شرح مساحة متوازي الأضلاع وشبه المنحرف

Area of a Parallelogram and Trapezium

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Shapes With Parallel Sides

متوازي الأضلاع له زوجان من الأضلاع المتوازية. إذا قصصت المثلث من أحد طرفيه ونقلته إلى الطرف الآخر حصلت على مستطيل، لذلك مساحته القاعدة في الارتفاع. الارتفاع هنا هو الارتفاع العمودي، أي الذي يصنع زاوية قائمة مع القاعدة، وليس الضلع المائل. في المثال يعطيك السؤال ثلاثة أطوال، لكن اثنين فقط يدخلان القانون: القاعدة والارتفاع العمودي، ونترك الضلع المائل. والمساحة بوحدات مربعة. الخطأ الشائع: الضرب في الضلع المائل، فيخرج الجواب أكبر لأن المائل أطول من الارتفاع.

A parallelogram has two pairs of parallel sides. Cut the triangle off one end, slide it to the other end, and you get a rectangle.

Formula

A = b \times h

$b$ is the base. $h$ is the perpendicular height: at a right angle to the base, not along the slope.

Worked example

1
$b = 9, h = 5, sloping side 6$ — The question gives three lengths. Only two go in the formula: the base and the height at a right angle to it.
2
$A = 9 \times 5$ — Put the base and the height into the formula. The sloping 6 is left out, because it is not at a right angle to the base.
3
$A = 45 cm^{2}$ — 9 × 5 = 45. An area is in square units, so the answer is in cm².

Common mistake

Using the sloping side: $9 \times 6 = 54$ is too big. The slope is longer than the height.

2. Area of a Trapezium

شبه المنحرف له زوج واحد من الأضلاع المتوازية. لإيجاد مساحته اجمع الضلعين المتوازيين، ثم خذ النصف، ثم اضرب في الارتفاع. والارتفاع هو المسافة بين الضلعين المتوازيين بزاوية قائمة. ابدأ بتحديد الضلعين المتوازيين، ثم اكتب سطر التعويض لأنه يأخذ درجة وحده، ثم احسب ما بين القوسين أولًا، ثم النصف، وهو متوسط الضلعين المتوازيين، ثم اضرب في الارتفاع. والمساحة بوحدات مربعة. الخطأ الشائع: نسيان النصف، فيخرج الجواب ضعف المساحة الحقيقية.

The 2-mark question: a trapezium has one pair of parallel sides. Add them, halve, then times by the height.

Formula

A = \frac{1}{2} (a + b) h

$a$ and $b$ are the parallel sides. $h$ is the distance between them, at a right angle.

Worked example

1
$a = 7, b = 12, h = 5$ — Find the two parallel sides first. The height is the gap between them, measured at a right angle.
2
$\frac{1}{2} (7 + 12) \times 5$ — Put the numbers into the formula. Writing this line earns a mark, even if you slip later.
3
$= \frac{1}{2} \times 19 \times 5$ — Work out the bracket first: 7 + 12 = 19.
4
$= 9.5 \times 5$ — Half of 19 is 9.5. It is the average of the two parallel sides.
5
$= 47.5 cm^{2}$ — 9.5 × 5 = 47.5. An area is in square units, so cm².

Common mistake

Forgetting the half. $19 \times 5 = 95$ is double the real area.

3. Working Back From the Area

بعض الأسئلة تعطيك المساحة وتطلب ضلعًا ناقصًا أو الارتفاع. عوّض بكل ما تعرفه في القانون، واجعله مساويًا للمساحة، ثم حلّه كمعادلة. في شبه المنحرف: اجمع النصف مع الارتفاع في عدد واحد، ثم اقسم الطرفين عليه فتحصل على مجموع الضلعين المتوازيين، ثم اطرح الضلع المعلوم. في متوازي الأضلاع لا يوجد نصف: اقسم المساحة على القاعدة فتحصل على الارتفاع. الخطأ الشائع: التوقف عند مجموع الضلعين ونسيان طرح الضلع المعلوم. واكتب السطر الأول دائمًا حتى لو لم تعرف الخطوة التالية، فهو يأخذ درجة الطريقة.

Some questions give the area and ask for a missing side or the height. Put everything you know into the formula, then solve it like an equation.

A trapezium has parallel sides 5 cm and y cm, height 8 cm and area 76 cm². Find y.

Worked example

1
$\frac{1}{2} (5 + y) \times 8 = 76$ — Put the known numbers into the formula. The unknown side $y$ goes in its place, and the whole thing equals the area.
2
$4 (5 + y) = 76$ — Half of 8 is 4, so the half and the 8 join up as one number.
3
$5 + y = 19$ — Divide both sides by 4: 76 ÷ 4 = 19. This is the two parallel sides added.
4
$y = 14$ — Take 5 from both sides: 19 − 5 = 14. So y = 14 cm.

A parallelogram has no half to undo. Base 9 cm, area 63 cm². Find the height h.

Worked example

1
$9 \times h = 63$ — Base × height = area, with the height as the unknown.
2
$h = 63 \div 9 = 7$ — Divide both sides by the base, 9. So the height is 7 cm.

Common mistake

Stopping at 19. That is 5 + y, not y. Take the 5 away to finish.

Key idea

Always write the first line, $\frac{1}{2} (5 + y) \times 8 = 76$ , even if you are unsure what comes next. It earns a method mark on its own.

4. A Trapezium on Its Side

كثيرًا ما يُرسم شبه المنحرف على جانبه، فيقف الضلعان المتوازيان رأسيًا. عندها يكون الارتفاع هو الضلع السفلي لا أحد الضلعين الطويلين. كيف تعرف الضلعين المتوازيين؟ كلاهما عمودي على الضلع السفلي فلا يلتقيان أبدًا. والضلع السفلي يلتقي بهما بزاوية قائمة، فهو المسافة بينهما، أي الارتفاع. عوّض في القانون واحسب ما بين القوسين ثم النصف ثم اضرب. الضلع المائل لا يدخل القانون. الخطأ الشائع: استخدام الضلع المائل ارتفاعًا، مع أنه لا يصنع زاوية قائمة مع الضلعين المتوازيين.

Exams often turn a trapezium on its side, so the parallel sides stand upright. Then the height is the side along the bottom, not one of the tall sides.

The upright sides are 3 cm and 8 cm. The bottom side is 12 cm, with a right angle at each end. The sloping side is 13 cm. Find the area.

Worked example

1
$a = 3, b = 8$ — The two upright sides both stand at right angles to the bottom, so they never meet. They are the parallel pair.
2
$h = 12$ — The height is the distance between the parallel sides. The bottom side meets both at a right angle, so it is the height.
3
$\frac{1}{2} (3 + 8) \times 12$ — Put them in the formula. The sloping 13 cm is not used: it is not at a right angle to the parallel sides.
4
$= \frac{1}{2} \times 11 \times 12$ — Work out the bracket: 3 + 8 = 11.
5
$= 66 cm^{2}$ — Half of 11 is 5.5, and 5.5 × 12 = 66.

Common mistake

Using the 13 cm slope as the height. The height must be at a right angle to the parallel sides, and only the bottom side is.

5. A Missing Side: Use Pythagoras

أحيانًا يكون أحد الضلعين المتوازيين ناقصًا لكن الضلع المائل معطى. قسّم شبه المنحرف إلى مستطيل ومثلث قائم الزاوية بخط أفقي عند ارتفاع الضلع القصير. في المثلث، الضلع المائل هو الأطول، فاطرح مربع الضلع الأفقي من مربعه، ثم خذ الجذر الموجب لتجد الجزء الناقص، وهذه نظرية فيثاغورس. ثم اجمع هذا الجزء مع الضلع القصير لتحصل على الضلع المتوازي الآخر. أخيرًا استخدم قانون شبه المنحرف، والقاعدة هنا هي الارتفاع. الخطأ الشائع: طرح الأطوال نفسها بدل مربعاتها؛ نظرية فيثاغورس تعمل بالمربعات.

Sometimes one parallel side is missing, but the sloping side is given. Split the trapezium into a rectangle and a right-angled triangle, then use Pythagoras.

A trapezium has a right angle at each end of its 8 cm base. The left upright side is 3 cm and the sloping top is 10 cm. Find its area.

Worked example

1
$8^{2} + d^{2} = 10^{2}$ — Draw a line across at 3 cm high. Above it is a right-angled triangle: 8 cm across, d cm up, and the 10 cm slope as its longest side.
2
$d^{2} = 100 - 64 = 36$ — Square the lengths: 10² = 100 and 8² = 64. Then take 64 from both sides.
3
$d = 6$ — Square root: √36 = 6. Ignore −6, because a length cannot be negative.
4
$3 + 6 = 9$ — The right upright side is the 3 cm under the line plus the 6 cm above it: 9 cm.
5
$\frac{1}{2} (3 + 9) \times 8$ — Now use the trapezium formula. The parallel sides are 3 and 9, and the 8 cm base is the height.
6
$= 6 \times 8 = 48 cm^{2}$ — 3 + 9 = 12, half of 12 is 6, and 6 × 8 = 48.

Common mistake

Writing 10 − 8 = 2. Pythagoras works with squares: $1 0^{2} - 8^{2} = 36$ , then $36 = 6$ .

6. Area, Then One More Step

في سؤال الأربع درجات المساحة هي البداية فقط، ثم تحسب علب الطلاء أو التكلفة أو السعر لكل هكتار. في مثال الجدار: احسب مساحة شبه المنحرف، ثم ضاعفها لأن الطلاء طبقتان، ثم اقسم على ما تغطيه العلبة الواحدة، وقرّب إلى الأعلى دائمًا لأنك تشتري علبًا كاملة، والتقريب إلى الأسفل يترك جزءًا من الجدار بلا طلاء. في مثال الحقل: احسب المساحة بالمتر المربع، ثم حوّلها إلى هكتارات، فالهكتار عشرة آلاف متر مربع، ثم اقسم السعر الكلي على عدد الهكتارات لتجد سعر الهكتار الواحد.

The 4-mark question: the area is only the start. Then work out tins of paint, a cost, or a price per hectare.

A wall is a trapezium with parallel sides 4 metres and 7 metres, 3 metres apart. It gets two coats of paint. One tin covers 10 square metres.

Worked example

1
$\frac{1}{2} (4 + 7) \times 3$ — Find the area of the wall first, with the trapezium formula.
2
$= \frac{1}{2} \times 11 \times 3$ — Work out the bracket: 4 + 7 = 11.
3
$= 16.5 m^{2}$ — Half of 11 is 5.5, and 5.5 × 3 = 16.5. This is one coat.
4
$2 \times 16.5 = 33 m^{2}$ — Two coats means painting the wall twice, so double the area.
5
$33 \div 10 = 3.3$ — Each tin covers 10 m², so divide by 10 to find how many tins the paint fills.
6
$4 tins$ — Round up, not down: 3 tins cover only 30 m², which leaves 3 m² bare.

Common mistake

Rounding 3.3 down to 3. You must buy whole tins, and 3 would leave part of the wall bare.

1 hectare = 10 000 m². A trapezium field has parallel sides 120 m and 280 m, 150 m apart. It sells for 27 600 dollars. Find the price per hectare.

Worked example

1
$\frac{1}{2} (120 + 280) \times 150$ — Area first, with the trapezium formula.
2
$= \frac{1}{2} \times 400 \times 150$ — Work out the bracket: 120 + 280 = 400.
3
$= 30000 m^{2}$ — Half of 400 is 200, and 200 × 150 = 30 000.
4
$30000 \div 10000 = 3$ — Change to hectares: every 10 000 m² is one hectare, so the field is 3 hectares.
5
$27600 \div 3 = 9200$ — Per hectare means the price of one hectare, so share the price between the 3 hectares: 9 200 dollars.

7. Trapezium With Algebra (Extended/Higher)

في هذا السؤال تُكتب الأضلاع بحرف وتُعطى المساحة. اكتب قانون شبه المنحرف بالحروف واجعله مساويًا للمساحة. ثم اجمع الحدود المتشابهة داخل القوسين، وخذ النصف، ثم وزّع الضرب. انقل العدد إلى الطرف الآخر لتصبح المعادلة التربيعية مساوية للصفر، ثم حلّلها إلى عاملين. حاصل الضرب يساوي صفرًا فقط إذا كان أحد العاملين صفرًا، فيظهر حلّان. ارفض الحل السالب لأن الطول لا يكون سالبًا. وتحقق بتعويض الحل في القانون.

The 3-mark question: the sides are written with a letter, and you are told the area. Write the formula with the letters, then tidy it into a quadratic.

Parallel sides $x$ and $x + 4$ , height $x$ , area 48 cm².

Worked example

1
$\frac{1}{2} (x + x + 4) \times x = 48$ — Put the letters into the trapezium formula and set it equal to the area, 48.
2
$\frac{1}{2} (2 x + 4) \times x = 48$ — Collect like terms in the bracket: x + x = 2x.
3
$(x + 2) \times x = 48$ — Halve the bracket: half of 2x is x, and half of 4 is 2.
4
$x^{2} + 2 x = 48$ — Multiply out: x × x = x², and 2 × x = 2x.
5
$x^{2} + 2 x - 48 = 0$ — Take 48 from both sides, so the quadratic equals 0 and can be factorised.
6
$(x + 8) (x - 6) = 0$ — Factorise: +8 and −6 multiply to −48 and add to +2.
7
$x = - 8 or x = 6$ — A product is 0 only when one bracket is 0, so there are two answers.
8
$x = 6$ — Reject −8, because a length cannot be negative. So x = 6.

Key idea

Check: sides 6 and 10, height 6. $\frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ . It works.

8. Which Method? Read the Question

عُدّ أزواج الأضلاع المتوازية. زوجان يعنيان متوازي أضلاع: القاعدة في الارتفاع. زوج واحد يعني شبه منحرف: نصف مجموع الضلعين المتوازيين في الارتفاع. أسئلة الطلاء والعلب والسعر لكل هكتار: المساحة أولًا ثم القسمة والتقريب. إذا كانت الأضلاع بحروف أو كانت المساحة معطاة والضلع ناقصًا فاجعل القانون مساويًا للمساحة وحلّ. إذا وقف الضلعان المتوازيان رأسيًا فالضلع السفلي هو الارتفاع. إذا نقص ضلع وأُعطي المائل فاستخدم فيثاغورس أولًا. وعلى الشبكة عُدّ المربعات. تذكّر: الأضلاع المائلة لا تدخل القانون أبدًا، استخدم الارتفاع العمودي.

Count the pairs of parallel sides.

You see	You do
Two pairs of parallel sides	parallelogram $bh$
One pair of parallel sides	trapezium $\frac{1}{2} (a + b) h$
Paint, tins, cost per hectare	area first, then divide and round
Sides written with a letter	formula equals the area, then solve
Area given, a side missing	formula equals the area, then solve
Parallel sides stand upright	the bottom side is the height
A side missing, the slope given	Pythagoras first, then the formula
Drawn on a 1 cm² grid	count squares for a, b and h
Only three sides, no height	Area of a Triangle
A shape made of pieces	Composite Perimeter, Area and Volume

Key idea

The sloping sides are never in the formula. Use the height at a right angle.

تدرّب على مساحة متوازي الأضلاع وشبه المنحرف

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح مساحة متوازي الأضلاع وشبه المنحرف

1. Two Shapes With Parallel Sides

2. Area of a Trapezium

3. Working Back From the Area

4. A Trapezium on Its Side

5. A Missing Side: Use Pythagoras

6. Area, Then One More Step

7. Trapezium With Algebra (Extended/Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على مساحة متوازي الأضلاع وشبه المنحرف

أسئلة امتحانات سابقة على مساحة متوازي الأضلاع وشبه المنحرف، محلولة ومشروحة بالعربي