شرح قاعدتا الضرب والقسمة

The Product and Quotient Rules

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two functions multiplied

عندما تُضرب دالتان، لا يجوز أن تضرب مشتقتيهما ببساطة؛ جرّب ذلك على مربع السين في مكعبها وسترى أن النتيجة خاطئة. السبب أن كل دالة تتغير بينما الأخرى تنتظر، فنجمع الأثرين. قاعدة الضرب: الدالة الأولى في مشتقة الثانية، زائد الدالة الثانية في مشتقة الأولى. في المثال نسمّي الدالة الأولى ونشتقها، ثم الثانية ونشتقها مع قاعدة العدد النيبيري، ثم نطبّق القاعدة ونُخرج العامل المشترك. احفظ القاعدة، فهي غير مطبوعة في ورقة القوانين لبعض المناهج. وسلّم التصحيح يعطي درجة لحدّين مجموعين بالشكل الصحيح ثم درجة لكل حد، فاكتب السطر قبل التبسيط دائمًا.

Try $y = x^{2} \times x^{3}$ . That is $x^{5}$ , so $\frac{d y}{d x} = 5 x^{4}$ . Now multiply the two separate derivatives: $2 x \times 3 x^{2} = 6 x^{3}$ . That is wrong.

So you cannot just multiply the derivatives. When two functions are multiplied, each one changes while the other one waits. You add the two effects.

Formula

\frac{d}{d x} (u v) = u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}

$u$ — the first function, for example $x^{3}$ .
$v$ — the second function, for example $e^{2 x}$ .
$\frac{d u}{d x}, \frac{d v}{d x}$ — their separate derivatives.

Rule

Learn it. 0606 and 4037 give no calculus formulas. 4PM1 lists it with the formulas to learn.

Worked example

1
Find $\frac{d y}{d x}$ for $y = x^{3} e^{2 x}$ .
2
$u = x^{3}, \frac{d u}{d x} = 3 x^{2}$ — Name the first function and differentiate it.
3
$v = e^{2 x}, \frac{d v}{d x} = 2 e^{2 x}$ — Name the second function and differentiate it.
4
$\frac{d y}{d x} = x^{3} \cdot 2 e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 3 x^{2}$ — u times dv/dx, plus v times du/dx.
5
$\frac{d y}{d x} = x^{2} e^{2 x} (2 x + 3)$ — Take out the common factor $x^{2} e^{2 x}$ .

Mark schemes give a method mark for two terms added in the right shape, then a mark for each correct term. So write the unsimplified line before you tidy.

Key idea

In 1675 Gottfried Leibniz checked in his notes whether the derivative of a product is just the product of the derivatives. He showed it is not, and went on to find the rule you just learned.

2. Products with a chain inside

غالبًا تحتاج إحدى الدالتين إلى قاعدة السلسلة. اشتقها جانبًا أولًا، ثم ضعها في قاعدة الضرب. في المثال الأول: الدالة الأولى هي السين ومشتقتها واحد، والثانية جذر قوس نشتقه بالسلسلة. بعد تطبيق قاعدة الضرب يكون عندنا حدّان، أحدهما فيه الجذر في المقام، فنوحّد المقامين بأن نكتب الجذر على صورة ما بداخله مقسومًا على الجذر نفسه، ثم نجمع البسطين لنصل إلى العبارة المطلوبة. وفي المثال الثاني انتبه للإشارتين السالبتين: مشتقة العدد النيبيري بأس سالب، ومشتقة جيب التمام. الخطأ الشائع في سؤال «بيّن أن» القفز مباشرة إلى الجواب المعطى؛ يجب أن يرى المصحّح كل خطوة.

Often one of the two functions needs the chain rule. Differentiate it on the side first, then put it into the product rule.

Worked example

1
$y = x 4 x + 1$ . Show that $\frac{d y}{d x} = \frac{6 x + 1}{4 x + 1}$ .
2
$u = x, \frac{d u}{d x} = 1$ — The first function.
3
$v = (4 x + 1)^{\frac{1}{2}},$ $\frac{d v}{d x} = \frac{1}{2} (4 x + 1)^{- \frac{1}{2}} \times 4 = \frac{2}{4 x + 1}$ — The chain rule on the second function.
4
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{4 x + 1} + 4 x + 1$ — u times dv/dx, plus v times du/dx.
5
$4 x + 1 = \frac{4 x + 1}{4 x + 1}$ — To add, give both terms the same bottom: a root times itself is the number inside.
6
$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x + 4 x + 1}{4 x + 1} = \frac{6 x + 1}{4 x + 1}$ — Add the tops. This is the given answer.

Worked example

1
$y = e^{- x} cos 2 x$ . Find $\frac{d y}{d x}$ .
2
$\frac{d u}{d x} = - e^{- x}, \frac{d v}{d x} = - 2 sin 2 x$ — $u = e^{- x}$ and $v = cos 2 x$ . Watch both minus signs.
3
$\frac{d y}{d x}$ $= e^{- x} (- 2 sin 2 x)$ $+ cos 2 x (- e^{- x})$ — u times dv/dx, plus v times du/dx.
4
$\frac{d y}{d x} = - e^{- x} (cos 2 x + 2 sin 2 x)$ — Take out the common factor $- e^{- x}$ .

Common mistake

In a “show that” question, jumping to the given answer. Show the unsimplified line and the common-bottom step. The examiner must see every move.

Key idea

Differentiate each part on its own first. Then build the product rule. Then factorise or use a common bottom.

3. One function divided by another

عندما تكون الدالة كسرًا فيه السين في البسط والمقام، استخدم قاعدة القسمة. ترتيب البسط مهم لأن فيه طرحًا. احفظها هكذا: المقام في مشتقة البسط، ناقص البسط في مشتقة المقام، والكل على مربع المقام. وابدأ دائمًا بالمقام. في المثال نشتق البسط والمقام كلًا على حدة، ثم نعوّض في القاعدة، ونفكّ البسط مع الانتباه إلى أن إشارة الطرح تصل إلى كل حدود القوس الثاني، ثم نجمع الحدود المتشابهة ونترك المقام قوسًا مربّعًا دون فكّ. الخطأ الشائع: عكس ترتيب البسط فتنقلب كل الإشارات، أو نسيان أن السالب يغيّر إشارتي القوس الثاني.

When the function is a fraction with x on top and bottom, use the quotient rule. The order of the top line matters, because it has a minus sign.

Formula

\frac{d}{d x} (\frac{u}{v}) = \frac{v \frac{d u}{d x} - u \frac{d v}{d x}}{v ^{2}}

$u$ — the top of the fraction.
$v$ — the bottom of the fraction. It is squared in the answer.

Rule

4PM1 gives this rule on the formula sheet, written with f(x) on top and g(x) below. 0606 and 4037 do not: learn it.

Memory trick

Bottom times d(top), minus top times d(bottom), all over bottom squared. Always start with the bottom.

Worked example

1
$y = \frac{3 x + 2}{x ^{2} + 1}$ . Find $\frac{d y}{d x}$ .
2
$u = 3 x + 2, \frac{d u}{d x} = 3;$ $v = x^{2} + 1, \frac{d v}{d x} = 2 x$ — Top and bottom, each differentiated.
3
$\frac{d y}{d x} = \frac{( x ^{2} + 1 ) ( 3 ) - ( 3 x + 2 ) ( 2 x )}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ — Bottom times d(top), minus top times d(bottom), over bottom squared.
4
$= \frac{3 x ^{2} + 3 - 6 x ^{2} - 4 x}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ — Expand the top. The minus changes both signs in the second bracket.
5
$\frac{d y}{d x} = \frac{3 - 4 x - 3 x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}}$ — Collect like terms. Leave the bottom as a bracket squared.

Common mistake

Swapping the order on top: $u \frac{d v}{d x} - v \frac{d u}{d x}$ . This makes every sign wrong.

Common mistake

Forgetting the minus reaches the whole second bracket: $- (3 x + 2) (2 x) = - 6 x^{2} - 4 x$ .

Key idea

The quotient rule always starts with the bottom. Keep the bottom squared as a bracket; do not expand it.

4. Quotients with e, trig and ln

قاعدة القسمة تعمل مع أي دوال تعرف اشتقاقها. في النهاية حلّل البسط: عامل مشترك مثل العدد النيبيري المرفوع لأس يجعل الإجابة أرتب بكثير. في المثال الأول نطبّق القاعدة ثم نُخرج العامل المشترك من البسط، ثم نعوّض لإيجاد الميل، متذكّرين أن العدد النيبيري أُس صفر يساوي واحدًا. المثال الثاني فيه لوغاريتم طبيعي، فهو لمنهجي الرياضيات الإضافية في كامبريدج فقط: مشتقة اللوغاريتم واحد على السين، ومربع المقام يصبح السين أُس أربعة، ثم نلاحظ أن كل حدود البسط فيها سين فنختصر واحدة مع المقام. الخطأ الشائع: الاختصار من جزء من مجموع؛ حلّل أولًا ثم اختصر العوامل الكاملة فقط.

The same rule works with any functions you can differentiate. Factorise the top at the end: a common factor like $e^{2 x}$ makes the answer much neater.

Worked example

1
$y = \frac{e ^{2 x}}{x + 1}$ . Find $\frac{d y}{d x}$ and the gradient at $x = 0$ .
2
$\frac{d u}{d x} = 2 e^{2 x}, \frac{d v}{d x} = 1$ — $u = e^{2 x}$ on top, $v = x + 1$ below.
3
$\frac{d y}{d x} = \frac{( x + 1 ) 2 e ^{2 x} - e ^{2 x} ( 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}$ — Bottom times d(top), minus top times d(bottom).
4
$\frac{d y}{d x} = \frac{e ^{2 x} ( 2 x + 1 )}{( x + 1 ) ^{2}}$ — Take out the common factor $e^{2 x}$ : 2x + 2 − 1 = 2x + 1.
5
$x = 0 : \frac{1 \times 1}{1} = 1$ — e to the power 0 is 1.

Rule

The next example uses ln, so it is for 0606 and 4037 only.

Worked example

1
$y = \frac{l n x}{x ^{2}}$ . Find $\frac{d y}{d x}$ in its simplest form.
2
$\frac{d y}{d x} = \frac{x ^{2} \cdot \frac{1}{x} - l n x \cdot 2 x}{x ^{4}}$ — $u = ln x$ gives $\frac{1}{x}$ ; $v = x^{2}$ gives 2x; bottom squared is $x^{4}$ .
3
$= \frac{x - 2 x l n x}{x ^{4}}$ — $x^{2} \times \frac{1}{x} = x$ .
4
$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 2 l n x}{x ^{3}}$ — Every term on top has a factor x. Cancel one x with the bottom.

Common mistake

Cancelling part of a sum. In $\frac{x - 2 x l n x}{x ^{4}}$ you may cancel an x only because every term on top has one. Factorise first; cancel whole factors only.

Key idea

Quotient rule, then factorise the top, then cancel whole factors. That is the form examiners ask for.

5. Show that: second derivatives

بعض الأسئلة تطلب الاشتقاق مرتين ثم إثبات علاقة بين الدالة ومشتقتها الأولى ومشتقتها الثانية. أبقِ العامل المشترك خارج القوس لتبقى الجبريات قصيرة. في المثال نشتق بقاعدة الضرب ونحلّل، ثم نشتق مرة ثانية بقاعدة الضرب أيضًا ونحلّل، ثم نعوّض الثلاثة في الطرف الأيسر ونُخرج العامل المشترك، فتجتمع الحدود داخل القوس لتعطي صفرًا كما هو مطلوب. وأحيانًا يكون الكسر أسهل إذا كُتب حاصل ضرب، بنقل المقام إلى البسط بأس سالب. الخطأ الشائع: استخدام قاعدة القسمة عندما يكون البسط عددًا ثابتًا؛ الأسرع أن تكتبه بأس سالب وتستخدم السلسلة. واختم دائمًا بالعبارة المطلوب إثباتها حرفيًا.

Some questions ask you to differentiate twice and prove a link between $y$ , $\frac{d y}{d x}$ and $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$ . Keep a common factor outside so the algebra stays short.

Worked example

1
$y = x e^{2 x}$ . Show that $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} - 4 \frac{d y}{d x} + 4 y = 0$ .
2
$\frac{d y}{d x} = x \cdot 2 e^{2 x} + e^{2 x} \cdot 1 = e^{2 x} (2 x + 1)$ — Product rule, then factorise.
3
$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = e^{2 x} \cdot 2 + (2 x + 1) \cdot 2 e^{2 x}$ — Product rule again, with $u = e^{2 x}$ and $v = 2 x + 1$ .
4
$\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}} = e^{2 x} (4 x + 4)$ — Factorise: 2 + 4x + 2 = 4x + 4.
5
$e^{2 x} (4 x + 4) - 4 e^{2 x} (2 x + 1) + 4 x e^{2 x}$ — Substitute all three into the left-hand side.
6
$= e^{2 x} (4 x + 4 - 8 x - 4 + 4 x) = 0$ — Take out $e^{2 x}$ . The bracket collects to 0, as required.

Sometimes a quotient is easier as a product. For example, $\frac{x ^{2}}{e ^{x}} = x^{2} e^{- x}$ . Both ways give the same answer, so choose the one with less algebra.

Common mistake

Using the quotient rule when the top is a plain number. For $\frac{5}{x ^{2} + 1}$ , write $5 (x^{2} + 1)^{- 1}$ and use the chain rule. It is quicker and safer.

Key idea

In show-that questions, write each line in full and end with the exact statement you were asked to show.

6. Which method? Read the question

قبل الاشتقاق اسأل: ما شكل هذه الدالة؟ دالتان في السين مضروبتان: قاعدة الضرب. السين في البسط والمقام: قاعدة القسمة، وابدأ بالمقام. عدد ثابت على قوس: قاعدة السلسلة مع أس سالب. عدد ثابت مضروب في دالة واحدة: لا حاجة لقاعدة الضرب، فالعدد ينتظر في المقدمة. حاصل ضرب أو قسمة فيه قوس داخلي: السلسلة على ذلك الجزء أولًا، جانبًا. «بيّن أن» أو «على الصورة»: اكتب السطر قبل التبسيط ثم حلّل أو وحّد المقامات. علاقة بين الدالة ومشتقتيها: اشتق مرتين وأبقِ العوامل خارجًا ثم عوّض. الخطأ الشائع: قاعدة الضرب مع عدد ثابت، ومشتقة الثابت صفر فهو يضرب الإجابة فقط.

Before you differentiate, ask: what is the shape of this function?

You see	You do
Two functions of x multiplied, like $x^{3} e^{2 x}$	Product rule: $u \frac{d v}{d x} + v \frac{d u}{d x}$
x on top and bottom, like $\frac{3 x + 2}{x ^{2} + 1}$	Quotient rule: start with the bottom
A plain number over a bracket	Chain rule with a negative power
A number times one function, like $5 e^{2 x}$	No product rule: the 5 just waits in front
A product or quotient with a bracket inside	Chain rule on that part first, on the side
“Show that” or “in the form …”	Unsimplified line, then factorise or use a common bottom
A link between $y$ , $\frac{d y}{d x}$ and $\frac{d ^{2} y}{d x ^{2}}$	Differentiate twice, keep factors outside, substitute

Common mistake

Using the product rule on $5 e^{2 x}$ . A constant is not a function of x; its derivative is 0, so it just multiplies the answer.

Key idea

Product: add two terms. Quotient: subtract, starting with the bottom, over the bottom squared.

تدرّب على قاعدتا الضرب والقسمة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح قاعدتا الضرب والقسمة

1. Two functions multiplied

2. Products with a chain inside

3. One function divided by another

4. Quotients with e, trig and ln

5. Show that: second derivatives

6. Which method? Read the question

تدرّب على قاعدتا الضرب والقسمة

أسئلة امتحانات سابقة على قاعدتا الضرب والقسمة، محلولة ومشروحة بالعربي