LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

شرح خصائص المماس للدائرة

Tangent Properties of a Circle

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Tangent Facts

المماس خط مستقيم يمس الدائرة في نقطة واحدة فقط تسمى نقطة التماس. حقيقتان مهمتان: المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس، أي يلتقيان بزاوية قائمة. والمماسان المرسومان من نقطة واحدة خارج الدائرة متساويان في الطول. في الامتحان اكتب السبب بالصياغة الإنجليزية الظاهرة على الشاشة كلما استخدمت إحدى الحقيقتين. ومعلومة طريفة: كلمة المماس في الإنجليزية من أصل لاتيني بمعنى «يلمس».

A tangent is a straight line that touches the circle at one point only. That point is the point of contact.

Rule

The tangent meets the radius at . Reason: tangent is perpendicular to the radius.

Rule

Two tangents drawn from the same outside point are the same length. Reason: tangents from an external point are equal in length.

Key idea

Tangent comes from the Latin tangere, 'to touch'. A tangent touches the circle once, then shoots off in its own direction. That is why, when someone suddenly starts talking about something else, English speakers say they 'went off on a tangent'!

2. Tangent, Radius and Isosceles

سؤال الثلاث درجات: مماس عند نقطة، ووتر، ومركز الدائرة، ومع كل خطوة سبب. في المثال: الضلعان من المركز إلى طرفي الوتر نصفا قطر، فالمثلث متساوي الساقين وزاويتا قاعدته متساويتان. ثم المماس عمودي على نصف القطر، فالزاوية بينهما قائمة. الزاوية المطلوبة هي الزاوية القائمة مطروحًا منها زاوية القاعدة. الخطأ الشائع نسيان ذكر أن الضلعين نصفا قطر؛ هذا ما يجعل المثلث متساوي الساقين، فاكتبه. ولاحظ أن الزاوية المركزية هنا ضعف الزاوية بين المماس والوتر.

The 3-mark question: a tangent at A, a chord AB, and the centre O. Give a reason for each stage.

Worked example

  1. 1

    — Given. O is the centre and TA is the tangent at A.

  2. 2

    — OA and OB are both radii, so triangle OAB is isosceles and its base angles are equal.

  3. 3

    — The tangent is perpendicular to the radius at the point of contact.

  4. 4

    — TAB is the right angle OAT with the part OAB taken out of it.

  5. 5

    — Work out 90 − 24.

Common mistake

Forgetting that OA and OB are both radii. That is what makes the triangle isosceles, so say it.

Key idea

The angle at the centre here is , exactly twice .

3. Two Tangents: The Kite

سؤال الثلاث درجات: مماسان من نقطة خارجية مع نصفي القطر يكوّنان شكلًا رباعيًا على هيئة طائرة ورقية. الطريقة: كل مماس عمودي على نصف القطر، فهناك زاويتان قائمتان. مجموع زوايا الشكل الرباعي يساوي دورة كاملة، فنطرح الزوايا الثلاث المعروفة لنجد الزاوية المركزية. ثم الزاوية المحيطية على القوس الأكبر تساوي نصف الزاوية المركزية. وبما أن المماسين متساويان، فالمثلث المكوّن منهما ومن الوتر متساوي الساقين، فتتساوى زاويتا قاعدته.

The 3-mark question: tangents from B touch the circle at A and C. With the radii OA and OC they make a kite OABC. D is a point on the major arc AC.

Worked example

  1. 1

    — Given. BA and BC are tangents from B, touching the circle at A and C.

  2. 2

    — Each tangent is perpendicular to the radius at its point of contact.

  3. 3

    — OABC has four sides, so its angles add up to 360°. Take away the other three angles.

  4. 4

    — Work out 360 − 236.

  5. 5

    — D is on the major arc, so the angle at the circumference is half the angle at the centre.

Key idea

BA equals BC (tangents from an external point are equal in length), so triangle ABC is isosceles: too.

4. Tangent Length With Pythagoras

الزاوية القائمة عند نقطة التماس تعطيك مثلثًا قائم الزاوية، والوتر فيه هو الخط من المركز إلى النقطة الخارجية. استخدم نظرية فيثاغورس. إذا كان المطلوب ضلعًا قصيرًا (طول المماس) فاطرح مربع نصف القطر من مربع الوتر ثم خذ الجذر. وإذا كان المطلوب هو الخط من المركز إلى النقطة الخارجية فاجمع المربعين ثم خذ الجذر. الخطأ الشائع جمع المربعين وأنت تبحث عن ضلع قصير. اسأل نفسك دائمًا: هل الناقص هو الضلع الأطول أم ضلع أقصر؟

The right angle at the point of contact gives a right-angled triangle. The line from the centre to the outside point is the hypotenuse.

Worked example

  1. 1

    — OT is a radius. OP runs from the centre to the outside point P.

  2. 2

    — The tangent PT is perpendicular to the radius OT. So OTP is a right-angled triangle and OP, opposite the right angle, is the longest side.

  3. 3

    — Pythagoras: the two shorter sides squared add up to the hypotenuse squared.

  4. 4

    — Take 5² away from both sides.

  5. 5

    — Square root of 144.

Common mistake

Adding here. OP is given and it is the longest side, so subtract.

Sometimes OP is the unknown. It is still the hypotenuse, so the sign flips.

Worked example

  1. 1

    — The tangent length and the radius. You want OP.

  2. 2

    — OP is the longest side, so add the squares of the two shorter sides.

  3. 3

    — Work out each square, then add.

  4. 4

    — Square root of 289.

Key idea

Ask which side you are missing. Missing the longest side, add the squares. Missing a shorter side, subtract.

5. Tangent Length With Trigonometry

أحيانًا تُعطى زاوية بدل الطول من المركز. الشكل الرباعي ينقسم إلى مثلثين قائمين متطابقين، فنستخدم حساب المثلثات. الخطوات: الخط من المركز إلى النقطة الخارجية هو محور تماثل، فينصّف الزاوية المركزية. ثم المماس عمودي على نصف القطر فالمثلث قائم. طول المماس مقابل للزاوية ونصف القطر مجاور لها، فنستخدم دالة الظل ونضرب في نصف القطر. استخدم الآلة الحاسبة بنظام الدرجات وقرّب لثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع استخدام الزاوية المركزية كاملة بدل نصفها.

Sometimes you are given an angle instead of OP. The kite splits into two equal right-angled triangles, so use trigonometry.

Worked example

  1. 1

    — Tangents from R touch the circle at P and Q. You want the tangent length PR.

  2. 2

    — OR is the line of symmetry of the kite, so it cuts the angle at O in half.

  3. 3

    — The tangent is perpendicular to the radius, so triangle OPR has a right angle at P.

  4. 4

    — PR is opposite the 50° angle and OP = 6 is next to it. Opposite and next to, so use tan.

  5. 5

    — Multiply both sides by 6.

  6. 6

    — Use your calculator in degrees mode. Rounded to 3 significant figures.

Common mistake

Using the whole angle 100° in the triangle. The right-angled triangle only has half of it, 50°.

6. Why Tangents Are Equal

قد يطلب السؤال إثبات أن المماسين متساويان، وذلك بمثلثين متطابقين. الخطوات مع أسبابها: كل مماس عمودي على نصف القطر، فهناك زاويتان قائمتان. نصفا القطر متساويان لأنهما من الدائرة نفسها. الخط من المركز إلى النقطة الخارجية ضلع مشترك وهو الوتر في المثلثين. فالمثلثان متطابقان بحالة الزاوية القائمة والوتر وضلع، ومن ثم الأضلاع المتناظرة متساوية، أي المماسان متساويان. الخطأ الشائع كتابة «المماسان من نقطة خارجية متساويان» سببًا، وهو نفسه المطلوب إثباته. كل سطر عليه درجة، فاذكر السبب دائمًا.

A show-that question may ask you to prove that two tangents are equal. Use two congruent triangles. T is the outside point, and the tangents touch at P and Q.

Worked example

  1. 1

    — Each tangent is perpendicular to the radius at its point of contact.

  2. 2

    — Both are radii of the same circle.

  3. 3

    — OT is a side of both triangles, and it is the hypotenuse of each.

  4. 4

    — A right angle, the hypotenuse and one other side are equal in both. That makes the triangles congruent (RHS).

  5. 5

    — Matching sides of congruent triangles are equal.

Common mistake

Writing "tangents from a point are equal" as a reason. That is the very thing you are asked to prove.

Key idea

Each line above earns a mark. Say the reason every time.

7. Tangent at the End of a Diameter

إذا كان الخط من نقطة التماس قطرًا، فهو يمر بالمركز، لذلك يلتقي بالمماس بزاوية قائمة. في المثال: الزاوية بين القطر والمماس قائمة، فالزاوية المطلوبة بين المماس والوتر هي القائمة مطروحًا منها الزاوية المعطاة. ثم الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة لأن الضلع المقابل قطر، ومجموع زوايا المثلث يعطينا الزاوية الثالثة. لاحظ أن الزاويتين الناتجتين متساويتان، وهذه نظرية القطعة المتبادلة التي لها درس خاص، لكن يمكنك دائمًا الوصول إليها بحقائق الزاوية القائمة.

When the line from A to the point of contact B is a diameter, it passes through O. So it is a radius line and meets the tangent at 90°.

Worked example

  1. 1

    — Given. AB is a diameter, DBE is the tangent at B, and C is on the circle on the same side as D.

  2. 2

    — The diameter passes through O, and the tangent is perpendicular to the radius.

  3. 3

    — DBC is the right angle ABD with the part CBA taken out.

  4. 4

    — Work out 90 − 62.

  5. 5

    — Angle in a semicircle, because AB is a diameter.

  6. 6

    — Angles in triangle ABC add up to 180°.

Key idea

DBC and CAB are both 28°. That is the Alternate Segment Theorem, taught in its own lesson. You can always reach it with the 90° facts as well.

8. Other Arcs and Reflex (Extended/Higher)

الزاوية المركزية قد تكون منعكسة، والنقطة على المحيط قد تقع على أي من القوسين. ابدأ بزاوية الشكل الرباعي: زاويتان قائمتان ومجموع الزوايا دورة كاملة، فتجد الزاوية المركزية. والزاوية المنعكسة هي الدورة الكاملة مطروحًا منها. إذا كانت النقطة على القوس الأكبر فالزاوية المحيطية نصف الزاوية المركزية. وإذا كانت على القوس الأصغر فهي مكمّلة لتلك الزاوية، لأن الزاويتين المتقابلتين في الشكل الرباعي الدائري مجموعهما زاويتان قائمتان. الخطأ الشائع تنصيف أي زاوية دون التحقق من القوس.

The angle at the centre can also be reflex, and D can sit on either arc. Take the kite angle, then choose the right rule.

Worked example

  1. 1

    — Tangents from B with angle ABC = 70°. The kite OABC has two right angles, and its angles add up to 360°.

  2. 2

    — The reflex angle goes the other way round O. Angles around a point add up to 360°.

  3. 3

    — D is on the major arc, so the angle at the circumference is half the angle at the centre.

  4. 4

    — E is on the minor arc. A, D, C and E lie on the circle, so opposite angles of ADCE add up to 180°.

Common mistake

Halving 250° or 110° without checking the arc. Major arc: half of the angle at the centre. Minor arc: 180° minus that.

9. Which Method? Read the Question

ابدأ دائمًا بتحديد كل زاوية قائمة يلتقي فيها نصف قطر بمماس. الجدول يلخص: المماس ونصف القطر يعطيان زاوية قائمة ثم مثلثًا. المركز ونصفا قطر مع وتر يعطون مثلثًا متساوي الساقين. مماسان من نقطة واحدة يعطيان شكلًا رباعيًا فيه زاويتان قائمتان ومجموع زواياه دورة كاملة. للأطوال استخدم فيثاغورس، واجمع المربعين إذا كان المجهول هو الوتر. إذا أُعطيت الزاوية المركزية فنصّفها ثم استخدم دالة الظل. لإثبات تساوي المماسين استخدم مثلثين متطابقين. المماس عند طرف القطر يعطي زاوية قائمة ثم زاوية في نصف دائرة. ومماس مع وتر دون نصف قطر يعني نظرية القطعة المتبادلة. واكتب السبب في كل مرة تستخدم فيها الزاوية القائمة.

Mark every right angle where a radius meets a tangent first.

You seeYou do
Tangent and radius meet90°, then the triangle
O, radii and a chordisosceles: equal base angles
Two tangents from one pointkite: 90° + 90°, then 360°
Tangent length, radius, distancePythagoras' Theorem
Tangent length, radius, OP is the unknownadd the squares: OP is the hypotenuse
Angle at O given, tangent length wantedhalve the angle, then tan
Show tangents are equaltwo congruent triangles (RHS)
Tangent at the end of a diameter90°, then angle in a semicircle
Tangent and chord, no radiusAlternate Segment Theorem

Key idea

Write "tangent is perpendicular to the radius" every time you use the .

تدرّب على خصائص المماس للدائرة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة امتحانات سابقة على خصائص المماس للدائرة، محلولة ومشروحة بالعربي