شرح الزاوية عند المركز

Angle at the Centre

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Centre and Circumference

خذ نقطتين على الدائرة وصلهما بالمركز، فتحصل على الزاوية المركزية. وصلهما بنقطة ثالثة على الدائرة، فتحصل على الزاوية المحيطية. القاعدة: الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية، بشرط أن تقف الزاويتان على القوس نفسه. اكتب السبب بالكلمات الدقيقة التي يبحث عنها نموذج التصحيح، ويُقبل أيضًا قولها بالعكس: الزاوية المحيطية نصف الزاوية المركزية. وقد يبدو الرسم مختلفًا، كشكل رأس السهم أو المركز خارج المثلث، لكن القاعدة تبقى صحيحة ما دامت الزاويتان على القوس نفسه.

Pick two points A and B on a circle. Join them to the centre O: that makes the angle at the centre.

Join A and B to another point C on the circle: that makes the angle at the circumference.

Rule

The angle at the centre is twice the angle at the circumference. Both angles must stand on the same arc AB.

Key idea

Write the reason in these exact words: "angle at the centre is twice the angle at the circumference". The mark scheme looks for them. Saying it the other way round also scores: "the angle at the circumference is half the angle at the centre".

Key idea

The diagram can look different. The lines may cross to make an arrowhead shape, or O may sit outside triangle ABC. The rule still works, as long as both angles stand on the same arc AB.

2. Double It, or Halve It

في سؤال الدرجتين: درجة للزاوية ودرجة للسبب. إذا أُعطيت الزاوية المحيطية وطُلبت المركزية فاضربها في اثنين، لأن الزاوية المركزية ضعف المحيطية على القوس نفسه. وإذا أُعطيت المركزية وطُلبت المحيطية فاقسمها على اثنين. في كل مرة تأكد أولًا أن الزاويتين تقفان على القوس نفسه، ثم احسب، ثم اكتب السبب بجانب الجواب لتأخذ الدرجة الثانية. الخطأ الشائع: القسمة بدل الضرب؛ تذكّر: من المحيط إلى المركز ضاعف، ومن المركز إلى المحيط اقسم على اثنين.

The 2-mark question: work out one angle, then give the reason. One mark for the angle, one for the reason.

Double it. A, B and C are on a circle, centre O. $∠ A C B = 3 1^{\circ}$ . Find angle AOB.

Worked example

1
$∠ A C B = 3 1^{\circ}$ — Given. C is on the circle, so this is the angle at the circumference. It stands on arc AB.
2
$∠ A O B = 2 \times 3 1^{\circ}$ — O is the centre, and its angle stands on the same arc AB. The angle at the centre is twice the angle at the circumference, so double it.
3
$∠ A O B = 6 2^{\circ}$ — 2 × 31 = 62. Write the reason next to it to earn the second mark.

Halve it. $∠ A O B = 14 0^{\circ}$ . Find angle ACB.

Worked example

1
$∠ A O B = 14 0^{\circ}$ — Given. This is the angle at the centre, standing on arc AB.
2
$∠ A C B = 14 0^{\circ} \div 2$ — C stands on the same arc AB. The angle at the circumference is half the angle at the centre, so halve it.
3
$∠ A C B = 7 0^{\circ}$ — 140 ÷ 2 = 70. Then write the reason.

Rule

Reason: angle at the centre is twice the angle at the circumference.

Common mistake

Halving when you should double. Start at the circumference: double. Start at the centre: halve.

3. The Reflex Angle at the Centre

قد يطلب السؤال الزاوية المنعكسة عند المركز، وهي الزاوية الأكبر من مئة وثمانين درجة، أي الجزء الخارجي من الزاوية. الخطوات: أولًا ضاعف الزاوية المحيطية لتجد الزاوية المركزية الصغيرة. ثانيًا اطرحها من ثلاثمئة وستين، لأن الزوايا حول نقطة مجموعها ثلاثمئة وستون. ثالثًا تأكد أن الناتج أكبر من مئة وثمانين. الخطأ الشائع: التوقف عند الزاوية الصغيرة ونسيان أن السؤال طلب الزاوية المنعكسة.

The 2-mark question may ask for the reflex angle at O. A reflex angle is bigger than 180°: it is the outside of the angle.

Worked example

1
$∠ A C B = 4 8^{\circ}$ — Given. C is on the circle, so this is the angle at the circumference, standing on arc AB.
2
$∠ A O B = 2 \times 4 8^{\circ} = 9 6^{\circ}$ — Angle at the centre is twice the angle at the circumference. This is the small angle at O, under 180°.
3
$reflex ∠ A O B = 36 0^{\circ} - 9 6^{\circ}$ — The reflex angle is the rest of the full turn round O. Angles at a point add up to 360°.
4
$reflex ∠ A O B = 26 4^{\circ}$ — 360 − 96 = 264. It is more than 180°, so it is reflex, as the question asked.

Common mistake

Stopping at $9 6^{\circ}$ . The question asked for the reflex angle, so take it away from $36 0^{\circ}$ .

4. An Obtuse Angle on the Circle

إذا كانت الزاوية المحيطية منفرجة، أي أكبر من تسعين درجة، فهي تقف على القوس الكبير، وزاويتها المركزية هي الزاوية المنعكسة عند المركز. الخطوات: أولًا ضاعف الزاوية المحيطية فتحصل على الزاوية المنعكسة. ثانيًا اطرحها من ثلاثمئة وستين لتجد الزاوية الأصغر من مئة وثمانين المطلوبة. الخطأ الشائع: إعطاء الزاوية المنعكسة على أنها الجواب. وللتحقق: خذ نقطة على القوس الكبير، فتكون الزاوية عندها مكمّلة للزاوية المنفرجة لأنهما متقابلتان في شكل رباعي دائري، وضعفها يعطي الجواب نفسه.

If the angle on the circle is more than 90°, it stands on the big arc. Its angle at the centre is then the reflex angle at O.

P, Q and R are on a circle, centre O. $∠ P QR = 11 8^{\circ}$ . Find angle POR, the one less than 180°.

Worked example

1
$∠ P QR = 11 8^{\circ}$ — Given. It is more than 90°, so Q sits on the small arc and the angle stands on the big arc PR.
2
$reflex ∠ P O R = 2 \times 11 8^{\circ}$ — The angle at O on the same big arc is the reflex one. Angle at the centre is twice the angle at the circumference.
3
$reflex ∠ P O R = 23 6^{\circ}$ — 2 × 118 = 236. It is more than 180°, as a reflex angle must be.
4
$∠ P O R = 36 0^{\circ} - 23 6^{\circ}$ — The question wants the other angle at O. Angles at a point add up to 360°.
5
$∠ P O R = 12 4^{\circ}$ — 360 − 236 = 124. It is less than 180°, so it is the angle asked for.

Common mistake

Giving 236° as angle POR. That is the reflex angle. Take it away from 360° when the question wants the angle under 180°.

Key idea

Check another way: pick a point S on the big arc. Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°, so $∠ P S R = 18 0^{\circ} - 11 8^{\circ} = 6 2^{\circ}$ , and $2 \times 6 2^{\circ} = 12 4^{\circ}$ . Same answer.

5. Radii First, Then Halve

أحيانًا تُعطى الزاوية بين نصف قطر ووتر، لا الزاوية المحيطية. نصفا القطر متساويان، فالمثلث الذي يصنعانه مع الوتر متساوي الساقين، فابدأ به. الخطوات: أولًا زاويتا القاعدة متساويتان. ثانيًا اطرحهما من مئة وثمانين لتجد الزاوية المركزية. ثالثًا اقسم الزاوية المركزية على اثنين لتجد الزاوية المحيطية على القوس نفسه. اكتب الزاوية المركزية على الرسم، فهذا السطر وحده قد يأخذ درجة. الخطأ الشائع: القول إن المثلث متساوي الساقين لأنه يبدو كذلك؛ السبب الصحيح أن الضلعين نصفا قطر.

Sometimes the angle you are given is where a radius meets a chord, not an angle at C. Two radii make an isosceles triangle, so use that first, then halve.

A, B and C are on a circle, centre O. C and O are on the same side of AB. $∠ O A B = 3 4^{\circ}$ . Find angle ACB.

Worked example

1
$∠ O A B = 3 4^{\circ}$ — Given. OA and OB are both radii, so triangle OAB is isosceles.
2
$∠ O B A = 3 4^{\circ}$ — Base angles of an isosceles triangle are equal. They sit opposite the equal sides OA and OB.
3
$∠ A O B = 18 0^{\circ} - 3 4^{\circ} - 3 4^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°. This finds the angle at the centre.
4
$∠ A O B = 11 2^{\circ}$ — 180 − 68 = 112.
5
$∠ A C B = 11 2^{\circ} \div 2$ — C stands on the same arc AB. Angle at the centre is twice the angle at the circumference, so halve it.
6
$∠ A C B = 5 6^{\circ}$ — 112 ÷ 2 = 56.

Key idea

Write $∠ A O B = 11 2^{\circ}$ on the diagram. In a 2-mark question that line earns a mark on its own, even if the last step slips.

Common mistake

Saying the base angles are equal "because it looks isosceles". Give the real reason: OA and OB are radii, so they are equal.

6. Which Method? Read the Question

انظر أين تقع الزاوية: عند المركز أم على الدائرة. إذا عُرفت الزاوية المركزية وطُلبت المحيطية فاقسم على اثنين، وفي العكس اضرب في اثنين. للزاوية المنعكسة عند المركز اطرح من ثلاثمئة وستين ثم ضاعف أو اقسم. إذا كانت الزاوية المحيطية أكبر من تسعين فضعفها هو الزاوية المنعكسة عند المركز. إذا كانت الزاوية بين نصف قطر ووتر فاستخدم المثلث متساوي الساقين أولًا ثم اقسم. وتحقق دائمًا أن الزاويتين تبدآن من النقطتين نفسيهما على الدائرة، وإلا فلا تنطبق قاعدة الضعف.

Look at where the angle sits: at O, or on the circle.

You see	You do
Angle at O, find the edge angle	halve it
Edge angle, find the angle at O	double it
Reflex angle at O	360° take away, then halve or double
Edge angle over 90°	double it: that is the reflex angle at O
Angle where a radius meets a chord	isosceles first, then halve
O and two radii, find a base angle	Combining Circle Theorems
Two edge angles on the same arc	Angles in the Same Segment
One side is a diameter	Angle in a Semicircle

Key idea

Check both angles start from the same two points A and B. If not, the doubling rule does not apply.

تدرّب على الزاوية عند المركز

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الزاوية عند المركز

1. Centre and Circumference

2. Double It, or Halve It

3. The Reflex Angle at the Centre

4. An Obtuse Angle on the Circle

5. Radii First, Then Halve

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الزاوية عند المركز

أسئلة امتحانات سابقة على الزاوية عند المركز، محلولة ومشروحة بالعربي