شرح قوانين الجمع

The Addition Formulae

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Why not just add?

قد يبدو أن جيب مجموع زاويتين يساوي مجموع جيبيهما، لكن التجربة تكشف الخطأ: جيب التسعين درجة يساوي واحدًا، أما جيب الثلاثين مع جيب الستين فيعطي أكثر من واحد. لذلك لجيب المجموع قانون خاص: جيب الأولى في جيب تمام الثانية، زائد جيب تمام الأولى في جيب الثانية. وفي جيب الفرق تصبح إشارة الوسط سالبة، أي أن إشارة الوسط في الجيب تطابق إشارة القوس. كل حدّ فيه جيب واحد وجيب تمام واحد، وزاوية من كل واحدة. في المثال نتحقق من القانون بالزاويتين ستين وثلاثين مستخدمين القيم الدقيقة فنصل إلى واحد. ورقة قوانين إدكسل تطبع قوانين الجمع الستة، أما قوانين ضعف الزاوية في هذا الدرس فغير مطبوعة.

It is tempting to think $sin (3 0^{\circ} + 6 0^{\circ}) = sin 3 0^{\circ} + sin 6 0^{\circ}$ . Test it. The left side is $sin 9 0^{\circ} = 1$ . The right side is $0.5 + 0.866 = 1.366$ . They are not equal.

So the sine of a sum needs its own formula. It mixes sines and cosines of both angles:

Formula

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

$A$ — the first angle.
$B$ — the second angle. Each term has one sin and one cos, one of A and one of B.

Formula

sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B

$A$ — the angle you start from.
$B$ — the angle you take away. For sin, the sign in the middle matches the sign in the bracket.

Worked example

1
Check the formula with $A = 6 0^{\circ}$ and $B = 3 0^{\circ}$ .
2
$sin 9 0^{\circ} = sin 6 0^{\circ} cos 3 0^{\circ} + cos 6 0^{\circ} sin 3 0^{\circ}$ — Put the two angles into the formula.
3
$= \frac{3}{2} \times \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}$ — Exact values.
4
$= \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$ — It matches sin 90° = 1.

Rule

The 4PM1 formula sheet prints all six addition formulae: sin, cos and tan of $A + B$ and $A - B$ . You do not need to memorise them, but you must use them quickly and correctly. The double-angle formulae later in this lesson are not printed.

Key idea

Around 150 CE, Ptolemy in Alexandria used a result equivalent to these formulae to build his table of chords: one of the first trig tables, made for astronomy.

2. Cos and tan

جيب التمام له نمط مختلف: جيب تمام مع جيب تمام، وجيب مع جيب، والإشارة تنقلب. فإذا كان في القوس جمع صار في الوسط طرح، وإذا كان في القوس طرح صار في الوسط جمع. للتذكّر: الجيب يحفظ الإشارة، وجيب التمام يغيّرها. والظل كسر: في البسط مجموع الظلّين أو فرقهما بإشارة القوس نفسها، وفي المقام واحد مع حاصل ضرب الظلّين بالإشارة المعاكسة. في المثال نكتب الزاوية خمسًا وسبعين على أنها خمس وأربعون زائد ثلاثين، نعوّض بالقيم الدقيقة، ثم نضرب البسط والمقام في ثلاثة لنتخلص من الكسر الداخلي، ثم نتخلّص من الجذر في المقام بضرب البسط والمقام في مرافقه. الخطأ الشائع الإبقاء على إشارة القوس في قانون جيب التمام؛ جرّب بزاويتين كل منهما خمس وأربعون لترى أن إشارة الوسط يجب أن تكون سالبة.

Cos has its own pattern: cos with cos, sin with sin, and the sign flips.

Formula

cos (A + B) = cos A cos B - sin A sin B

$-$ — a plus in the bracket gives a minus in the middle.

Formula

cos (A - B) = cos A cos B + sin A sin B

$+$ — a minus in the bracket gives a plus in the middle.

Memory trick

Sin keeps the sign. Cos changes the sign.

Tan is sin over cos, so its formula is a fraction:

Formula

tan (A + B) = \frac{tan A + tan B}{1 - tan A tan B}

$A, B$ — any angles where every tan exists. The top keeps the sign; the bottom has the opposite sign.

Formula

tan (A - B) = \frac{tan A - tan B}{1 + tan A tan B}

$A, B$ — same pattern: minus on top, plus underneath.

Worked example

1
Find the exact value of $tan 7 5^{\circ}$ .
2
$tan 7 5^{\circ} = tan (4 5^{\circ} + 3 0^{\circ})$ — Split 75° into two angles with exact values.
3
$= \frac{1 + \frac{3}{3}}{1 - 1 \times \frac{3}{3}}$ — tan 45° = 1 and tan 30° = √3/3.
4
$= \frac{3 + 3}{3 - 3}$ — Multiply top and bottom by 3.
5
$= \frac{( 3 + 3 ) ^{2}}{9 - 3} = \frac{12 + 6 3}{6}$ — Rationalise: multiply top and bottom by 3 + √3.
6
$= 2 + 3$ — Divide both terms by 6.

Worked example

1
Use the minus formulae to find the exact values of $cos 1 5^{\circ}$ and $tan 1 5^{\circ}$ .
2
$cos (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = cos 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$ — A minus in the bracket gives a plus in the middle.
3
$= \frac{2}{2} \times \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{6 + 2}{4}$ — Exact values, then multiply the surds.
4
$tan (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ}) = \frac{1 - \frac{3}{3}}{1 + \frac{3}{3}} = \frac{3 - 3}{3 + 3}$ — Minus on top, plus underneath. Then multiply top and bottom by 3.
5
$= \frac{( 3 - 3 ) ^{2}}{9 - 3} = \frac{12 - 6 3}{6} = 2 - 3$ — Rationalise with 3 − √3, then divide by 6.

Common mistake

Keeping the sign for cos: $cos (A + B) = cos A cos B + sin A sin B$ is wrong. Check with $A = B = 4 5^{\circ}$ : $cos 9 0^{\circ}$ is 0, so the middle sign must be minus.

Key idea

Sin: mixed pairs, same sign. Cos: matching pairs, opposite sign. Tan: a fraction with the opposite sign underneath.

3. Exact values

القوانين تحوّل زوايا مثل خمس عشرة وخمس وسبعين ومئة وخمس إلى مجموع أو فرق من الزوايا المألوفة ثلاثين وخمس وأربعين وستين، فنحصل على قيم دقيقة فيها جذور. في المثال الأول نكتب خمس عشرة على أنها خمس وأربعون ناقص ثلاثين ونطبّق قانون جيب الفرق ثم نضرب الجذور. وفي النوع الثاني يعطيك السؤال نسبة كل زاوية كسرًا ويخبرك أن الأولى حادة والثانية منفرجة: ارسم مثلثًا قائمًا لكل زاوية لتجد النسبة الناقصة بفيثاغورس، ثم حدّد إشارتها من الربع، وبعدها عوّض في القانون. وقد تفكّ القوس وفيه مجهول وعدد، وهذه أول خطوة في كثير من المعادلات. احذر: الزاوية المنفرجة جيب تمامها سالب وجيبها موجب، فقرّر الإشارة قبل التعويض.

The formulae turn angles like $1 5^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$ and $10 5^{\circ}$ into sums or differences of $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ and $6 0^{\circ}$ . That gives exact answers with surds.

Worked example

1
Find the exact value of $sin 1 5^{\circ}$ .
2
$sin 1 5^{\circ} = sin (4 5^{\circ} - 3 0^{\circ})$ — 15° is 45° take away 30°.
3
$= sin 4 5^{\circ} cos 3 0^{\circ} - cos 4 5^{\circ} sin 3 0^{\circ}$ — The sin(A − B) formula.
4
$= \frac{2}{2} \times \frac{3}{2} - \frac{2}{2} \times \frac{1}{2}$ — Exact values.
5
$= \frac{6 - 2}{4}$ — Multiply: √2 × √3 = √6, and both fractions are over 4.

Another common question gives you the ratios as fractions and tells you which kind of angle each is.

Worked example

1
Angle A is acute with $sin A = \frac{3}{5}$ . Angle B is obtuse with $cos B = - \frac{5}{13}$ . Find the exact values of $sin (A + B)$ and $cos (A + B)$ .
2
$cos A = \frac{4}{5}$ — A 3, 4, 5 triangle. A is acute, so cos A is positive.
3
$sin B = \frac{12}{13}$ — A 5, 12, 13 triangle. B is obtuse, in the second quadrant, so sin B is positive.
4
$sin (A + B) = \frac{3}{5} \times (- \frac{5}{13}) + \frac{4}{5} \times \frac{12}{13}$ — sin A cos B + cos A sin B.
5
$= \frac{- 15 + 48}{65} = \frac{33}{65}$ — Multiply the fractions and add.
6
$cos (A + B) = \frac{4}{5} \times (- \frac{5}{13}) - \frac{3}{5} \times \frac{12}{13}$ — cos A cos B − sin A sin B.
7
$= \frac{- 20 - 36}{65} = - \frac{56}{65}$ — Multiply and subtract.

You can also expand with one letter and one number. This is the first step in many equations.

Worked example

1
Expand $sin (x + 3 0^{\circ})$ exactly.
2
$sin x cos 3 0^{\circ} + cos x sin 3 0^{\circ}$ — The sin(A + B) formula with A = x and B = 30°.
3
$= \frac{3}{2} sin x + \frac{1}{2} cos x$ — Put in the exact values.

Common mistake

Losing a sign from the quadrant. For an obtuse angle cos is negative but sin is positive. Decide each sign before you substitute.

Key idea

Split the angle into friendly angles, use the formula, then simplify the surds.

4. Double angles

إذا جعلت الزاويتين متساويتين في قوانين الجمع حصلت على قوانين ضعف الزاوية، وهي غير مطبوعة في ورقة القوانين، والامتحان كثيرًا ما يطلب «بيّن أن» انطلاقًا من القوانين المطبوعة. جيب ضعف الزاوية يساوي اثنين في جيبها في جيب تمامها. وجيب تمام ضعف الزاوية له ثلاث صور: مربع جيب التمام ناقص مربع الجيب، أو ضعف مربع جيب التمام ناقص واحد، أو واحد ناقص ضعف مربع الجيب، ونحصل عليها باستخدام أن مجموع مربعي الجيب وجيب التمام واحد. اختر الصورة التي تُبقي النسبة التي تريدها. في المثال نعرف جيب التمام فنستخدم الصورة التي فيها جيب التمام فقط، ثم نجد الجيب من المتطابقة وهو موجب لأن الزاوية حادة. في «بيّن أن» اكتب سطر جمع الزاوية مع نفسها أولًا لأن عليه درجة. الخطأ الشائع أن تكتب جيب ضعف الزاوية ضعف جيبها.

Put $B = A$ in the addition formulae and you get formulae for $2 A$ . They are not on the formula sheet, and exam questions often ask you to show them from the printed formulae. So learn how to get them.

$sin (A + A) = sin A cos A + cos A sin A$ — the sin(A + B) formula with B = A.

$sin 2 A = 2 sin A cos A$ — the two terms are the same.

Formula

sin 2 A = 2 sin A cos A

$A$ — any angle. The 2 goes in front; it does not double the sine.

$cos (A + A) = cos A cos A - sin A sin A$ — the cos(A + B) formula with B = A.

$cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$ — first form.

$= cos^{2} A - (1 - cos^{2} A) = 2 cos^{2} A - 1$ — swap sin² A for 1 − cos² A.

$= (1 - sin^{2} A) - sin^{2} A = 1 - 2 sin^{2} A$ — or swap cos² A for 1 − sin² A.

Formula

cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A = 2 cos^{2} A - 1 = 1 - 2 sin^{2} A

$A$ — any angle. Three forms of the same thing: pick the one that leaves the ratio you want.

Formula

tan 2 A = \frac{2 tan A}{1 - tan ^{2} A}

$A$ — any angle where the bottom is not 0. It comes from tan(A + B) with B = A.

Rule

When a question says “use formulae from the formula sheet to show that”, write the A + A line first. Mark schemes give a method mark for the addition formula with B = A, another for using $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ , then the accuracy mark.

Worked example

1
Given that $cos A = \frac{1}{3}$ and A is acute, find the exact values of $cos 2 A$ and $sin 2 A$ .
2
$cos 2 A = 2 (\frac{1}{3})^{2} - 1 = \frac{2}{9} - 1 = - \frac{7}{9}$ — Use the form with cos only.
3
$sin A = 1 - \frac{1}{9} = \frac{2 2}{3}$ — From sin² A + cos² A = 1. A is acute, so sin A is positive.
4
$sin 2 A = 2 \times \frac{2 2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4 2}{9}$ — Two times sin A times cos A.

Common mistake

Writing $sin 2 A = 2 sin A$ . Test with $A = 9 0^{\circ}$ : $sin 18 0^{\circ} = 0$ , but $2 sin 9 0^{\circ} = 2$ .

Key idea

Every double-angle formula is an addition formula with B = A. If you forget one, rebuild it in one line.

5. Proving identities

في إثبات المتطابقات نتبع الخطة نفسها: نبدأ بالطرف الأصعب ونغيّره سطرًا بعد سطر حتى يصبح الطرف الآخر تمامًا. الجديد هنا أن نستبدل الزاوية المضاعفة بإحدى صورها. افكّ كل قوس فيه مجموع أو ضعف زاوية بقانونه، واختر صورة جيب تمام ضعف الزاوية التي تحذف الواحد أو تقرّبك من الطرف الآخر، ثم رتّب باستخدام متطابقة مجموع المربعين وأن الظل هو الجيب على جيب التمام. في المثال الأول نختار الصورة التي فيها واحد فيختفي الواحدان ويبقى ضعف مربع الجيب، ثم نختصر مع جيب ضعف الزاوية فنصل إلى الظل. وفي الثاني نفكّ القوسين فيُحذف الحدّان المتعاكسان. الخطأ الشائع اختيار صورة جيب التمام عشوائيًا فتتعقّد العبارة.

Proofs here use the same plan as before: start with the harder side and change it, line by line, into the other side. The new move is to replace a double angle with one of its forms.

Steps

1
1. Expand any $(A + B)$ or $2 A$ with a formula.
2. Choose the cos 2A form that cancels a 1 or matches the other side.
3. Use $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$ and $tan A = \frac{s i n A}{c o s A}$ to tidy up.
4. Stop when you reach the other side exactly.

Worked example

1
Prove that $\frac{1 - c o s 2 A}{s i n 2 A} = tan A$ .
2
$1 - cos 2 A = 1 - (1 - 2 sin^{2} A) = 2 sin^{2} A$ — Choose the form with a 1 in it, so the 1s cancel.
3
$sin 2 A = 2 sin A cos A$ — The sin double angle.
4
$LHS = \frac{2 s i n ^{2} A}{2 s i n A c o s A}$ — Put the two parts together.
5
$= \frac{s i n A}{c o s A} = tan A = RHS$ — Cancel 2 sin A from the top and the bottom.

Worked example

1
Show that $sin (A + B) + sin (A - B) = 2 sin A cos B$ .
2
$sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B$ — Expand the first one.
3
$sin (A - B) = sin A cos B - cos A sin B$ — Expand the second one.
4
$LHS = 2 sin A cos B = RHS$ — Add: the cos A sin B terms cancel.

Common mistake

Choosing a cos 2A form at random. In the first proof, $cos^{2} A - sin^{2} A$ would leave a messy $1 - cos^{2} A + sin^{2} A$ . Pick the form that makes the 1 disappear.

Key idea

Look at what the other side contains, then pick the form of cos 2A that moves you towards it.

6. Solving equations

كثير من المعادلات تحتاج قانونًا أولًا حتى تبقى نسبة واحدة لزاوية واحدة، ثم نحلّ كالمعتاد. في المثال الأول نفكّ جيب تمام المجموع، نعوّض بالقيم الدقيقة، نجمع حدود الجيب في طرف، ثم نقسم على جيب التمام لنحصل على قيمة للظل، فنجد الزاوية من الآلة ونضيف مئة وثمانين لنجد الثانية. وفي المثال الثاني يجتمع جيب تمام ضعف الزاوية مع الجيب، فنختار صورة جيب التمام التي فيها الجيب فقط لتصبح معادلة تربيعية في الجيب، نحلّلها ونحلّ كل قوس على حدة. احذر خطأين: ترك ضعف الزاوية والزاوية معًا في المعادلة، والقسمة على الجيب أو جيب التمام إذا كان عاملًا مشتركًا، فهذا يضيّع حلولًا؛ أخرجه عاملًا مشتركًا بدلًا من ذلك.

Many equations need a formula first, so that only one ratio of one angle is left. Then solve as usual.

Worked example

1
Solve $cos (x + 6 0^{\circ}) = sin x$ for $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .
2
$cos x cos 6 0^{\circ} - sin x sin 6 0^{\circ} = sin x$ — Expand with the cos(A + B) formula.
3
$\frac{1}{2} cos x - \frac{3}{2} sin x = sin x$ — Exact values.
4
$cos x = (2 + 3) sin x$ — Multiply by 2 and collect the sin x terms on one side.
5
$tan x = \frac{1}{2 + 3} = 2 - 3$ — Divide by cos x and by (2 + √3), then rationalise.
6
$x = 1 5^{\circ}, 19 5^{\circ}$ — tan 15° = 2 − √3 (or use the calculator), then add 180°.

Worked example

1
Solve $cos 2 x = sin x$ for $0^{\circ} \leq x \leq 36 0^{\circ}$ .
2
$1 - 2 sin^{2} x = sin x$ — Choose the form with sin only, to match the right side.
3
$2 sin^{2} x + sin x - 1 = 0$ — Bring everything to one side.
4
$(2 sin x - 1) (sin x + 1) = 0$ — Factorise.
5
$sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 3 0^{\circ}, 15 0^{\circ}$ — The calculator value and 180° − 30°.
6
$sin x = - 1 \Rightarrow x = 27 0^{\circ}$ — The bottom of the sine wave.

Common mistake

Leaving both $2 x$ and $x$ in one equation and trying to solve. First use a double-angle formula so every term is in x.

Common mistake

Dividing by $cos x$ or $sin x$ when it is a common factor. Take it out as a factor instead, or you lose solutions.

Key idea

Expand, make one ratio of one angle, then solve. The formula is just the first step.

7. Which method? Read the question

الكلمات والزوايا في السؤال تدلّك على القانون. إذا طُلبت «القيمة الدقيقة» لزاوية مثل خمس وسبعين أو خمس عشرة فقسّمها إلى ثلاثين وخمس وأربعين وستين وطبّق قانون الجمع. إذا أُعطيت نسبة لزاوية حادة وأخرى لمنفرجة فارسم المثلثين، وخذ الإشارات من الربع، ثم طبّق القانون. إذا ظهر قوس فيه المجهول مع زاوية في معادلة فافكّه ثم اجمع حتى تصل إلى ظل أو معادلة تربيعية. إذا قيل «بيّن أن» عن ضعف الزاوية فاكتب جمع الزاوية مع نفسها أولًا ثم متطابقة مجموع المربعين. إذا اجتمع جيب تمام ضعف الزاوية مع الجيب فاختر الصورة ذات النسبة نفسها، وإذا اجتمع جيب ضعف الزاوية مع الجيب فافكّه ثم أخرج العامل المشترك. وانقل القانون من ورقة القوانين بدل الاعتماد على الذاكرة حتى لا تخطئ الإشارة.

The words and the angles in the question tell you which formula to reach for.

You see	You do
“Exact value of $sin 7 5^{\circ}$ ” (or $1 5^{\circ}$ , $10 5^{\circ}$ )	Split into $3 0^{\circ}$ , $4 5^{\circ}$ , $6 0^{\circ}$ ; use the addition formula
$sin A$ and $cos B$ given, A acute, B obtuse	Triangles for the other ratios, signs from the quadrant, then the formula
$sin (x + 3 0^{\circ})$ in an equation	Expand, then collect into $tan x$ or a quadratic
“Show that $cos 2 A$ = …”	Write $cos (A + A)$ first, then $sin^{2} A + cos^{2} A = 1$
$cos 2 x$ with $sin x$ (or $cos x$ )	Pick the cos 2x form with the same ratio, then a quadratic
$sin 2 x$ with $sin x$	$2 sin x cos x$ , then take out the common factor
$sin (A + B) + sin (A - B)$	Expand both and let terms cancel

Common mistake

Using a formula from memory with the wrong sign. Copy it from the formula sheet, then substitute.

Key idea

One formula, many uses: exact values, double angles, proofs and equations all start by expanding.

تدرّب على قوانين الجمع

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح قوانين الجمع

1. Why not just add?

2. Cos and tan

3. Exact values

4. Double angles

5. Proving identities

6. Solving equations

7. Which method? Read the question

تدرّب على قوانين الجمع

أسئلة امتحانات سابقة على قوانين الجمع، محلولة ومشروحة بالعربي