شرح المستقيمات المتعامدة

Perpendicular Lines

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Flip and Change the Sign

الخطان المتعامدان يلتقيان بزاوية قائمة، وميلاهما مرتبطان: حاصل ضربهما دائمًا سالب واحد. لذلك لتحصل على الميل العمودي، اقلب الكسر رأسًا على عقب ثم غيّر إشارته. إذا كان الميل عددًا صحيحًا فاكتبه كسرًا مقامه واحد ثم اقلبه. وللتحقق اضرب الميلين: إذا لم يكن الناتج سالب واحد فالخطان ليسا متعامدين.

Perpendicular lines meet at a right angle. Their gradients are linked: multiply them and you always get −1.

Formula

m_{1} \times m_{2} = - 1

So to get the perpendicular gradient, turn the fraction upside down and change its sign.

Gradient	Perpendicular gradient
$2$	$- \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4}$	$- \frac{4}{3}$

Rule

Check: $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ . If the product is not −1, the lines are not perpendicular.

2. Equation of a Perpendicular Line

لإيجاد معادلة خط عمودي على خط معطى ويمر بنقطة: أولًا اقرأ ميل الخط المعطى من العدد المضروب في السينات. ثانيًا اقلبه وغيّر إشارته، وتحقق أن حاصل الضرب سالب واحد. ثالثًا اكتب المعادلة بالميل الجديد والعدد الثابت مجهول، وعوّض بالنقطة لتجده، مع الانتباه للإشارات. إذا طلب السؤال معادلة بلا كسور فاضرب كل الحدود. وإذا سأل أين يقطع الخط محور السينات فضع الصادات صفرًا وحل. الخطأ الشائع أن تستخدم ميل الخط الأصلي نفسه، فتحصل على خط موازٍ لا عمودي.

The 4-mark question: “Find an equation of the line perpendicular to L through a point.” Often it then asks where that line crosses the x-axis.

Worked example

1
$L : y = 2 x + 1$ — L is in the form y = mx + c, so its gradient is the number in front of x: 2.
2
$m = - \frac{1}{2}$ — Write 2 as $\frac{2}{1}$ , flip it and change the sign. Check: $2 \times (- \frac{1}{2}) = - 1$ .
3
$y = - \frac{1}{2} x + c$ — The new line has this gradient. Its c is still unknown, so leave it as c for now.
4
$3 = - \frac{1}{2} \times 4 + c$ — The line passes through (4, 3), so put x = 4 and y = 3 in.
5
$3 = - 2 + c$ — $- \frac{1}{2} \times 4 = - 2$ . Keep the minus sign.
6
$c = 5$ — Add 2 to both sides: 3 + 2 = 5.
7
$y = - \frac{1}{2} x + 5$ — Put c back in. This is the answer in the form y = mx + c.
8
$2 y = - x + 10$ — Only if the question wants no fractions: multiply every term by 2.
9
$x + 2 y - 10 = 0$ — Add x and take 10 from both sides, so every term is on one side.

Key idea

Crossing the x-axis means $y = 0$ : $0 = - \frac{1}{2} x + 5$ , so $\frac{1}{2} x = 5$ and $x = 10$ . The point is $(10, 0)$ .

Common mistake

Using L's gradient 2 for the new line. That gives a parallel line, not a perpendicular one.

3. Starting From Two Points

أغلب أسئلة الامتحان تعطي الخط الأول بنقطتين. ابدأ بميل القطعة بينهما: التغير في الصادات على التغير في السينات، وبنفس الترتيب في البسط والمقام. ضع الأعداد السالبة بين قوسين، لأن طرح السالب جمع. ثم اقلب الميل وغيّر إشارته لتحصل على الميل العمودي، وتحقق أن حاصل الضرب سالب واحد. بعدها عوّض بالنقطة المعطاة لتجد العدد الثابت، واكتب المعادلة وتحقق. الخطأ الشائع نسيان القوس حول السالب في المقام. واكتب كل الخطوات لأن أغلب الدرجات عليها.

Most exam questions give the first line as two points, A and B. Find the gradient of AB first, then carry on as before.

Find the line perpendicular to AB through (4, 1), where A is (−1, 6) and B is (3, −2).

Worked example

1
$m_{A B} = \frac{- 2 - 6}{3 - ( - 1 )}$ — Gradient = change in y ÷ change in x. Take B's numbers minus A's, in the same order on top and bottom. Put −1 in brackets.
2
$= \frac{- 8}{4}$ — −2 − 6 = −8. And 3 − (−1) = 3 + 1 = 4, because taking away a negative adds.
3
$m_{A B} = - 2$ — −8 ÷ 4 = −2. AB goes down from left to right.
4
$m = \frac{1}{2}$ — Flip −2 to $- \frac{1}{2}$ , then change the sign to $+ \frac{1}{2}$ . Check: $- 2 \times \frac{1}{2} = - 1$ .
5
$1 = \frac{1}{2} \times 4 + c$ — The line passes through (4, 1), so put x = 4 and y = 1 into $y = \frac{1}{2} x + c$ .
6
$1 = 2 + c$ — $\frac{1}{2} \times 4 = 2$ .
7
$c = - 1$ — Take 2 from both sides: 1 − 2 = −1.
8
$y = \frac{1}{2} x - 1$ — Put c back in. Check with the point: $\frac{1}{2} \times 4 - 1 = 1$ . It works.

Common mistake

Writing 3 − 1 = 2 on the bottom. It is 3 − (−1), which is 3 + 1 = 4. Brackets round negatives stop this.

Key idea

Show every line. Most of the marks are for the working: the gradient of AB, the flipped gradient, and putting the point in. A slip in the last line can still leave you with 3 marks out of 4.

4. When y Is Not on Its Own

لإيجاد ميل خط عمودي على خط ليست فيه الصادات وحدها، اجعل الصادات وحدها أولًا حتى يظهر الميل. انقل حد السينات إلى الطرف الآخر، ثم اقسم كل الحدود على العدد المضروب في الصادات. الآن العدد مع السينات هو الميل بإشارته. بعدها اقلب الكسر وغيّر إشارته لتحصل على الميل العمودي، وتحقق أن حاصل ضرب الميلين سالب واحد. الخطأ الشائع أن تأخذ العدد المضروب في السينات من المعادلة الأصلية قبل أن تكون الصادات وحدها.

The 2-mark question: “Find the gradient of a line perpendicular to $3 y + 4 x = 6$ .” First get y alone to read the gradient.

Worked example

1
$3 y + 4 x = 6$ — The question. y has a 3 in front and an x term beside it, so the gradient is not on show yet.
2
$3 y = - 4 x + 6$ — Take 4x from both sides, so only the y term is left on the left.
3
$y = - \frac{4}{3} x + 2$ — Divide every term by 3: $- 4 x \div 3 = - \frac{4}{3} x$ and $6 \div 3 = 2$ . Now the number in front of x is the gradient.
4
$m = \frac{3}{4}$ — Flip and change the sign: $\frac{4}{3}$ becomes $\frac{3}{4}$ , and minus becomes plus.
5
$- \frac{4}{3} \times \frac{3}{4} = - 1$ — Check: the product is −1, so the lines are perpendicular.

Common mistake

Reading the gradient as 4, the number in front of x. Until y is alone, that number is not the gradient.

Key idea

For more on rearranging, see The Equation y = mx + c.

5. Finding a Missing Coordinate

هنا خطان متعامدان وإحدى النقاط فيها إحداثي مجهول. أولًا اقرأ ميل الخط المعروف، ثم اقلبه وغيّر إشارته لتحصل على ميل الخط الثاني. ثانيًا اكتب ميل الخط الثاني مرة أخرى من النقطتين اللتين عليه، والمجهول داخله. اجعل التعبيرين متساويين، ثم اضرب في المقام وحل لتجد المجهول. وتحقق بالتعويض بالقيمة. والفكرة نفسها تنفع مع زاوية قائمة في مثلث: حاصل ضرب ميلي الضلعين المتعامدين سالب واحد.

The 4-mark question: “L is perpendicular to M. Work out the value of k.” Write M's gradient in two ways and make them equal.

Worked example

1
$L : y = 3 x - 1$ — L is in the form y = mx + c, so its gradient is 3.
2
$M gradient = - \frac{1}{3}$ — M is perpendicular to L: flip 3 to $\frac{1}{3}$ and change the sign.
3
$A (2, 5), B (8, k) on M$ — Both points lie on M, so the gradient from A to B must also be $- \frac{1}{3}$ .
4
$\frac{k - 5}{8 - 2} = - \frac{1}{3}$ — Gradient = change in y ÷ change in x, written with k. Set it equal to M's gradient.
5
$\frac{k - 5}{6} = - \frac{1}{3}$ — Work out the bottom: 8 − 2 = 6.
6
$k - 5 = - 2$ — Multiply both sides by 6: $- \frac{1}{3} \times 6 = - 2$ .
7
$k = 3$ — Add 5 to both sides: −2 + 5 = 3.
8
$\frac{3 - 5}{6} = - \frac{2}{6} = - \frac{1}{3}$ — Check: put k = 3 back. The gradient is $- \frac{1}{3}$ , as it should be.

Key idea

A right angle in a triangle, like angle ABC = 90°, works the same way: the gradients of AB and BC multiply to −1.

6. Tangent to a Circle

المماس يلمس الدائرة في نقطة واحدة، وهو دائمًا عمودي على نصف القطر عند تلك النقطة. لذلك ابدأ بميل نصف القطر من المركز إلى نقطة التماس، وبسّط الكسر. ثم اقلبه وغيّر إشارته لتحصل على ميل المماس، وتحقق أن حاصل الضرب سالب واحد. بعدها عوّض بنقطة التماس لتجد العدد الثابت، واكتب المعادلة، وتخلّص من الكسور فقط إذا طلب السؤال ذلك. وإذا أُعطيت الطرف الآخر من القطر بدل نقطة التماس، فالمركز في المنتصف، فكرّر نفس الخطوة من المركز لتصل إليها. الخطأ الشائع أن تستخدم ميل نصف القطر نفسه للمماس.

A tangent touches a circle at one point, P. It is always perpendicular to the radius at P. So the radius gives you the gradient.

A circle has centre C(1, 2). P(7, 6) is on the circle. Find the equation of the tangent at P.

Worked example

1
$m_{C P} = \frac{6 - 2}{7 - 1}$ — The radius joins the centre C to P. Gradient = change in y ÷ change in x.
2
$= \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ — 6 − 2 = 4 and 7 − 1 = 6. Divide top and bottom by 2: the radius gradient is $\frac{2}{3}$ .
3
$m = - \frac{3}{2}$ — The tangent is perpendicular to the radius: flip and change the sign. Check: $\frac{2}{3} \times (- \frac{3}{2}) = - 1$ .
4
$6 = - \frac{3}{2} \times 7 + c$ — The tangent passes through P(7, 6), so put x = 7 and y = 6 in.
5
$6 = - \frac{21}{2} + c$ — $- \frac{3}{2} \times 7 = - \frac{21}{2}$ , which is −10.5.
6
$c = \frac{33}{2}$ — Add $\frac{21}{2}$ to both sides: 6 + 10.5 = 16.5, which is $\frac{33}{2}$ .
7
$y = - \frac{3}{2} x + \frac{33}{2}$ — Put c back in. This is the tangent at P.
8
$2 y = - 3 x + 33$ — Only if the question wants no fractions: multiply every term by 2. Both forms are correct.

Key idea

Sometimes you are given A, the other end of the diameter, not P. The centre is halfway, so repeat the step. From A(−5, −2) to C(1, 2) is 6 right and 4 up, so P is (1 + 6, 2 + 4) = (7, 6).

Common mistake

Using the radius gradient $\frac{2}{3}$ for the tangent. The tangent is at 90° to the radius, so flip and change the sign.

7. Which Method? Read the Question

ابدأ بإيجاد الميل المعطى، ثم قرّر ماذا تفعل به. مع نقطتين: ميل القطعة أولًا. إذا طُلب الميل العمودي: اجعل الصادات وحدها، ثم اقلب وغيّر الإشارة. إذا طُلب خط عمودي يمر بنقطة: الميل الجديد ثم العدد الثابت. إذا مر الخط بنقطة الأصل فالعدد الثابت صفر. لقطع محور السينات ضع الصادات صفرًا. مع مجهول: اكتب الميل بطريقتين واجعلهما متساويين. للمماس: ميل نصف القطر ثم اقلب وغيّر الإشارة. والعمودي على خط أفقي هو خط رأسي: السينات تساوي سيني النقطة. وتحقق دائمًا أن حاصل ضرب الميلين سالب واحد تمامًا.

Find the gradient you are given first. Then decide what to do with it.

You see	You do
Two points, A and B	gradient of AB first: change in y ÷ change in x
“Perpendicular gradient”	get y alone, flip, change sign
“Perpendicular … passes through”	new gradient, then find c
Through the origin	c = 0
“Crosses the x-axis”	put y = 0
An unknown like k	gradient two ways, make them equal
Tangent to a circle at P	radius gradient, flip, change sign
Perpendicular to a flat line like y = 3	an upright line: x = the point's x
“Parallel”	Parallel Lines and Their Equations
Through the midpoint of AB	The Perpendicular Bisector

Key idea

Always check: the two gradients multiplied must give exactly −1.

تدرّب على المستقيمات المتعامدة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المستقيمات المتعامدة

1. Flip and Change the Sign

2. Equation of a Perpendicular Line

3. Starting From Two Points

4. When y Is Not on Its Own

5. Finding a Missing Coordinate

6. Tangent to a Circle

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على المستقيمات المتعامدة

أسئلة امتحانات سابقة على المستقيمات المتعامدة، محلولة ومشروحة بالعربي