شرح محيط الدائرة ومساحتها

Circumference and Area of a Circle

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Radius, Diameter and π

لكل دائرة مركز، ويهمنا فيها ثلاثة أطوال: نصف القطر من المركز إلى الحافة، والقطر من حافة إلى حافة مرورًا بالمركز، والمحيط وهو المسافة حول الدائرة كلها. القطر ضعف نصف القطر، فإذا أُعطيت القطر فاقسمه على اثنين لتحصل على نصف القطر. العدد باي هو عدد المرات التي يلتف فيها القطر حول دائرته، وهو تقريبًا ثلاثة وأربعة عشر جزءًا من مئة، فاستخدم زر باي في الآلة الحاسبة. ومن طريف التاريخ أن العالم الفارسي جمشيد الكاشي في سمرقند حسب باي بدقة ستة عشر منزلًا عشريًا بيده، وبقي رقمه القياسي أكثر من قرن ونصف.

Every circle has a centre. Three lengths matter.

Word	Meaning
Radius	centre to the edge
Diameter	edge to edge through the centre
Circumference	the distance all the way round

Rule

The diameter is twice the radius: $d = 2 r$ . Halve a diameter to get the radius.

Key idea

π is the number of times a diameter fits round its own circle: about 3.14. Use the π button on your calculator.

Key idea

Around 1424, the Persian mathematician Jamshid al-Kashi, working in Samarkand, found π correct to 16 decimal places. He did it by hand, using a polygon with over 800 million sides. Nobody beat his record for more than 150 years.

2. Circumference: The 2-Mark Question

سؤال الدرجتين يعطيك نصف القطر أو القطر ويطلب المسافة حول الدائرة، أي المحيط. المحيط يساوي اثنين في باي في نصف القطر، أو باي في القطر. أولًا انظر هل المعطى نصف قطر أم قطر واختر القانون المناسب. ثم اكتب سطر التعويض كاملًا لأنه وحده يأخذ درجة. إذا طلب السؤال الجواب بدلالة باي فتوقف هنا، وإلا فاحسب بالآلة الحاسبة واكتب أربعة أرقام على الأقل قبل التقريب إلى ثلاثة أرقام معنوية، والوحدة سنتيمتر لأنه طول. الخطأ الشائع: ضرب القطر في اثنين وفي باي، فهذا يلف حول الدائرة مرتين.

The 2-mark question gives a radius or a diameter and asks for the distance round.

Formula

C = 2 π r = π d

$C$ is the circumference, $r$ the radius, $d$ the diameter.

Worked example

1
$r = 4.5 cm$ — The question gives the radius. $C = 2 π r$ uses the radius, so it goes straight in.
2
$C = 2 \times π \times 4.5$ — Put 4.5 in place of r. Write this line down: it earns a mark on its own.
3
$C = 9 π$ — 2 × 4.5 = 9. If the question says “in terms of π”, stop here.
4
$C = 28.274...$ — Press 9 × π on the calculator. Write down at least 4 figures before you round.
5
$C = 28.3 cm$ — Round to 3 significant figures: the 4th figure is 7, so 28.2 rounds up to 28.3. It is a length, so the unit is cm.

Key idea

A 2-mark circle question gives 1 mark for the line $2 \times π \times r$ (or $π \times d$ ) and 1 for the answer. Show that line, so a slip on the calculator still scores.

Common mistake

Using $2 π d$ . That goes round twice. With a diameter, just use $π d$ .

3. Area: The 2-Mark Question

مساحة الدائرة هي المساحة داخلها: ربّع نصف القطر ثم اضرب في باي. نصف القطر وحده هو الذي يُربّع، لا باي. إذا أعطاك السؤال القطر فاقسمه على اثنين أولًا لتحصل على نصف القطر. ثم ربّعه، ثم اضرب في باي، فتحصل على الجواب الدقيق بدلالة باي. بعدها احسب بالآلة الحاسبة وقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية، والوحدة سنتيمتر مربع. الخطأ الشائع: تعويض القطر مكان نصف القطر، فيخرج الجواب أكبر بأربع مرات.

The other 2-mark question asks for the space inside. Square the radius, then times by π.

Formula

A = π r^{2}

Only the radius is squared, not π.

Worked example

1
$d = 16 cm$ — The question gives a diameter. $π r^{2}$ needs the radius, so change it first.
2
$r = 16 \div 2 = 8$ — Halve the diameter. The radius only goes half way across.
3
$r^{2} = 8^{2} = 64$ — Square the radius first: 8 × 8 = 64. Only r is squared, not π.
4
$A = π \times 64 = 64 π$ — Now multiply by π. 64π is the exact answer, the one to give “in terms of π”.
5
$A = 201.06...$ — Press 64 × π on the calculator. Keep the full value for now.
6
$A = 201 cm^{2}$ — 3 significant figures: the 4th figure is 0, so it stays 201. Area is measured in square units, so cm².

Common mistake

Putting the diameter into $π r^{2}$ : $π \times 1 6^{2}$ gives 804, four times too big.

4. Answers in Terms of π

عبارة «بدلالة باي» تعني جوابًا دقيقًا يبقى فيه باي مكتوبًا بجانب العدد. عامل باي كأنه حرف مثل المجهول: احسب العدد الذي أمامه فقط، ولا تضغط زر باي. في المثال الأول نصف القطر، ثم نربّعه، ثم نكتب باي بعد الناتج ونتوقف. في المثال الثاني المساحة معطاة بدلالة باي، فنكتب معادلة، ونقسم الطرفين على باي فيختفي، ثم نأخذ الجذر التربيعي الموجب لأن نصف القطر طول، ثم نحسب المحيط ونترك باي فيه. الخطأ الشائع: الضغط على زر باي وكتابة عدد عشري، فهذا ليس بدلالة باي وقد يضيّع درجة الجواب.

Many questions say “give your answer in terms of π”. That means an exact answer with π left in it, like 100π.

Rule

Treat π like a letter, the way you treat x. Work out the number in front of it, and do not press the π button.

1. Area of a circle with diameter 20 cm, in terms of π

Worked example

1
$r = 20 \div 2 = 10$ — Halve the diameter to get the radius, because $π r^{2}$ needs r.
2
$r^{2} = 10^{2} = 100$ — Square the radius: 10 × 10 = 100.
3
$A = 100 π cm^{2}$ — Write π after the number. 100π is the full answer. Stop: no calculator step.

2. A circle has area 81π cm². Find its circumference in terms of π

Worked example

1
$π r^{2} = 81 π$ — The area formula equals the area given. Write it as an equation.
2
$r^{2} = 81$ — Divide both sides by π. The π on each side cancels.
3
$r = 81 = 9$ — Square root to undo the square. A radius is a length, so take the positive root, 9.
4
$C = 2 \times π \times 9$ — Now use the circumference formula with r = 9.
5
$C = 18 π cm$ — 2 × 9 = 18, so the answer is 18π. Again, no calculator step.

Common mistake

Pressing the π button and writing 314.159… when π form was asked. That is not in terms of π, so it can lose the answer mark.

5. Working Back to the Radius

أحيانًا تُعطى المساحة أو المحيط ويُطلب نصف القطر. اكتب القانون معادلة، ثم فكّها خطوة خطوة بالعمليات العكسية. من المساحة: اقسم الطرفين على باي، ثم خذ الجذر التربيعي للطرفين، واستخدم القيمة الكاملة من الآلة الحاسبة. من المحيط: نصف القطر مضروب في اثنين وفي باي، فاقسم عليهما معًا، وضع اثنين في باي بين قوسين في الآلة الحاسبة. الخطأ الشائع: القسمة على باي فقط، فتحصل على القطر لا نصف القطر. واحتفظ بالقيمة الكاملة حتى السطر الأخير، ثم قرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية.

Some questions give the area or the circumference and want the radius. Write the formula as an equation, then undo it one step at a time.

1. The area is 50 cm². Find the radius

Worked example

1
$π r^{2} = 50$ — The area formula equals the area given.
2
$r^{2} = 50 \div π = 15.915...$ — r² is being multiplied by π, so divide both sides by π.
3
$r = 15.915... = 3.989...$ — r is being squared, so square root both sides. Use the full value, not 15.9.
4
$r = 3.99 cm$ — Round to 3 significant figures at the very end.

2. The circumference is 40 cm. Find the radius

Worked example

1
$2 π r = 40$ — The circumference formula equals the length given. Use 2πr because the question asks for r.
2
$r = 40 \div 2 π$ — r is multiplied by 2 and by π, so divide by both. Put 2π in brackets on a calculator.
3
$r = 6.366...$ — 40 ÷ (2 × π) on the calculator.
4
$r = 6.37 cm$ — 3 significant figures.

Common mistake

Dividing by π only: 40 ÷ π = 12.7 is the diameter. Halve it, or divide by 2π, to get the radius.

Key idea

Keep the full calculator value until the last line. Rounding early can change the third figure.

6. Semicircles

نصف الدائرة هو نصف دائرة كاملة. مساحته نصف مساحة الدائرة: احسب مساحة الدائرة كلها ثم اقسمها على اثنين. أما محيطه ففيه فخ: الحافة المنحنية نصف محيط الدائرة، ويجب أن تضيف إليها الحافة المستقيمة، وهي القطر. الخطوات: احسب المحيط كاملًا، ثم خذ نصفه، ثم أضف القطر، وقرّب في النهاية. الخطأ الشائع: التوقف عند الجزء المنحني ونسيان القطر. وإذا كان الجواب بدلالة باي فلا يمكن دمج الجزأين، فيبقى الجواب جزءًا فيه باي زائد القطر.

A semicircle is half a circle. Exams ask for its area or its perimeter, and the perimeter has a trap.

Formula

A = \frac{1}{2} π r^{2}

Area: half of the circle's area. $r$ is the radius.

Formula

P = \frac{1}{2} π d + d

Perimeter: half the circumference for the curved edge, plus the straight edge across, which is the diameter $d$ .

1. Area of a semicircle with radius 6 cm

Worked example

1
$π r^{2} = π \times 6^{2} = 36 π$ — Find the area of the whole circle first: 6² = 36.
2
$A = \frac{1}{2} \times 36 π = 18 π$ — Halve it, because a semicircle is half the circle.
3
$A = 56.548... = 56.5 cm^{2}$ — 18 × π on the calculator, then 3 significant figures.

2. Perimeter of a semicircle with diameter 11 cm

Worked example

1
$π \times 11 = 34.557...$ — The whole circumference is πd.
2
$34.557... \div 2 = 17.278...$ — The curved edge is only half of it.
3
$17.278... + 11 = 28.278...$ — Add the straight edge. The perimeter goes all the way round, and the diameter is part of the edge.
4
$P = 28.3 cm$ — 3 significant figures.

Common mistake

Stopping at 17.3 cm. That is only the curved part. Always add the diameter for a semicircle's perimeter.

Key idea

In terms of π, the two parts cannot be joined: the perimeter above is $\frac{11 π}{2} + 11$ cm.

7. A Circle Inside a Square

في سؤال الأربع درجات تمس الدائرة أضلاع المربع الأربعة، فيكون ضلع المربع مساويًا لقطر الدائرة. هنا سلك يُثنى ليصنع المربع والدائرة معًا، والمطلوب طول السلك كله. السؤال يعطي مساحة المربع، فخذ جذرها التربيعي لتحصل على الضلع، وهو نفسه القطر. ثم احسب محيط الدائرة بضرب القطر في باي، واحسب محيط المربع بضرب الضلع في أربعة، ثم اجمع الطولين لأن السلك صنع الشكلين. الخطأ الشائع: اعتبار الضلع نصف قطر، وهو في الحقيقة القطر كاملًا.

The 4-mark question: a circle touches all four sides of a square. The side of the square is the diameter. Here a wire is bent into a square of area 64 cm² and a circle that touches all four sides of it. Find the total length of wire.

Worked example

1
$square area = 64 cm^{2}$ — The question gives the square's area, not its side.
2
$side = 64 = 8$ — A square's area is side × side, so square root it to get the side.
3
$d = 8$ — The circle touches all four sides, so it stretches right across: diameter = side.
4
$C = π \times 8 = 25.132...$ — The circle's length is its circumference, πd. Keep the full value.
5
$4 \times 8 = 32$ — The square's edge is its perimeter: four sides of 8.
6
$32 + 25.132... = 57.132...$ — The wire makes both shapes, so add the two lengths.
7
$57.1 cm$ — 3 significant figures.

Common mistake

Using 8 as the radius. The circle fits across the square, so 8 is the diameter and the radius is 4.

8. When Two Things Are Equal

بعض الأسئلة تقول إن شيئين متساويان، مثل محيط دائرة ومحيط مربع، أو مساحة دوائر صغيرة ومساحة دائرة كبيرة. اكتب كل شيء بقانونه، ثم ضع بينهما علامة التساوي وحلّ المعادلة. في المثال الأول نحسب محيط الدائرة ونترك باي، ونكتب محيط المربع أربعة أضلاع، ثم نساويهما ونقسم ونبسّط. في المثال الثاني نحسب مساحة الدائرة الصغيرة ونضربها في عددها، ثم نساويها بمساحة الكبيرة، ونقسم على باي، ونأخذ الجذر التربيعي ونرفض القيمة السالبة لأن الطول لا يكون سالبًا. الخطأ الشائع: ضرب نصف القطر في عدد الدوائر؛ المساحات تُجمع، أما أنصاف الأقطار فلا.

Some questions say two things are equal: a circle's length and a square's, or the areas of different circles. Write that as an equation and solve it.

1. A circle has radius 9 cm. A square of side x cm has the same perimeter. Find x in terms of π

Worked example

1
$C = 2 \times π \times 9 = 18 π$ — The circle's length is its circumference. Keep π, because the answer must be in terms of π.
2
$P = 4 x$ — A square has 4 equal sides of x.
3
$4 x = 18 π$ — The question says they are equal, so put an equals sign between them.
4
$x = \frac{18 π}{4} = \frac{9 π}{2}$ — Divide both sides by 4, then simplify 18/4 to 9/2.

2. 25 small circles of radius 2 cm have the same total area as one large circle of radius R cm. Find R

Worked example

1
$π \times 2^{2} = 4 π$ — Area of one small circle: 2² = 4.
2
$25 \times 4 π = 100 π$ — There are 25 of them, so multiply by 25.
3
$π R^{2} = 100 π$ — The large circle's area is the same, so write an equation.
4
$R^{2} = 100$ — Divide both sides by π. The π cancels.
5
$R = \pm 10$ — Square root both sides. Both 10 and −10 square to 100.
6
$R = 10$ — R is a radius, and a length cannot be negative, so reject −10.

Common mistake

Writing 25 × 2 = 50 for the radius. Areas add, radii do not: 25 circles of radius 2 make one of radius 10, not 50.

9. Wheels: Distance and Turns

العجلة تتقدم مسافة تساوي محيطها في كل دورة. لذلك المسافة تساوي عدد الدورات مضروبًا في المحيط، وعدد الدورات يساوي المسافة مقسومة على المحيط. أولًا احسب المحيط من القطر. ثانيًا وحّد الوحدات: حوّل الكيلومتر إلى أمتار ثم إلى سنتيمترات. ثالثًا اقسم المسافة على المحيط. إذا طلب السؤال الدورات الكاملة فقرّب إلى الأسفل، لأن الدورة الأخيرة لم تكتمل. الخطأ الشائع: القسمة دون توحيد الوحدات، فالمتر والسنتيمتر لا يُخلطان.

A wheel moves forward by one circumference each time it turns. Exams ask how far it goes, or how many turns it makes.

Rule

distance = number of turns × circumference

A wheel has diameter 60 cm. How many complete turns does it make in 1 km?

Worked example

1
$C = π \times 60 = 188.495... cm$ — One turn moves the wheel one circumference. The diameter is given, so use πd.
2
$1 km = 1000 m = 100000 cm$ — The units must match. 1 km = 1000 m, and 1 m = 100 cm.
3
$100000 \div 188.495... = 530.5...$ — Turns = distance ÷ distance per turn.
4
$530 complete turns$ — Round down: the 531st turn is not finished, and the question asks for complete turns.

Common mistake

Dividing 1000 by 188.5. Metres and centimetres do not mix: change both to the same unit first.

10. Which Method? Read the Question

ابحث في السؤال عن الكلمة التي تخبرك بالمطلوب. المسافة حول الدائرة أو طول السلك تعني المحيط. المساحة أو الفراغ في الداخل تعني قانون المساحة. إذا أُعطيت المساحة أو المحيط وطُلب نصف القطر ففكّ القانون بالعمليات العكسية. «بدلالة باي» تعني أن تترك باي مكتوبًا. لنصف الدائرة خذ النصف، ولمحيطه أضف القطر. لدورات العجلة اقسم المسافة على المحيط. وإذا كان شيئان متساويين فاكتب معادلة وحلّها. أما جزء من الحافة أو شريحة من المساحة أو الدوائر المتصلة بأشكال أخرى فلها دروس خاصة. وقبل أن تبدأ اسأل نفسك دائمًا: هل هذا العدد نصف قطر أم قطر؟

Find the word that says what they want.

You see	You do
Distance round, length of wire	$C = π d$
Area, space inside	$A = π r^{2}$
Area or C given, find r	undo the formula
“In terms of π”	keep π as a letter, e.g. $100 π$
Half a circle	halve the circle; for perimeter, add the diameter
Wheel turns, distance	distance ÷ circumference
Two things are equal	write an equation and solve it
Only part of the edge	Arc Length
A slice of the area	Area of a Sector
Circles joined to other shapes	Composite Perimeter, Area and Volume

Key idea

Before you start, ask: is this number a radius or a diameter?

تدرّب على محيط الدائرة ومساحتها

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح محيط الدائرة ومساحتها

1. Radius, Diameter and π

2. Circumference: The 2-Mark Question

3. Area: The 2-Mark Question

4. Answers in Terms of π

5. Working Back to the Radius

6. Semicircles

7. A Circle Inside a Square

8. When Two Things Are Equal

9. Wheels: Distance and Turns

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على محيط الدائرة ومساحتها

أسئلة امتحانات سابقة على محيط الدائرة ومساحتها، محلولة ومشروحة بالعربي