شرح الزاوية في نصف الدائرة

Angle in a Semicircle

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Right Angle on a Diameter

خذ قطرًا في الدائرة، واختر أي نقطة على الدائرة وصلها بطرفي القطر. القاعدة: الزاوية عند هذه النقطة قائمة دائمًا، والسبب الذي تكتبه: الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. وهي في الحقيقة قاعدة الزاوية المركزية نفسها: القطر يصنع زاوية مستقيمة عند المركز، ونصفها زاوية قائمة. وتُعرف هذه الحقيقة بنظرية طاليس نسبةً إلى المفكر اليوناني طاليس.

Take a diameter AB. Pick any point C on the circle and join it to A and to B.

Rule

The angle at C is always $9 0^{\circ}$ . Reason: angle in a semicircle is 90°.

Key idea

It is the angle at the centre rule in disguise: the diameter makes $18 0^{\circ}$ at O, and half of that is $9 0^{\circ}$ .

Key idea

This fact is often called Thales' theorem, after Thales of Miletus, a Greek thinker who lived around 600 BC. Later Greek writers said he was the first to prove it, though historians cannot be completely sure.

2. Find the Angle

السؤال المعتاد يعطيك زاوية ويطلب أخرى مع السبب، والزاوية القائمة على الدائرة تقوم بمعظم العمل. الخطوات: أولًا ضع الزاوية القائمة عند النقطة التي على الدائرة المقابلة للقطر، واكتب عليها السبب. ثانيًا مجموع زوايا المثلث مئة وثمانون، فاطرح الزاويتين المعروفتين. اختصار: الزاويتان عند طرفي القطر مجموعهما تسعون درجة. اكتب السبب كاملًا: الزاوية في نصف دائرة قائمة، ولا يكفي أن تقول إن الضلع قطر. الخطأ الشائع: وضع الزاوية القائمة عند أحد طرفي القطر، وهي دائمًا عند النقطة المقابلة له على الدائرة.

The usual 1- or 2-mark question gives you one angle and asks for another, with a reason. The 90° at C does most of the work.

Worked example

1
$∠ C A B = 3 7^{\circ}$ — The question. AB is a diameter, C is on the circle, and the angle at A is given.
2
$∠ A C B = 9 0^{\circ}$ — C sits on the circle and looks at the diameter, so angle in a semicircle is 90°. Mark it on the diagram.
3
$∠ A B C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 3 7^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°, so take away the two angles you know.
4
$∠ A B C = 5 3^{\circ}$ — 180 − 90 = 90, then 90 − 37 = 53. Check: 37 + 90 + 53 = 180.

Key idea

Shortcut: the two angles at A and B always add up to $9 0^{\circ}$ . So the answer is just $9 0^{\circ} - 3 7^{\circ}$ .

Key idea

Write the reason in full: “angle in a semicircle is 90°”. Just writing “AB is a diameter” does not name the rule. Marking 90° at C on the diagram can already earn a mark for working.

Common mistake

Putting the right angle at A or B. It is always at the point on the circle, opposite the diameter.

3. Radii Make Isosceles Triangles

كثيرًا ما يُرسم نصف قطر من المركز إلى نقطة على الدائرة، وبما أن أنصاف الأقطار متساوية تظهر مثلثات متساوية الساقين. الخطوات: أولًا الضلعان نصفا قطر، فالمثلث الأول متساوي الساقين وزاويتا قاعدته متساويتان. ثانيًا الزاوية عند النقطة على الدائرة قائمة لأنها في نصف دائرة. ثالثًا نصف القطر المرسوم يقسم هذه الزاوية القائمة إلى جزأين، فاطرح الجزء المعروف من تسعين. رابعًا المثلث الثاني أيضًا متساوي الساقين، فزاويتا قاعدته متساويتان. تحقق بمجموع زوايا المثلث الكبير، واكتب سببًا لكل زاوية.

Exams often draw a radius from the centre O to the point on the circle. Every radius is the same length, so you get isosceles triangles.

Worked example

1
$∠ B A O = 5 8^{\circ}$ — The question. AC is a diameter, O is the centre, B is on the circle and OB is drawn. Find angle OBA and angle OCB.
2
$O A = O B$ — Both are radii of the same circle, so triangle OAB is isosceles.
3
$∠ O B A = 5 8^{\circ}$ — In an isosceles triangle the two base angles are equal.
4
$∠ A B C = 9 0^{\circ}$ — Angle in a semicircle is 90°, because AC is a diameter.
5
$∠ O B C = 9 0^{\circ} - 5 8^{\circ} = 3 2^{\circ}$ — Angle ABC is split by OB into two parts, so take the 58° away from the 90°.
6
$O B = O C, so ∠ O C B = 3 2^{\circ}$ — Radii again, so triangle OBC is isosceles too. Its base angles are equal.

Key idea

Check with the big triangle ABC: $5 8^{\circ} + 9 0^{\circ} + 3 2^{\circ} = 18 0^{\circ}$ . Give a reason for each angle: “base angles of an isosceles triangle” and “angle in a semicircle”.

4. Lengths in a Semicircle

الزاوية القائمة على الدائرة تعطيك مثلثًا قائم الزاوية، والقطر يقابل الزاوية القائمة فهو الوتر، أطول ضلع. الخطوات: أولًا اكتب نظرية فيثاغورس مع وضع القطر وحده في جهة. ثانيًا لأنك تبحث عن ضلع أقصر، اطرح المربع الأصغر من المربع الأكبر. ثالثًا ربّع الأعداد أولًا ثم خذ الجذر التربيعي، والطول دائمًا موجب. بعدها يمكنك إيجاد المساحة لأن الضلعين القصيرين هما القاعدة والارتفاع. الخطأ الشائع: جمع المربعات مع أن القطر معلوم؛ القطر هو الأطول، فاطرح.

The right angle at C gives a right-angled triangle. The diameter is opposite the right angle, so it is the longest side, the hypotenuse.

Worked example

1
$A B = 13 cm, A C = 5 cm$ — The question. AB is the diameter, and we want the third side BC.
2
$A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ — Angle ACB is 90°, so use Pythagoras. The diameter is the hypotenuse, so it goes on its own.
3
$B C^{2} = 13^{2} - 5^{2}$ — We want a shorter side, so subtract the smaller square from the bigger one.
4
$B C^{2} = 169 - 25 = 144$ — Square each number first: 13² = 169 and 5² = 25.
5
$B C = 144 = 12 cm$ — Square root to undo the square. A length is always positive.
6
$Area = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30 cm^{2}$ — The two shorter sides meet at the right angle, so they are the base and the height.

Common mistake

Adding the squares when the diameter is known. The diameter is the longest side, so subtract.

5. Find the Diameter or Radius

أحيانًا تعرف الضلعين القصيرين وتريد القطر أو نصف القطر، وهنا تجمع المربعات. الخطوات: أولًا الزاوية على الدائرة قائمة، فالقطر هو الوتر في المثلث. ثانيًا ربّع الضلعين واجمعهما. ثالثًا خذ الجذر التربيعي فتحصل على القطر. رابعًا نصف القطر هو نصف القطر الكامل، لأن المركز منتصف القطر. الخطأ الشائع: التوقف عند القطر بينما السؤال يطلب نصف القطر؛ اقرأ آخر كلمة في السؤال مرة أخرى.

Sometimes you know the two shorter sides and must find the diameter, or the radius. This time you add the squares.

Worked example

1
$A C = 7 cm, B C = 24 cm$ — The question. AB is a diameter. Find the radius of the circle.
2
$A B^{2} = 7^{2} + 2 4^{2}$ — The angle at C is 90°, so the diameter AB is the hypotenuse. To find the hypotenuse, add the squares.
3
$A B^{2} = 49 + 576 = 625$ — Square each number first: 7² = 49 and 24² = 576.
4
$A B = 625 = 25 cm$ — Square root to undo the square. This is the diameter.
5
$r = 25 \div 2 = 12.5 cm$ — The radius is half the diameter, because O is the midpoint of AB.

Common mistake

Stopping at 25 cm when the question asks for the radius. Read the last word of the question again.

6. Find an Angle With Trigonometry

إذا طُلبت زاوية وأُعطيت ضلعين، فاستخدم حساب المثلثات في المثلث القائم. إذا كان الضلعان هما القصيرين فاستخدم الظل: الظل يساوي المقابل مقسومًا على المجاور. المقابل هو الضلع المواجه للزاوية، والمجاور هو الضلع القصير الملاصق لها، والوتر (القطر) لا يُستخدم هنا. الخطوات: أولًا أثبت أن المثلث قائم لأن الزاوية في نصف دائرة. ثانيًا حدّد المقابل والمجاور من الزاوية المطلوبة واقسم. ثالثًا استخدم معكوس الظل في الآلة الحاسبة لتحويل النسبة إلى زاوية، ثم قرّب لمنزلة عشرية واحدة. وإذا كان لديك القطر وضلع واحد فاستخدم الجيب أو جيب التمام.

If the question asks for an angle and gives you two sides, use trigonometry in the right-angled triangle. For two shorter sides, use tan:

Formula

tan θ = \frac{opposite}{adjacent}

$θ$ is the angle you want. “Opposite” is the side facing it. “Adjacent” is the shorter side next to it. The hypotenuse (the diameter) is not used here.

Worked example

1
$A C = 12 cm, B C = 9 cm$ — The question. AB is a diameter. Find angle CAB.
2
$∠ A C B = 9 0^{\circ}$ — Angle in a semicircle is 90°, so triangle ABC is right-angled at C.
3
$tan (∠ C A B) = \frac{9}{12}$ — From A, BC is opposite and AC is adjacent, so use tan.
4
$∠ C A B = tan^{- 1} (0.75)$ — 9 ÷ 12 = 0.75. Use inverse tan on your calculator to turn the ratio into an angle.
5
$∠ C A B = 36. 9^{\circ}$ — 36.869…°, rounded to 1 decimal place.

Key idea

If you have the diameter and one side, use sin or cos instead, because the diameter is the hypotenuse.

7. Spot the Diameter (Extended)

القاعدة تعمل بالعكس أيضًا: إذا كانت الزاوية عند نقطة على الدائرة قائمة، فالضلع المقابل لها قطر. لذلك قد يسألك الامتحان: أي ضلع هو القطر؟ أو أين المركز؟ الخطوات: أولًا أوجد الزاوية الثالثة في المثلث لأن مجموع الزوايا مئة وثمانون. ثانيًا إذا كانت قائمة، فالضلع المقابل لها هو القطر. ثالثًا المركز هو منتصف هذا القطر، لأن كل قطر يمر بالمركز. والنتيجة العامة: الدائرة المارة برؤوس أي مثلث قائم يكون وتر المثلث قطرًا لها.

The rule works backwards too: if the angle at a point on the circle is 90°, the side opposite it is a diameter. Exams use this to ask “which line is a diameter?” or “where is the centre?”.

Worked example

1
$∠ P = 3 4^{\circ}, ∠ Q = 5 6^{\circ}$ — The question. P, Q and R are on a circle. Which side of triangle PQR is a diameter?
2
$∠ R = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ} - 5 6^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°.
3
$∠ R = 9 0^{\circ}$ — 180 − 34 = 146, then 146 − 56 = 90.
4
$P Q is a diameter$ — The 90° is at R, so the side opposite R, PQ, is the diameter.
5
$centre = midpoint of P Q$ — Every diameter passes through the centre, and the centre is halfway along it.

Key idea

So for any right-angled triangle, the circle through its three corners has the hypotenuse as its diameter.

8. Which Method? Read the Question

ابحث عن خط يمر بالمركز وطرفاه على الدائرة، فهذا قطر. إذا رأيت قطرًا وزاوية على الدائرة فهي قائمة. قطر وزاوية أخرى: الزاوية القائمة ثم مجموع زوايا المثلث. قطر وضلع: نظرية فيثاغورس، وإذا عُرف الضلعان القصيران فاجمع المربعات ثم اقسم على اثنين لنصف القطر. ضلعان وتريد زاوية: الزاوية القائمة ثم الظل أو الجيب أو جيب التمام. نصف قطر مرسوم: مثلث متساوي الساقين. زاوية قائمة على الدائرة: الضلع المقابل قطر. إذا رأيت خطًا يمر بالمركز فضع الزاوية القائمة فورًا.

Look for a line through the centre with both ends on the circle.

You see	You do
AB is a diameter, angle at C	it is 90°
Diameter and one more angle	90°, then angles in a triangle
Diameter and one side	Pythagoras' Theorem
Diameter and the two shorter sides	Pythagoras: add the squares, then halve for the radius
Two sides, want an angle	90° at C, then tan, sin or cos
A radius drawn to the circle	Isosceles triangle: equal base angles
A 90° angle on the circle	The side opposite it is a diameter
Angle at O, not a diameter	Angle at the Centre
Diameter plus other facts	Combining Circle Theorems

Key idea

If the question says O is the centre and a line passes through O, mark the $9 0^{\circ}$ at once.

تدرّب على الزاوية في نصف الدائرة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الزاوية في نصف الدائرة

1. The Right Angle on a Diameter

2. Find the Angle

3. Radii Make Isosceles Triangles

4. Lengths in a Semicircle

5. Find the Diameter or Radius

6. Find an Angle With Trigonometry

7. Spot the Diameter (Extended)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الزاوية في نصف الدائرة

أسئلة امتحانات سابقة على الزاوية في نصف الدائرة، محلولة ومشروحة بالعربي