شرح تحويلات المساحة والحجم

Area and Volume Conversions

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Why the Number Is Squared or Cubed

المتر طوله مئة سنتيمتر، لكن المتر المربع مربع طوله مئة سنتيمتر وعرضه مئة سنتيمتر، فهو يحتوي عددًا أكبر بكثير من السنتيمترات المربعة. لذلك في المساحة نربّع معامل تحويل الطول، وفي الحجم نكعّبه. ثم نضرب عند التحويل إلى وحدة أصغر، ونقسم عند التحويل إلى وحدة أكبر. في المثال: أوجد أولًا معامل الطول بين الوحدتين، ثم ربّعه لأن المطلوب مساحة، ثم اضرب لأن الوحدة الجديدة أصغر. وهذه الطريقة تعمل مع أي وحدتين حتى لو لم تكونا في الجدول. الخطأ الشائع هو استخدام معامل الطول نفسه للمساحة دون تربيعه.

A metre is 100 cm long. A square metre is a square 100 cm long and 100 cm wide, so it holds far more than 100 square centimetres.

Fact	Multiply by
$1 m = 100 cm$	$100$
$1 m^{2} = 10000 cm^{2}$	$10 0^{2}$
$1 m^{3} = 1000000 cm^{3}$	$10 0^{3}$
$1 m^{2} = 1000000 mm^{2}$	$100 0^{2}$
$1 cm^{2} = 100 mm^{2}$	$1 0^{2}$
$1 cm^{3} = 1000 mm^{3}$	$1 0^{3}$
$1 km^{2} = 1000000 m^{2}$	$100 0^{2}$

Rule

Area: square the length factor. Volume: cube it. Then multiply to the smaller unit, divide to the bigger unit.

Textbooks print this as one formula. It works for any pair of units, even ones not in the table.

Formula

area factor = (length factor)^{2} volume factor = (length factor)^{3}

The length factor is how many of the small unit fit along one of the big unit, for example 10 for cm to mm. The area factor and volume factor are what you multiply or divide an area or a volume by.

Worked example

1
$7 cm^{2} \to mm^{2}$ — The question. A millimetre is smaller, so the answer will be a bigger number: multiply.
2
$1 cm = 10 mm$ — Find the length factor from the length facts: 10.
3
$10^{2} = 100$ — It is an area, so square the length factor. The area factor is 100.
4
$7 \times 100 = 700 mm^{2}$ — Multiply by the area factor, because the new unit is smaller.

Worked example

1
$2.5 m^{2} \to mm^{2}$ — A bigger jump, straight from square metres to square millimetres. Again multiply.
2
$1 m = 1000 mm$ — The length factor is 1000, because 1 m = 100 cm = 1000 mm.
3
$1000^{2} = 1000000$ — Square it for area. The area factor is one million.
4
$2.5 \times 1000000 = 2500000 mm^{2}$ — Multiply by one million: move each digit six places left.

Common mistake

Writing 7 cm² = 70 mm². That uses the length factor 10. For area it must be 10² = 100.

2. Area in Square Metres

في هذا السؤال تحسب المساحة من أطوال بالسنتيمتر ثم تكتبها بالمتر المربع. أولًا احسب المساحة بالوحدة المعطاة: الطول في العرض. ثانيًا المتر المربع وحدة أكبر فنقسم، لكن على مربع المئة، أي عشرة آلاف، لا على مئة. وطريقة أسرع: حوّل الأطوال إلى أمتار أولًا ثم اضربها. وتحقق أن الجواب معقول، فالقسمة على مئة تعطي طاولة بحجم فصل دراسي. وللمقارنة بين مساحتين حوّلهما إلى الوحدة نفسها ثم قارن، واكتب خطوات التحويل لأن السؤال يطلب إظهار العمل.

The 2-mark question: work out an area from lengths in cm, then give it in square metres.

A table top is 45 cm by 80 cm. Find its area in square metres.

Worked example

1
$45 \times 80 = 3600 cm^{2}$ — Work out the area in the units you were given: length × width gives 3600 cm².
2
$3600 \div 10000$ — A square metre is bigger, so divide. The area factor is 100² = 10 000, not 100.
3
$= 0.36 m^{2}$ — Move each digit four places right. A table under half a square metre is sensible.

Key idea

Quicker: change the lengths first. $0.45 \times 0.8 = 0.36 m^{2}$ . Same answer.

Common mistake

Dividing by 100. That gives 36 square metres: a table as big as a classroom.

Which is larger? Area P = 42 000 cm². Area Q = 3.9 m². Exams say “show all your working”, so write the conversion down.

Worked example

1
$3.9 \times 10000 = 39000 cm^{2}$ — Put both areas in the same unit. Square cm is smaller, so multiply Q by the area factor 10 000.
2
$42000 cm^{2} > 39000 cm^{2}$ — Now compare the numbers. 42 000 is bigger, so Area P is larger.

Key idea

Tiny areas work the same way. $0.000 006 m^{2} \times 10000 = 0.06 cm^{2}$ : move the digits four places left, and count the zeros carefully.

3. Volume in Cubic Metres

للتحويل بين السنتيمتر المكعب والمتر المكعب نستخدم مكعب المئة، أي مليونًا. المتر المكعب أكبر، فعند التحويل إليه نقسم على مليون، أي نحرّك الأرقام ست خانات إلى اليمين. وعند التحويل من المتر المكعب إلى السنتيمتر المكعب نضرب في مليون، أي نحرّك الأرقام ست خانات إلى اليسار ونملأ الفراغ بالأصفار. الخطأ الشائع هو الضرب في مئة أو في عشرة آلاف؛ المكعب له ثلاثة أبعاد، فنستخدم المئة ثلاث مرات.

The 1 or 2-mark question: change a volume between cubic centimetres and cubic metres. The factor is $10 0^{3} = 1000000$ .

Worked example

1
$3500000 cm^{3} \to m^{3}$ — The question. A cubic metre is bigger than a cubic centimetre, so divide.
2
$3500000 \div 1000000$ — It is a volume, so the factor is the length factor cubed: 100³ = 1 000 000.
3
$= 3.5 m^{3}$ — Move each digit six places right.

Worked example

1
$2.4 m^{3} \to cm^{3}$ — The question. A cubic centimetre is smaller, so multiply.
2
$2.4 \times 1000000$ — Use the same factor, 100³ = 1 000 000, because the units are the same pair.
3
$= 2400000 cm^{3}$ — Move each digit six places left, filling the gaps with zeros.

Common mistake

Multiplying by 100 or 10 000. A cube has three lengths, so use 100 three times.

4. Volume to Litres

العلاقة بين الحجم والسوائل: السنتيمتر المكعب الواحد يتسع لمليلتر واحد، وألف سنتيمتر مكعب تساوي لترًا، والمتر المكعب يتسع لألف لتر. في المثال: احسب حجم الحوض أولًا بضرب الطول في العرض في الارتفاع. ثم الحجم بالسنتيمتر المكعب هو نفسه بالمليلتر، فلا يتغير العدد بل الوحدة فقط. ثم اقسم على ألف لأن اللتر وحدة أكبر. الخطأ الشائع هو ظن أن المتر المكعب يساوي لترًا واحدًا، بينما هو صندوق كبير يتسع لألف لتر.

The link between volume and liquid: one cubic centimetre holds one millilitre.

Volume	Holds
$1 cm^{3}$	1 ml
$1000 cm^{3}$	1 litre
$1 m^{3}$	1000 litres

A fish tank is 50 cm by 40 cm by 30 cm. How many litres does it hold?

Worked example

1
$50 \times 40 \times 30 = 60000 cm^{3}$ — Find the volume first: length × width × height gives 60 000 cm³.
2
$= 60000 ml$ — Each cubic centimetre holds 1 ml, so the number stays the same and only the unit changes.
3
$60000 \div 1000 = 60 litres$ — There are 1000 ml in a litre. A litre is bigger, so divide.

Common mistake

Thinking 1 cubic metre is 1 litre. A cubic metre is a big box: it holds 1000 litres.

5. Which Method? Read the Question

انظر إلى الوحدة التي معك والوحدة التي يطلبها سطر الإجابة. بين السنتيمتر المربع والمتر المربع اضرب أو اقسم على عشرة آلاف، وبين المليمتر المربع والسنتيمتر المربع على مئة، وبين المتر المربع والمليمتر المربع على مليون. وبين السنتيمتر المكعب والمتر المكعب على مليون. للتحويل إلى لترات: السنتيمتر المكعب يساوي مليلترًا، ثم اقسم على ألف. لمقارنة مساحتين حوّلهما إلى وحدة واحدة ثم قارن. وإن لم تكن متأكدًا فحوّل الأطوال أولًا ثم احسب المساحة أو الحجم بالوحدة الجديدة.

Check the unit you have and the unit the answer line wants.

You see	You do
$cm^{2} \leftrightarrow m^{2}$	× or ÷ 10 000
$mm^{2} \leftrightarrow cm^{2}$	× or ÷ 100
$m^{2} \leftrightarrow mm^{2}$	× or ÷ 1 000 000
$cm^{3} \leftrightarrow m^{3}$	× or ÷ 1 000 000
cm³ into litres	cm³ = ml, then ÷ 1000
Which area is larger?	change both to one unit, then compare
Lengths, masses, speeds	Unit Conversions

Key idea

Not sure? Change the lengths first, then work out the area or volume in the new unit.

تدرّب على تحويلات المساحة والحجم

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تحويلات المساحة والحجم

1. Why the Number Is Squared or Cubed

2. Area in Square Metres

3. Volume in Cubic Metres

4. Volume to Litres

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على تحويلات المساحة والحجم

أسئلة امتحانات سابقة على تحويلات المساحة والحجم، محلولة ومشروحة بالعربي