شرح المساحة من الإحداثيات

Area from Coordinates

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Lengths From Coordinates

على الشبكة لا تحتاج إلى مسطرة؛ تحصل على الأطوال بطرح الإحداثيات. إذا كان الضلع أفقيًا (للنقطتين الإحداثي الصادي نفسه) فاطرح الإحداثي السيني الأصغر من الأكبر. وإذا كان رأسيًا (لهما الإحداثي السيني نفسه) فاطرح الإحداثي الصادي الأصغر من الأكبر. أما الضلع المائل فطوله يُحسب بنظرية فيثاغورس. ولحساب المساحة ابحث أولًا عن ضلع يقع على خط من خطوط الشبكة، لأن المساحة تحتاج أطوالًا أفقية أو رأسية.

On a grid, you never need a ruler. Subtract coordinates to get lengths.

Side	Length
Flat (same y)	bigger x minus smaller x
Upright (same x)	bigger y minus smaller y
Sloping	Pythagoras: Length of a Line Segment

Rule

Area needs flat or upright lengths. Look for a side that lies along a grid line first.

2. A Side Along a Grid Line

في سؤال الدرجتين يُطلب منك مساحة مثلث رؤوسه معطاة بالإحداثيات. إذا وقع أحد أضلاعه على خط من خطوط الشبكة فاجعله القاعدة. في المثال لنقطتي القاعدة الإحداثي الصادي نفسه، فنطرح الإحداثي السيني الأصغر من الأكبر لنحصل على طول القاعدة، وانتبه: طرح عدد سالب يعني جمعه. ثم الارتفاع هو المسافة الرأسية من خط القاعدة إلى الرأس الثالث، فنطرح الإحداثيات الصادية. وأخيرًا المساحة تساوي نصف القاعدة في الارتفاع. اكتب خطوة «نصف القاعدة في الارتفاع» بأرقامها قبل الناتج لأنها تأخذ درجة الطريقة. والخطأ الشائع أن تأخذ ضلعًا مائلًا كأنه الارتفاع؛ الارتفاع يجب أن يكون عموديًا على القاعدة.

The 2-mark question: work out the area of triangle ABC. If one side lies along a grid line, use it as the base.

Worked example

1
$A (- 2, 1), B (4, 1), C (1, 6)$ — The question. A and B both have y = 1, so AB lies flat along a grid line. Use it as the base.
2
$base = 4 - (- 2)$ — For a flat side, take the smaller x from the bigger x.
3
$= 4 + 2 = 6$ — Taking away a negative is adding: −(−2) = +2. So the base is 6.
4
$height = 6 - 1 = 5$ — The height goes straight up from the base (y = 1) to C (y = 6). So take the y's: height 5.
5
$area = \frac{1}{2} \times 6 \times 5$ — Area of a triangle is half base times height.
6
$= \frac{1}{2} \times 30 = 15$ — 6 × 5 = 30, and half of 30 is 15. On a centimetre grid the answer is 15 cm².

Key idea

Write $\frac{1}{2} \times 6 \times 5$ before the answer. In a 2-mark question that line earns a mark for working, even if the last sum slips.

Common mistake

Using a sloping side, like AC, as the height. The height must meet the base at a right angle.

3. A Tilted Triangle: Box It

إذا لم يكن أي ضلع من أضلاع المثلث أفقيًا أو رأسيًا، فارسم مستطيلًا يحيط بالمثلث. عرض المستطيل من أصغر إحداثي سيني إلى أكبرها، وارتفاعه من أصغر إحداثي صادي إلى أكبرها، فتحسب مساحته. بقي داخل المستطيل وخارج المثلث ثلاثة مثلثات قائمة في الأركان؛ احسب مساحة كل منها بنصف الأفقي في الرأسي، ثم اجمعها. اطرح مجموع مساحات الأركان من مساحة المستطيل، فالباقي هو مساحة المثلث. والخطأ الشائع نسيان أحد مثلثات الأركان، فظلّلها على الرسم وعُدّها.

No side is flat? Draw a rectangle round the triangle. Then take away the three right-angled triangles in the corners.

Worked example

1
$P (1, 1), Q (6, 3), R (3, 6)$ — The question. No two corners share an x or a y, so no side lies along a grid line.
2
$width = 6 - 1 = 5$ — The box runs from the smallest x (1) to the biggest x (6).
3
$height = 6 - 1 = 5$ — It runs from the smallest y (1) to the biggest y (6).
4
$box = 5 \times 5 = 25$ — The area of the whole box. The triangle is inside it.
5
$\frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5$ — Corner under PQ: across 6 − 1 = 5, up 3 − 1 = 2. It has a right angle, so half of across times up.
6
$\frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5$ — Corner by QR: across 6 − 3 = 3, up 6 − 3 = 3.
7
$\frac{1}{2} \times 2 \times 5 = 5$ — Corner by RP: across 3 − 1 = 2, up 6 − 1 = 5.
8
$5 + 4.5 + 5 = 14.5$ — Add the three corners. They are the parts of the box that are not the triangle.
9
$25 - 14.5 = 10.5$ — Take the corners away from the box. What is left is the triangle: 10.5.

Common mistake

Forgetting one corner triangle. Shade them on your sketch and count: here there are three.

4. A Four-Sided Shape: Cut It Up

قد يعطيك سؤال الدرجتين شكلًا رباعيًا على الشبكة. في المثال ضلعان أفقيان متوازيان، فالشكل شبه منحرف. أنزل خطين رأسيين من طرفي الضلع العلوي، فينقسم الشكل إلى مستطيل في الوسط ومثلثين قائمين على الجانبين. احسب عرض المستطيل وارتفاعه بطرح الإحداثيات (وتذكر أن طرح السالب جمع)، ثم مساحة كل مثلث بنصف الأفقي في الرأسي، ثم اجمع القطع الثلاث. يمكنك التحقق بقاعدة مساحة شبه المنحرف: نصف مجموع الضلعين المتوازيين في الارتفاع. ولا تعتمد على عدّ المربعات، لأن أجزاء المربعات تجعل العدّ غير دقيق؛ التقسيم إلى قطع كاملة يعطي جوابًا دقيقًا.

The 2-mark question can show a four-sided shape on a grid. Cut it into a rectangle and right-angled triangles, then add the pieces.

Worked example

1
$A (- 3, - 1), B (4, - 1), C (2, 3), D (- 1, 3)$ — The question. AB is flat (y = −1) and DC is flat (y = 3), so the shape is a trapezium.
2
$rectangle : 2 - (- 1) = 3 wide$ — Drop straight lines down from D and C. The middle piece is a rectangle as wide as DC: 2 + 1 = 3.
3
$3 - (- 1) = 4 tall$ — Its height runs from y = −1 up to y = 3. Taking away −1 adds 1, so 4.
4
$3 \times 4 = 12$ — Area of the middle rectangle.
5
$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ — Left triangle: across from A to below D is −1 − (−3) = 2, and it is 4 tall.
6
$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ — Right triangle: across from below C to B is 4 − 2 = 2, and it is 4 tall.
7
$12 + 4 + 4 = 20$ — Add the three pieces. The area is 20 squares, so 20 cm² on a centimetre grid.

Key idea

Check with the trapezium rule from Area of a Parallelogram and Trapezium: $\frac{1}{2} (7 + 3) \times 4 = 20$ . Same answer, so it is right.

Common mistake

Counting squares and calling every part-square a whole one. Cut the shape into whole pieces instead: it is exact.

5. Perimeter With Sloping Sides

في سؤال الثلاث درجات يُطلب محيط مستطيل أضلاعه مائلة. كل ضلع مائل هو الوتر في مثلث قائم ضلعاه الأفقي والرأسي. لكل ضلع: اطرح الإحداثيات السينية لتعرف المسافة الأفقية، والصادية لتعرف المسافة الرأسية، ثم ربّع كلًا منهما واجمعهما، وخذ الجذر التربيعي للمجموع (نظرية فيثاغورس). إذا خرج الفرق سالبًا فهذا يدل على الاتجاه فقط؛ التربيع يجعله موجبًا، فضع السالب بين قوسين قبل التربيع، والطول لا يكون سالبًا أبدًا. في المستطيل ضلعان من كل طول، فاجمع طولي ضلعين متجاورين واضرب في اثنين. اكتب الجذر بأرقامك لأن درجات الطريقة عليه. والخطأ الشائع جمع الأفقي والرأسي مباشرة؛ الضلع المائل أقصر من مجموعهما.

The 3-mark question: a rectangle has sloping sides, find its perimeter. Each sloping side is the long side of a right-angled triangle.

Worked example

1
$A (1, 1), B (5, 4), C (- 1, 12)$ — Three corners of rectangle ABCD. You need two sides: AB and BC.
2
$A B : across 5 - 1 = 4, up 4 - 1 = 3$ — Subtract the x's, then the y's. These are the two short sides of a right-angled triangle under AB.
3
$A B^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 16 + 9 = 25$ — Pythagoras: the sloping side squared equals across squared plus up squared.
4
$A B = 25 = 5$ — Square root to undo the square: AB = 5.
5
$B C : across - 1 - 5 = - 6$ — C is to the left of B, so the difference is negative. The minus only shows the direction.
6
$(- 6)^{2} = 36$ — Squaring removes the minus, because minus times minus is plus. Keep the brackets so the minus is squared too.
7
$up 12 - 4 = 8, 8^{2} = 64$ — Subtract the y's, then square.
8
$B C = 36 + 64 = 100 = 10$ — Pythagoras again: BC = 10. A length can never be negative.
9
$2 (5 + 10) = 30$ — A rectangle has two sides of each length, so add one of each and double it.

Key idea

Asked for the area instead? Multiply the two sides: $5 \times 10 = 50$ . The method marks are for the square roots, so write $4^{2} + 3^{2}$ with your numbers in it.

Common mistake

Adding across and up, $4 + 3 = 7$ . The sloping side is shorter than that: use Pythagoras.

6. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، انظر إلى الأضلاع لتختار الطريقة. إذا وجدت ضلعًا أفقيًا أو رأسيًا فالمساحة نصف القاعدة في الارتفاع. وإذا لم يوجد ضلع أفقي فأحط المثلث بمستطيل واطرح مثلثات الأركان. والشكل الرباعي تقسّمه إلى مستطيل ومثلثات. والمحيط بأضلاع مائلة تحسب كل ضلع منه بنظرية فيثاغورس. أما إيجاد الرأس الرابع أو رسم النقاط فلهما دروس خاصة. ورسم تقريبي سريع يبيّن لك الضلع الأفقي ويكشف الارتفاع الخطأ.

Look at the sides first.

You see	You do
A flat or upright side	half base times height
No flat side	box it, take away corners
A four-sided shape	cut into a rectangle and triangles
Perimeter, sloping sides	Pythagoras for each side
Find the fourth corner D	Coordinate Geometry of Shapes
Plot the points first	Coordinates and Plotting Points

Key idea

A quick sketch shows which side is flat, and catches a wrong height.

تدرّب على المساحة من الإحداثيات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المساحة من الإحداثيات

1. Lengths From Coordinates

2. A Side Along a Grid Line

3. A Tilted Triangle: Box It

4. A Four-Sided Shape: Cut It Up

5. Perimeter With Sloping Sides

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على المساحة من الإحداثيات

أسئلة امتحانات سابقة على المساحة من الإحداثيات، محلولة ومشروحة بالعربي