شرح مخططات فن

Venn Diagrams

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Venn Diagram Shows

شكل فن مستطيل فيه دائرتان متداخلتان. المستطيل يحوي كل شيء وهو المجموعة الشاملة، وكل دائرة مجموعة. فيه أربع مناطق: الأولى فقط، والتقاطع (في الاثنتين)، والثانية فقط، وخارج الدائرتين. القاعدة: كل عنصر يوضع في منطقة واحدة فقط، ولا تكتب عددًا مرتين. وهناك رسمان خاصان: إذا كانت مجموعة جزئية من أخرى فارسم دائرتها داخل الأخرى، وإذا لم تشترك المجموعتان في شيء فارسم الدائرتين منفصلتين. ومن الطريف أن العالم الإنجليزي فن لم يسمِّها باسمه، بل سمّاها دوائر أويلر.

A Venn diagram is a box with two circles that overlap. The box holds everything, called $E$ . Each circle is one set.

Region	Holds
Left circle only	in A, not in B
Overlap	in both, $A \cap B$
Right circle only	in B, not in A
Outside both circles	in neither

Rule

Every member of $E$ goes in exactly one region. Never write a number twice.

Key idea

Two special drawings. If every member of C is also in A, written $C \subset A$ , draw circle C inside circle A. If two sets share nothing, written $A \cap B = \emptyset$ , draw the circles apart, not overlapping.

Key idea

The English logician John Venn published these overlapping circles in 1880. He never called them Venn diagrams: he called them Eulerian circles, after the older mathematician Euler. The name "Venn diagram" only appeared in 1918.

2. Filling a Venn Diagram From Lists

في هذا السؤال تملأ شكل فن من قوائم أو قواعد. الترتيب مهم: اكتب كل مجموعة كاملة أولًا، ثم املأ التقاطع (الأعداد الموجودة في القائمتين)، ثم باقي كل دائرة بعد حذف أعداد التقاطع، ثم ضع الأعداد المتبقية خارج الدائرتين داخل المستطيل. في النهاية تحقق أن عدد الأعداد في المناطق الأربع يساوي عدد عناصر المجموعة الشاملة، فلا ينقص عدد ولا يتكرر. الخطأ الشائع: كتابة أعداد التقاطع مرة أخرى في منطقة «فقط»، أو نسيان الأعداد التي تقع خارج الدائرتين.

The 3-mark question: you get $E$ , A and B as lists or rules. Fill the overlap first, then the rest of each circle, then the outside.

Worked example

1
$E = {1, 2, \dots, 12}$ — The box. Every number from 1 to 12 must end up in exactly one region.
2
$A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}$ — Write A out in full. The factors of 12 are the numbers that divide 12 exactly.
3
$B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}$ — Write B out in full: the odd numbers from 1 to 12.
4
$A \cap B = {1, 3}$ — Look for numbers in both lists. 1 and 3 are in both, so they go in the overlap first.
5
$A only = {2, 4, 6, 12}$ — Take 1 and 3 out of A. The numbers left are in A but not in B.
6
$B only = {5, 7, 9, 11}$ — Take 1 and 3 out of B. The numbers left are in B but not in A.
7
$outside = {8, 10}$ — Cross off every number used so far. 8 and 10 are in neither list, so they go inside the box but outside both circles.
8
$4 + 2 + 4 + 2 = 12$ — Check: A only, overlap, B only and outside hold 12 numbers, the same as the box. None is missing or written twice.

Common mistake

Writing 1 and 3 in the overlap and again in A only. Each number goes in one place. And do not forget 8 and 10 outside the circles.

3. Filling From Set Notation

أحيانًا يعطيك السؤال المجموعات برموز مثل التقاطع والمكمّلة بدل القواعد. حوّل كل رمز إلى كلمات، ثم املأ المناطق التي يشير إليها. ابدأ بالتقاطع فأعداده تذهب مباشرة إلى المنطقة المشتركة. مكمّلة الأولى تعني «ليس في الأولى»، فكل عدد فيها إما في الثانية فقط أو خارج الدائرتين، والعكس لمكمّلة الثانية. الأعداد الموجودة في المكمّلتين معًا ليست في أي مجموعة، فتذهب خارج الدائرتين، وما يتبقى من كل مكمّلة يذهب إلى منطقة «فقط» المناسبة. وتحقق في النهاية أن كل أعداد المستطيل استُعملت مرة واحدة. الخطأ الشائع: وضع كل أعداد مكمّلة الأولى داخل دائرة الثانية، مع أن بعضها خارج الدائرتين.

Some questions give the sets in symbols, like $A \cap B$ and $A^{'}$ , instead of rules. Turn each symbol into words, then fill the regions it points to.

Say $E = {1, 2, \dots, 10}$ , $A \cap B = {4, 8}$ , $A^{'} = {1, 3, 5, 7, 9, 10}$ and $B^{'} = {1, 2, 6, 7, 10}$ .

Worked example

1
$A \cap B = {4, 8}$ — These are in A and in B, so 4 and 8 go straight in the overlap.
2
$A^{'} = {1, 3, 5, 7, 9, 10}$ — These are not in A. So each one is either in B only or outside both circles.
3
$B^{'} = {1, 2, 6, 7, 10}$ — These are not in B. So each one is either in A only or outside both circles.
4
$A^{'} \cap B^{'} = {1, 7, 10}$ — 1, 7 and 10 are in both lists, so they are in neither set. They go outside the circles.
5
$B only = {3, 5, 9}$ — The rest of A′ is not in A and not outside, so 3, 5 and 9 must be in B only.
6
$A only = {2, 6}$ — The rest of B′ is not in B and not outside, so 2 and 6 must be in A only.
7
$2 + 2 + 3 + 3 = 10$ — Check: A only, overlap, B only and outside use all 10 numbers in the box, each once.

Common mistake

Putting every number of A′ into circle B. A′ also holds the numbers outside both circles, so find those first.

Key idea

If you are given $A \cup B$ instead, the numbers of $E$ missing from it are the ones outside both circles.

4. Reading Members From a Venn Diagram

هذا السؤال يطلب كتابة عناصر مجموعة من شكل فن جاهز. حدد أولًا المناطق التي تغطيها المجموعة المطلوبة، ثم اقرأ الأعداد الموجودة فيها. الاتحاد هو الدائرتان كاملتان، ومكمّلة الاتحاد هي ما خارج الدائرتين، ومكمّلة الثانية هي منطقة الأولى فقط مع ما خارج الدائرتين، وتقاطع الأولى مع مكمّلة الثانية هو الأولى فقط. الخطأ الشائع: في المكمّلة تنسى الأعداد الموجودة خارج الدائرتين. ولشرح أن تقاطع مجموعتين خالٍ قل: لا يوجد عدد في المجموعتين معًا.

The 1-mark question: list the members of a set. Work out which regions it covers, then read the numbers in them. These use the diagram from Filling a Venn Diagram From Lists: A is the factors of 12, B is the odd numbers, and the box is 1 to 12.

Steps

1
$A \cup B$ : both circles: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 12
2
$(A \cup B)^{'}$ : outside both: 8, 10
3
$B^{'}$ : A only and outside: 2, 4, 6, 8, 10, 12
4
$A \cap B^{'}$ : A only: 2, 4, 6, 12

Common mistake

For $B^{'}$ you need everything not in B. That includes the numbers outside both circles, not just A only.

Key idea

"Explain why $A \cap C = \emptyset$ ": say no number is in both A and C, so the circles share nothing.

5. Shading a Region

في سؤال التظليل، شكل الدائرتين فيه أربع مناطق. اختبر كل منطقة: هل تحقق الرموز أم لا؟ ثم ظلل مناطق «نعم» فقط. تذكّر: التقاطع يعني «و»، والاتحاد يعني «أو»، والشرطة تعني «ليس». إذا كان هناك قوس فابدأ بما داخله، ثم طبّق الشرطة التي خارجه، فمكمّلة التقاطع مثلًا هي كل المناطق ما عدا المنطقة المشتركة. وفي الاتحاد تظلل كل منطقة موجودة في أي من القائمتين. الخطأ الشائع: الخلط بين «و» و«أو»؛ في الاتحاد ظلل كل ما في القائمتين وليس المشترك فقط. ونفس الطريقة تصلح لثلاث دوائر لكن بثماني مناطق.

The 1-mark shading question. A two-circle diagram has four regions: A only, the overlap, B only and outside. Test each one: does it fit the symbols? Shade only the yes regions.

Memory trick

$\cap$ means and, $\cup$ means or, and a dash ′ means not.

1. Shade $(A \cap B)^{'}$

Worked example

1
$A \cap B = overlap$ — Do the bracket first. In A and in B is the overlap.
2
$(A \cap B)^{'} = not the overlap$ — The dash outside the bracket means not. So you want every region except the overlap.
3
$shade A only, B only, outside$ — Three regions fit. Shade them and leave only the overlap white.

2. Shade $A^{'} \cup B$

Worked example

1
$A^{'} = B only + outside$ — A′ means not in A. That is B only and the part outside both circles.
2
$B = B only + overlap$ — B is the whole of circle B: B only and the overlap.
3
$A^{'} \cup B = either list$ — ∪ means or, so a region fits if it is in either list. Count each region once.
4
$shade overlap, B only, outside$ — Only A only is left white, because it is in A and not in B.

Common mistake

Shading only where the two lists share regions. That is ∩ (and). For ∪ (or), shade every region in either list.

Key idea

The same yes-or-no test works with three circles. There are 8 regions to test instead of 4.

6. Naming a Shaded Region

هذا هو السؤال العكسي: منطقة مظللة وعليك كتابتها بالرموز. قلها بالكلمات أولًا، ثم حوّل كل كلمة إلى رمز. داخل دائرة يعني «في المجموعة»، وخارجها يعني المكمّلة بالشرطة، وإذا تحقق الشرطان معًا فاربطهما بالتقاطع. الجدول يعطيك أشهر المناطق. الخطأ الشائع: الخلط بين مكمّلة التقاطع (كل شيء ما عدا المنطقة المشتركة) ومكمّلة الاتحاد (ما خارج الدائرتين). وسؤال «صف بالكلمات» هو نفس الطريقة لكن بالعكس: تحوّل الرموز إلى كلمات.

The reverse question: a region is already shaded, and you write it in symbols. Say it in words first, then turn each word into a symbol.

Shaded	In symbols
the overlap	$A \cap B$
both whole circles	$A \cup B$
A only	$A \cap B^{'}$
B only	$A^{'} \cap B$
outside both circles	$(A \cup B)^{'}$
everything except the overlap	$(A \cap B)^{'}$
everything outside circle A	$A^{'}$

Worked example

1
$shaded: A only$ — The question. The shaded part is inside circle A but does not touch circle B.
2
$in A$ — It is inside circle A, so one fact is in A.
3
$not in B \to B^{'}$ — It is outside circle B, so the other fact is not in B, written B′.
4
$A \cap B^{'}$ — Both facts are true at once. And is ∩, so the answer is A ∩ B′.

Common mistake

Writing $(A \cap B)^{'}$ for the part outside both circles. $(A \cap B)^{'}$ is everything except the overlap. Outside both is $(A \cup B)^{'}$ .

Key idea

“Describe in words” works the same way, backwards. If B is the even numbers and C the multiples of 5, then $B^{'} \cap C$ is not even and a multiple of 5: the odd multiples of 5.

7. Numbers in the Regions

في سؤال العد تُعطى أعدادًا كلية وليس قوائم. ضع عدد المشتركين في المنطقة الوسطى أولًا، ثم اطرحه من العدد الكلي لكل مجموعة لتحصل على منطقة «فقط». ثم اجمع المناطق الثلاث داخل الدائرتين، واطرح الناتج من العدد الكلي لتعرف عدد من هم خارج الدائرتين. بعد ذلك أي سؤال عن عدد عناصر مجموعة هو مجرد جمع للمناطق المناسبة. الخطأ الشائع: كتابة العدد الكلي للمجموعة في منطقة «فقط». نصيحة: اكتب كل عملية طرح بجانب الشكل لتأخذ درجة الخطوات، ولا يمكن أن تكون أي منطقة سالبة.

The 3-mark counting question: you get totals, not lists. Put the number in both in the middle first, then take it away from each total.

Worked example

1
$40 students: 23 swim, 18 run, 9 both$ — The question. The 23 and the 18 both include the 9 who do both sports.
2
$both = 9$ — Write 9 in the overlap first, because it is part of both totals.
3
$swim only = 23 - 9 = 14$ — Take the 9 who also run away from the 23 swimmers. 14 swim but do not run.
4
$run only = 18 - 9 = 9$ — Do the same for running: 18 runners take away the 9 in the overlap leaves 9.
5
$14 + 9 + 9 = 32$ — Add the three regions inside the circles. 32 students do at least one sport.
6
$neither = 40 - 32 = 8$ — Everyone else is in neither circle, so 8 go outside.

Now any $n (\dots)$ question is adding regions. For example, $n (S^{'}) = 9 + 8 = 17$ and $n (S \cup R) = 14 + 9 + 9 = 32$ .

Common mistake

Writing 23 in swim only. The 23 includes the 9 who do both, so swim only is 14.

Key idea

Write each subtraction next to the diagram. If one region ends up wrong, your working can still earn a mark. No region can be negative: if you get one, check which total includes the overlap.

8. Shortcut: The n(A ∪ B) Formula

هذا القانون أسرع طريق عندما يعطيك السؤال عدد الاتحاد أو عدد من ليسوا في أي مجموعة: عدد الاتحاد يساوي عدد الأولى زائد عدد الثانية ناقص عدد التقاطع. نطرح التقاطع مرة واحدة لأن جمع المجموعتين يحسبه مرتين. في المثال: نطرح من هم خارج الدائرتين من الكلي لنجد الاتحاد، ثم نعوّض في القانون، ونجمع المجموعتين، فالفرق بين المجموع والاتحاد هو عدد المشتركين. بعدها نطرح المشترك من كل مجموعة لنملأ منطقتي «فقط»، ونتحقق أن المناطق الأربع مجموعها يساوي الكلي. الخطأ الشائع: وضع العدد الكلي مكان الاتحاد في القانون.

Textbooks print one formula that links the totals. It is the quickest route when the question gives $n (A \cup B)$ or the number in neither.

Formula

n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)

$n (A)$ is how many are in A, $n (B)$ how many are in B, $n (A \cap B)$ how many are in both, and $n (A \cup B)$ how many are in A or B or both. You take the overlap away once because adding n(A) and n(B) counts it twice.

Worked example

1
$n (E) = 50, n (A) = 28, n (B) = 19$ — The question, and 9 are in neither set. We need the overlap before we can fill anything.
2
$n (A \cup B) = 50 - 9 = 41$ — Everyone who is not outside the circles is in A or B or both, so 41.
3
$41 = 28 + 19 - n (A \cap B)$ — Put the three numbers you know into the formula.
4
$41 = 47 - n (A \cap B)$ — Add the two totals first: 28 + 19 = 47.
5
$n (A \cap B) = 47 - 41 = 6$ — 47 is 6 more than 41, because 6 people were counted twice. They are in both.
6
$A only = 28 - 6 = 22$ — Take the overlap away from A's total.
7
$B only = 19 - 6 = 13$ — Take the overlap away from B's total.
8
$22 + 6 + 13 + 9 = 50$ — Check: the four regions add up to the 50 in the box.

Common mistake

Putting 50 into the formula as $n (A \cup B)$ . The 9 outside the circles are not in A or B, so $n (A \cup B)$ is 41.

9. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة دليل لاختيار الطريقة: انظر ماذا يعطيك السؤال وماذا يريد. مع القوائم أو القواعد: املأ التقاطع أولًا ثم كل دائرة ثم الخارج. مع الأعداد الكلية والمشترك: المشترك أولًا ثم اطرحه من كل مجموعة. لكتابة عناصر مجموعة: حدد مناطقها واقرأ أعدادها، ولعدد العناصر: اجمع أعداد مناطقها. مع المجموعات المعطاة بالرموز: التقاطع أولًا ثم ما تتركه كل قائمة. للتظليل: اختبر كل منطقة بنعم أو لا، ولتسمية منطقة مظللة: قلها بالكلمات ثم بالرموز. ومع عدد الاتحاد استخدم القانون. وفي النهاية تحقق أن المناطق الأربع مجموعها يساوي الكلي.

Look at what the question gives you and what it wants.

You see	You do
Lists or rules for A and B	overlap first, then each circle, then outside
Totals and a number in both	overlap first, take it from each total
List the members of a set	find its regions, read the numbers
Find n( ) from a diagram	add the numbers in its regions
Sets given in symbols, like $A^{'} = {\dots}$	overlap first, then what each list leaves out
Shade a set, like $(A \cap B)^{'}$	test each region: yes or no
Name a shaded region	say it in words, then in symbols
$n (A \cup B)$ or the number in neither	$n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B)$
An unknown x in the regions	Set Problems
Three circles	Three-Set Venn Diagrams
What does a symbol mean?	Set Notation

Key idea

Check at the end: the numbers in all four regions must add up to the total in the box.

تدرّب على مخططات فن

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح مخططات فن

1. What a Venn Diagram Shows

2. Filling a Venn Diagram From Lists

3. Filling From Set Notation

4. Reading Members From a Venn Diagram

5. Shading a Region

6. Naming a Shaded Region

7. Numbers in the Regions

8. Shortcut: The n(A ∪ B) Formula

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على مخططات فن

أسئلة امتحانات سابقة على مخططات فن، محلولة ومشروحة بالعربي