي يمثّله المجهول. المعادلة مثل الميزان: الطرفان متساويان. القاعدة: أي عملية تفعلها في طرف افعلها في الطرف الآخر، فيبقى الميزان متوازنًا. تخيّل تغليف هدية: العلبة ثم الورق ثم الشريط، ولفتحها تبدأ بالعكس: الشريط أولًا والعلبة أخيرًا. كذلك الحل: نلغي ما حدث للمجهول بترتيب معكوس، آخر عملية أولًا. والإجابة كثيرًا ما تكون كسرًا أو عددًا عشريًا وهذا طبيعي، فلا تقرّب إلا إذا طُلب منك.

Solving means finding the number x stands for. An equation is a balance: the two sides are equal.

Rule

Whatever you do to one side, do to the other. Then the balance stays level.

Example

Think of wrapping a present: box, then paper, then ribbon. To open it you undo in reverse: ribbon first, box last. Solving undoes what was done to x, last thing first.

Key idea

Answers are often fractions or decimals, like x = 5.5. That is fine. Don't round unless you are told to.

2. One and Two Steps

ألغِ كل عملية بعكسها: الجمع بالطرح، والضرب بالقسمة. في المثال: المجهول ضُرب في عدد ثم أُضيف إليه عدد، فنلغي الجمع أولًا بطرح العدد من الطرفين، ثم نلغي الضرب بقسمة الطرفين على المعامل، والإجابة العشرية مقبولة. وإذا كان المجهول مقسومًا على عدد فنضرب الطرفين في هذا العدد. وإذا كان المجهول مطروحًا من عدد فأضفه إلى الطرفين أولًا ثم أكمل. الخطأ الشائع طرح المعامل بدل القسمة عليه؛ المعامل يضرب المجهول، فعكسه القسمة.

Undo each operation with its opposite: $+$ with $-$ , $\times$ with $\div$ .

Worked example

1
$4 x + 5 = 27$ — The question: x was multiplied by 4, then 5 was added.
2
$4 x + 5 - 5 = 27 - 5$ — Undo the +5 first: take 5 from both sides.
3
$4 x = 22$ — 27 − 5 = 22. The 5 is gone.
4
$\frac{4 x}{4} = \frac{22}{4}$ — Undo the ×4: divide both sides by 4.
5
$x = \frac{11}{2} = 5.5$ — 22 ÷ 4 = 5.5. A decimal answer is fine.

One step

\frac{x}{6} = 3

x = 18

Undo ÷6: multiply by 6.

Watch the minus

19 - k = 4

19 = 4 + k

k = 15

Add k to both sides, then take 4.

Common mistake

Writing $x = 22 - 4 = 18$ . The 4 multiplies x, so you divide by 4.

3. x on Both Sides

كثير من أسئلة الدرجات الثلاث فيها المجهول في الطرفين، وغالبًا مع قوس. افكّ القوس أولًا، ثم اجمع حدود المجهول في طرف واحد. في المثال: نضرب العدد في كل حد داخل القوس، ثم نطرح حد المجهول الأصغر من الطرفين فيبقى المجهول في طرف واحد، ثم ننقل العدد ونقسم، والإجابة السالبة مقبولة. القاعدة: اطرح حد المجهول الأصغر من الطرفين، وإذا كان سالبًا فطرحه يعني إضافته. الخطأ الشائع تغيير إشارة في طرف واحد فقط؛ كل خطوة تُطبَّق على الطرفين.

Many 3-mark questions have x on both sides, often with a bracket. Expand first, then gather the x terms on one side.

Worked example

1
$5 (x + 3) = 3 x - 4$ — The question. x is on both sides, and the left has a bracket.
2
$5 x + 15 = 3 x - 4$ — Expand the bracket first: 5 × x = 5x and 5 × 3 = 15.
3
$2 x + 15 = - 4$ — Take 3x from both sides. 3x is the smaller x term, so the x's stay on the left only.
4
$2 x = - 19$ — Take 15 from both sides: −4 − 15 = −19.
5
$x = - \frac{19}{2} = - 9.5$ — Divide both sides by 2. A negative answer is fine.

Rule

Take the smaller x term away from both sides. If the smaller one has a minus, like −3x, taking it away means adding 3x.

Common mistake

Changing a sign on one side only. Every move is “do the same to both sides”.

4. A Minus in Front of x

كثيرًا ما يأتي المجهول بإشارة سالبة. أضف حد المجهول إلى الطرفين فيصبح موجبًا. في المثال الأول: نضيف حد المجهول إلى الطرفين فيختفي من اليسار ويظهر موجبًا في اليمين، ثم ننقل العدد ونقسم، ونتحقق بالتعويض. وفي المثال الثاني، المجهول في الطرفين وأحدهما سالب: الحد السالب هو الأصغر، فنضيفه إلى الطرفين، ثم ننقل العدد ونقسم. الخطأ الشائع التوقف عند معامل سالب أمام المجهول؛ اقسم على العدد السالب، وتذكّر أن السالب على السالب يعطي موجبًا.

Exams often give x a minus sign, like 13 − 2x = 6. Add the x term to both sides, so x becomes positive.

Worked example

1
$13 - 2 x = 6$ — The question. The x term −2x has a minus.
2
$13 - 2 x + 2 x = 6 + 2 x$ — Add 2x to both sides. This clears the minus.
3
$13 = 6 + 2 x$ — −2x + 2x = 0. Now x is on the right, and it is positive.
4
$7 = 2 x$ — Take 6 from both sides: 13 − 6 = 7.
5
$x = 3.5$ — Divide both sides by 2: 7 ÷ 2 = 3.5.
6
$13 - 2 (3.5) = 13 - 7 = 6$ — Check: put 3.5 back in. We get 6, the same as the right side, so it is correct.

x on both sides, one with a minus

Worked example

1
$14 - 3 p = 2 + 5 p$ — The question. The smaller p term is −3p, because −3 is less than 5.
2
$14 = 2 + 8 p$ — Add 3p to both sides: −3p + 3p = 0 and 5p + 3p = 8p.
3
$12 = 8 p$ — Take 2 from both sides: 14 − 2 = 12.
4
$p = 1.5$ — Divide both sides by 8: 12 ÷ 8 = 1.5.

Common mistake

Stopping at $- 2 x = - 7$ . Divide both sides by −2: $(- 7) \div (- 2) = 3.5$ . A minus divided by a minus is a plus.

5. One Fraction

إذا كان المجهول داخل كسر فتخلّص من الكسر أولًا بضرب الطرفين في المقام. في المثال: نضرب الطرفين في المقام، ونضع الطرف الأيمن بين قوسين حتى يُضرب كل حدّ فيه. يختفي المقام من اليسار، ونفكّ القوس في اليمين. ثم نطرح حد المجهول الأصغر من الطرفين، وننقل العدد لنجد المجهول. تحقّق دائمًا بالتعويض في الطرفين؛ إذا تساويا فإجابتك صحيحة، وهذه أسرع طريقة لاكتشاف خطأ في الإشارة. الخطأ الشائع ضرب الحد الأول فقط من القوس.

If x is inside a fraction, clear the fraction first: multiply both sides by the bottom number.

Worked example

1
$\frac{5 x - 1}{3} = 2 x + 4$ — The question. 5x − 1 is divided by 3, so clear the 3 first.
2
$3 \times \frac{5 x - 1}{3} = 3 (2 x + 4)$ — Multiply both sides by 3. Keep the right side in a bracket, so the 3 multiplies all of it.
3
$5 x - 1 = 6 x + 12$ — The 3s cancel on the left. On the right, 3 × 2x = 6x and 3 × 4 = 12.
4
$- 1 = x + 12$ — Take 5x, the smaller x term, from both sides.
5
$x = - 13$ — Take 12 from both sides: −1 − 12 = −13.
6
$\frac{5 ( - 13 ) - 1}{3} = \frac{- 66}{3} = - 22$ — Check the left side. The right side is 2(−13) + 4 = −22 too, so both sides match.

Key idea

Always check by putting your answer back into both sides. If they match, you are right. It is the quickest way to catch a sign slip.

Common mistake

Writing $3 (2 x + 4)$ as $6 x + 4$ . The 3 multiplies every term on that side.

6. Two Fractions (Extended/Higher)

المعادلة التي فيها كسران تأخذ ثلاث أو أربع درجات. اضرب كل حد في عدد يقبل القسمة على المقامين معًا. في المثال الأول: نختار المضاعف المشترك للمقامين، ونضرب كل حد فيه مع الإبقاء على الأقواس، ثم نفكّ الأقواس منتبهين إلى أن الإشارة السالبة أمام القوس تضرب ما بداخله، فيصبح سالب في سالب موجبًا. بعدها نجمع الحدود المتشابهة وننقل العدد. وفي المثال الثاني الطرف الأيمن عدد عشري، وهو حد أيضًا فيُضرب، فيصبح عددًا صحيحًا. الخطأ الشائع نسيان ضرب الطرف الأيمن.

Two fractions are worth 3–4 marks. Multiply every term by a number both bottoms go into.

Worked example

1
$\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 2$ — The question. 3 and 4 both go into 12, so 12 clears both bottoms.
2
$4 (x + 1) - 3 (x - 2) = 24$ — Multiply every term by 12: 12 ÷ 3 = 4, 12 ÷ 4 = 3, and 2 × 12 = 24. Keep the brackets.
3
$4 x + 4 - 3 x + 6 = 24$ — Expand. The minus in front multiplies too: (−3) × (−2) = +6.
4
$x + 10 = 24$ — Collect: 4x − 3x = x and 4 + 6 = 10.
5
$x = 14$ — Take 10 from both sides.

When the right side is a decimal

Worked example

1
$\frac{x + 2}{4} - \frac{5 - x}{5} = 1.3$ — The question. 4 and 5 both go into 20. The 1.3 is a term too, so it gets multiplied.
2
$5 (x + 2) - 4 (5 - x) = 26$ — Multiply every term by 20: 1.3 × 20 = 26, a whole number.
3
$5 x + 10 - 20 + 4 x = 26$ — Expand. Watch the minus: (−4) × (−x) = +4x.
4
$9 x - 10 = 26$ — Collect: 5x + 4x = 9x and 10 − 20 = −10.
5
$9 x = 36$ — Add 10 to both sides.
6
$x = 4$ — Divide both sides by 9.

Common mistake

Forgetting the right side. The 2 must become 24, and the 1.3 must become 26.

7. x on the Bottom

إذا كان المجهول في مقام الكسر فافعل ما تفعله مع العدد: اضرب الطرفين في المقام. في المثال الأول: نضرب الطرفين في المجهول فيختفي من المقام، ثم نقسم على المعامل. وإذا كان في كل طرف كسر نستخدم الضرب التبادلي: بسط كل كسر في مقام الآخر، مع وضع المقام الذي فيه المجهول بين قوسين. ثم نفكّ القوس ونجمع حدود المجهول في طرف واحد، ونتحقق بالتعويض. الخطأ الشائع إهمال القوس فلا يُضرب العدد الثاني داخله. وإذا بقي مربع المجهول بعد التخلص من الكسور ولم يختفِ، فالمعادلة تربيعية ولها درس خاص.

When x is on the bottom of a fraction, do the same as with a number: multiply both sides by the bottom.

Worked example

1
$\frac{36}{x} = 8$ — The question. x is on the bottom.
2
$36 = 8 x$ — Multiply both sides by x. On the left, the x's cancel.
3
$x = 4.5$ — Divide both sides by 8: 36 ÷ 8 = 4.5.

A fraction on each side: cross-multiply

Worked example

1
$\frac{3 x}{x + 4} = \frac{5}{2}$ — The question. There is a fraction on each side.
2
$2 \times 3 x = 5 (x + 4)$ — Cross-multiply: each top times the other bottom. Put x + 4 in a bracket.
3
$6 x = 5 x + 20$ — Work out 2 × 3x = 6x, and expand 5(x + 4).
4
$x = 20$ — Take 5x from both sides.
5
$\frac{3 \times 20}{20 + 4} = \frac{60}{24} = 2.5$ — Check: 5 ÷ 2 = 2.5 as well, so both sides match.

Common mistake

Leaving out the bracket: writing 5(x + 4) as 5x + 4. The 5 multiplies the 4 too.

Key idea

If clearing the fractions leaves an $x^{2}$ that does not cancel, the equation is a quadratic. See the lesson Equations That Become Quadratics.

8. When x² Cancels

أحيانًا يظهر مربع المجهول في الطرفين بعد فكّ الأقواس. إذا كان الحدّان المربّعان متساويين فإنهما يختفيان وتبقى معادلة خطية. في المثال: تبدو المعادلة تربيعية، لكن نفكّ الأقواس أولًا؛ مربع القوس يعني القوس مضروبًا في نفسه. بعد الفكّ يبدأ الطرفان بالحد المربع نفسه، فنطرحه من الطرفين فيختفي. ثم نطرح حد المجهول الأصغر، وننقل العدد، ونقسم. الخطأ الشائع تربيع حدّي القوس فقط ونسيان الحد الأوسط.

Sometimes both sides have $x^{2}$ after you expand. If the $x^{2}$ terms are the same, they cancel and you are left with a linear equation.

Worked example

1
$(2 x + 3)^{2} = (2 x + 1) (2 x + 7)$ — The question. It looks like a quadratic, but expand first.
2
$(2 x + 3) (2 x + 3) = (2 x + 1) (2 x + 7)$ — A square means the bracket times itself.
3
$4 x^{2} + 12 x + 9 = 4 x^{2} + 16 x + 7$ — Expand both sides. Each side starts with 4x².
4
$12 x + 9 = 16 x + 7$ — Take 4x² from both sides. The x² terms cancel.
5
$9 = 4 x + 7$ — Take 12x, the smaller x term, from both sides.
6
$2 = 4 x$ — Take 7 from both sides.
7
$x = 0.5$ — Divide both sides by 4: 2 ÷ 4 = 0.5.

Common mistake

Writing $(2 x + 3)^{2}$ as $4 x^{2} + 9$ . You lose the middle term, 12x.

9. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، انظر أين يقع المجهول. عملية واحدة على المجهول: ألغِها بعكسها. عمليتان: ألغِ الجمع أولًا ثم الضرب. إشارة سالبة أمام المجهول: أضف حد المجهول إلى الطرفين. المجهول في الطرفين: اطرح حد المجهول الأصغر من الطرفين. قوس: افكّه أولًا. مربع المجهول في الطرفين: افكّ الأقواس فقد يختفي الحدّان المربّعان. كسر واحد: اضرب الطرفين في المقام. المجهول في المقام: اضرب الطرفين فيه. كسر في كل طرف: اضرب ضربًا تبادليًا. كسران: اضرب كل حد في المقام المشترك. واكتب كل خطوة، فمعظم الدرجات على خطوات الحل، وإذا طلب السؤال خطوات جبرية واضحة فقد تأخذ الإجابة الصحيحة بلا خطوات صفرًا.

Look at where x is before you start.

You see	You do
One thing done to x	Undo it
Two things done to x	Undo the adding first, then the multiplying
A minus in front of x	Add the x term to both sides
x on both sides	Take the smaller x term from both sides
A bracket	Expand it first
x² on both sides	Expand; the x² terms may cancel
One fraction	Multiply both sides by the bottom
x on the bottom	Multiply both sides by it
A fraction on each side	Cross-multiply
Two fractions	Multiply every term by the common bottom

Key idea

Show every line. Most of the marks are for the working, and when a question says “show clear algebraic working”, a right answer with no lines can score 0.

تدرّب على حل المعادلات الخطية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حل المعادلات الخطية

1. What Solving an Equation Means

2. One and Two Steps

3. x on Both Sides

4. A Minus in Front of x

5. One Fraction

6. Two Fractions (Extended/Higher)

7. x on the Bottom

8. When x² Cancels

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على حل المعادلات الخطية

أسئلة امتحانات سابقة على حل المعادلات الخطية، محلولة ومشروحة بالعربي