شرح مساحة المثلث باستخدام الجيب

Area of a Triangle Using Sine

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Two Sides and the Angle Between

لا تحتاج إلى الارتفاع لحساب مساحة المثلث: يكفي ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، أي الزاوية عند نقطة التقائهما. المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب تلك الزاوية. أولًا تأكد أن الزاوية تقع بين الضلعين، ثم عوّض، واحسب النصف مع الضلعين أولًا، ثم جيب الزاوية بالآلة الحاسبة بنظام الدرجات، واضرب وقرّب لثلاثة أرقام معنوية، والوحدة مربعة لأنها مساحة. السبب: الضلع مضروبًا في جيب الزاوية هو ارتفاع المثلث، فالقانون ما زال نصف القاعدة في الارتفاع.

You do not need the height. Two sides and the angle between them are enough, for any triangle.

Formula

Area = \frac{1}{2} ab sin C

$a$ and $b$ are two sides. $C$ is the angle between them, where they meet.

Worked example

1
$a = 8, b = 11, C = 5 0^{\circ}$ — The 50° is where the 8 and the 11 meet, so it is the angle C that the formula needs.
2
$Area = \frac{1}{2} \times 8 \times 11 \times sin 5 0^{\circ}$ — Put the numbers into the formula.
3
$\frac{1}{2} \times 8 \times 11 = 44$ — Do the half and the two sides first.
4
$sin 5 0^{\circ} = 0.7660$ — Find the sine on the calculator, in degree mode.
5
$44 \times 0.7660 = 33.7 cm^{2}$ — Multiply and give 3 significant figures. It is an area, so the units are squared.

Key idea

Why it works: the height from the top corner is $8 sin 5 0^{\circ}$ , so this is still half the base times the height.

2. Shapes Made of Triangles

السؤال الأكثر شيوعًا: مساحة مضلع أو شكل رباعي، والطريقة تقسيمه إلى مثلثات. في المضلع المنتظم نصل المركز بالرؤوس فنحصل على مثلثات متطابقة، والزاوية عند المركز هي الدورة الكاملة مقسومة على عدد الأضلاع. في السداسي المنتظم كل مثلث متطابق الأضلاع، فالمسافة من المركز إلى الرأس تساوي طول الضلع. نحسب مساحة مثلث واحد بقانون نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية بينهما، ثم نضرب في عدد المثلثات. متوازي الأضلاع مثلثان متساويان، فمساحته حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بدون النصف. الخطأ الشائع استعمال زاوية لا تقع بين الضلعين المختارين.

The most common question, worth up to 6 marks: find the area of a polygon or a four-sided shape. Split it into triangles you can do.

A regular hexagon has sides of 6 cm. Lines from the centre cut it into 6 equal triangles, each with a 60° angle at the centre. For a regular shape with $n$ sides, the angle at the centre is $36 0^{\circ} \div n$ .

Worked example

1
$36 0^{\circ} \div 6 = 6 0^{\circ}$ — The six triangles fill a full turn of 360° around the centre.
2
$centre to corner = 6 cm$ — Each triangle has two equal sides and a 60° angle. Its other two angles are (180° − 60°) ÷ 2 = 60° too, so all its sides are 6 cm.
3
$\frac{1}{2} \times 6 \times 6 \times sin 6 0^{\circ} = 15.59$ — The area of one triangle: two sides of 6 cm with the 60° between them.
4
$6 \times 15.59 = 93.5 cm^{2}$ — There are six of them. Give 3 significant figures.

Key idea

A parallelogram is two equal triangles, so its area is $ab sin C$ with no half: $10 \times 7 \times sin 5 5^{\circ} = 57.3$ .

Common mistake

Using an angle that is not between the two sides you picked. Check the angle sits where those two sides meet.

3. Area Given: Find a Side

هنا يعطيك السؤال المساحة ويطلب طول ضلع. نعوّض ما نعرفه في قانون المساحة: نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية المحصورة، ونجعله مساويًا للمساحة. في المثلث متساوي الساقين الضلعان متساويان، فحاصل ضربهما مربع المجهول. ثم نضرب الطرفين في اثنين للتخلص من النصف، ونقسم على جيب الزاوية، فنحصل على مربع المجهول. أخيرًا نأخذ الجذر التربيعي الموجب لأنه طول، ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع نسيان أخذ الجذر، فالناتج قبل الجذر هو مربع الضلع وليس الضلع.

The 3-mark question gives the area and asks for a side. Put in what you know and solve.

An isosceles triangle has two equal sides of $x$ cm with 120° between them. Its area is 50 cm².

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times x \times x \times sin 12 0^{\circ} = 50$ — Both equal sides are x, with the 120° between them. Make the formula equal to the area.
2
$\frac{1}{2} x^{2} sin 12 0^{\circ} = 50$ — x × x is x².
3
$x^{2} sin 12 0^{\circ} = 100$ — Double both sides to get rid of the half.
4
$x^{2} = \frac{100}{s i n 12 0 ^{\circ}}$ — Divide both sides by sin 120°.
5
$x^{2} = 115.47$ — Work it out. sin 120° = 0.8660.
6
$x = 115.47 = 10.7 cm$ — Take the square root, positive because it is a length, and give 3 significant figures.

Common mistake

Forgetting to square root. 115.47 is $x^{2}$ , not $x$ .

4. Area Given: Find an Angle

أحيانًا تُعطى المساحة والضلعان والمطلوب الزاوية المحصورة بينهما. نعوّض في قانون المساحة فيصبح جيب الزاوية هو المجهول الوحيد. نحسب نصف حاصل ضرب الضلعين، ثم نقسم المساحة عليه لنجد جيب الزاوية، ثم نستعمل معكوس الجيب فنحصل على الزاوية الحادة. والزاوية المكمّلة لها، أي مئة وثمانون درجة مطروحًا منها، تعطي المساحة نفسها، فلا تستعملها إلا إذا قال السؤال إن الزاوية منفرجة أو أظهرها الرسم واسعة. الخطأ الشائع نسيان النصف في القانون، فتخرج زاوية خاطئة.

Sometimes the area and both sides are given, and you must find the angle between them. Put them in the formula and $sin C$ is the only unknown.

A triangle has sides of 9 cm and 14 cm and an area of 40 cm². Find the angle $C$ between the sides.

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 9 \times 14 \times sin C = 40$ — Put the area and the two sides into the formula. C is the angle between the 9 and the 14.
2
$63 sin C = 40$ — Half of 9 × 14 is 63.
3
$sin C = \frac{40}{63} = 0.6349$ — Divide both sides by 63.
4
$C = 39. 4^{\circ}$ — Press inverse sine. This is the acute angle.
5
$C = 18 0^{\circ} - 39. 4^{\circ} = 140. 6^{\circ}$ — The sine of 140.6° is the same, so 140.6° would also give an area of 40 cm². Use it only if the question says the angle is obtuse or the diagram shows it wide.

Common mistake

Forgetting the half. Using 9 × 14 × sin C = 40 gives sin C = 0.3175 and an angle of 18.5°, which is wrong.

5. Which Method? Read the Question

قبل استعمال القانون تأكد أين تقع الزاوية. ضلعان والزاوية بينهما: نصف حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية. مضلع: قسّمه إلى مثلثات. متوازي أضلاع: حاصل ضرب الضلعين في جيب الزاوية بدون النصف. المساحة معطاة والمطلوب ضلع: عوّض ثم حلّ المعادلة. المساحة والضلعان معطاة والمطلوب الزاوية: عوّض واحسب جيب الزاوية ثم معكوس الجيب. إذا أُعطيت القاعدة والارتفاع فاستعمل قانون مساحة المثلث العادي، وللمسافة من رأس إلى ضلع درس أقصر مسافة من نقطة إلى مستقيم. واكتب دائمًا وحدة المساحة مربعة.

Check where the angle is before you use the formula.

You see	You do
Two sides, angle between	use $\frac{1}{2} ab sin C$
A polygon	split it into triangles
A parallelogram	use $ab sin C$
Area given, find a side	put in, then solve
Area and two sides given, find the angle	put in, find sin C, then inverse sine
Base and height given	Area of a Triangle
Area given, then a side or angle	Choosing Between Sine and Cosine Rules
Distance from a corner to a side	Shortest Distance from a Point to a Line

Key idea

Always write the units squared, such as cm².

تدرّب على مساحة المثلث باستخدام الجيب

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح مساحة المثلث باستخدام الجيب

1. Two Sides and the Angle Between

2. Shapes Made of Triangles

3. Area Given: Find a Side

4. Area Given: Find an Angle

5. Which Method? Read the Question

تدرّب على مساحة المثلث باستخدام الجيب

أسئلة امتحانات سابقة على مساحة المثلث باستخدام الجيب، محلولة ومشروحة بالعربي