شرح قانون جيب التمام

The Cosine Rule

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Cosine Rule

نستعمل قاعدة جيب التمام عندما لا يكون في المثلث زاوية قائمة ولا يوجد ضلع معلوم مع زاويته المقابلة: أي عندما نعرف ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة. القاعدة: مربع الضلع المقابل للزاوية يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين مطروحًا منه ضعف حاصل ضربهما في جيب تمام الزاوية. الزاوية تقع بين الضلعين، والضلع المطلوب يقابلها عبر المثلث. إذا كانت الزاوية قائمة فجيب تمامها صفر وتصبح القاعدة نظرية فيثاغورس، فالحد الأخير يصحّح لأن الزاوية ليست قائمة. ومن طرائف التاريخ أن الفرنسيين يسمّونها نظرية الكاشي، نسبة إلى جمشيد الكاشي، عالم الرياضيات الفارسي في سمرقند الذي كتبها قاعدة واضحة في القرن الخامس عشر الميلادي.

Use it when a triangle has no right angle and no side with its facing angle known: two sides and the angle between them, or all three sides.

Formula

a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A

$A$ is the angle between sides $b$ and $c$ . Side $a$ is the one facing it, across the triangle.

Key idea

If $A = 9 0^{\circ}$ , then $cos A = 0$ and the rule becomes Pythagoras. The last part corrects for the angle not being 90°.

Key idea

In France, the cosine rule is called théorème d'Al-Kashi. It is named after Jamshid al-Kashi, a Persian mathematician in Samarkand who wrote it out as a clear rule in 1427.

2. Finding a Side

المطلوب الضلع الثالث وأنت تعرف ضلعين والزاوية بينهما. أولًا سمِّ أضلاع المثلث: الضلعان المحيطان بالزاوية، والضلع المطلوب هو المقابل لها. ثانيًا اكتب القاعدة ثم عوّض. ثالثًا ربّع الضلعين واجمعهما. رابعًا احسب الحد الأخير كاملًا، أي ضعف حاصل ضرب الضلعين في جيب تمام الزاوية، قبل أي طرح. خامسًا اطرح، والناتج هو مربع الضلع وليس الضلع بعد، ثم خذ الجذر الموجب. في أسئلة «أثبت أن» اكتب المربع بمنازل عشرية أكثر ثم الجواب المقرّب. الخطأ الشائع طرح العددين أولًا ثم الضرب في جيب التمام.

The 3-mark question: two sides and the angle between them. Find the third side.

Worked example

1
$b = 7, c = 10, A = 3 8^{\circ}$ — Label the triangle. The 38° is between the 7 and the 10, so those are b and c. The side we want, a, is across from the angle.
2
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ — Write the rule first.
3
$a^{2} = 7^{2} + 1 0^{2} - 2 (7) (10) cos 3 8^{\circ}$ — Put the numbers in.
4
$7^{2} + 1 0^{2} = 49 + 100 = 149$ — Square each side and add them.
5
$2 (7) (10) cos 3 8^{\circ} = 140 \times 0.7880 = 110.32$ — Multiply the whole last part together. Do this before any subtracting.
6
$a^{2} = 149 - 110.32 = 38.68$ — Now subtract. This is a², not a yet.
7
$a = 38.68 = 6.22 cm$ — Take the square root to get a, and keep the positive one because a length cannot be negative.

Key idea

For a “show that” question the answer is given, such as a = 6.22. Write a² with more decimal places, such as 38.68…, then the rounded answer. Keep full calculator values until the end.

Common mistake

Working out $149 - 140$ first and then multiplying by cos. Work out $140 cos 3 8^{\circ}$ first, then subtract.

3. When the Angle Is Obtuse

إذا كانت الزاوية بين الضلعين أكبر من قائمة، أي منفرجة، فجيب تمامها سالب، فيلتقي السالب الذي في القاعدة بسالب آخر، وهنا تضيع الدرجات. نعوّض كالعادة، ونضع العدد السالب بين قوسين حتى لا تضيع إشارته. سالب في سالب يعطي موجبًا، فالحد الأخير يُضاف ولا يُطرح. ثم نأخذ الجذر ونقرّب لثلاثة أرقام معنوية. للتحقق: الضلع المقابل لأكبر زاوية يجب أن يكون الأطول. الخطأ الشائع طرح الحد الأخير، فيخرج ضلع أقصر من أحد الضلعين الآخرين، وهذا مستحيل مقابل زاوية منفرجة.

If the angle between the two sides is more than 90°, its cosine is negative. Then the minus in the rule meets another minus. This is where marks are lost.

Worked example

1
$b = 9, c = 12, A = 12 5^{\circ}$ — The 125° is between the 9 and the 12, so a is the side across from it.
2
$a^{2} = 9^{2} + 1 2^{2} - 2 (9) (12) cos 12 5^{\circ}$ — Write the rule with the numbers in.
3
$cos 12 5^{\circ} = - 0.5736$ — An angle over 90° has a negative cosine. The calculator shows the minus.
4
$a^{2} = 225 - 216 \times (- 0.5736)$ — 81 + 144 = 225 and 2 × 9 × 12 = 216. Put the negative number in brackets so its sign is not lost.
5
$a^{2} = 225 + 123.9 = 348.9$ — A minus times a minus is a plus, so the 123.9 is added, not subtracted.
6
$a = 348.9 = 18.7 cm$ — Take the square root and give 3 significant figures.
7
$18.7 > 12 > 9$ — Check it. The side across from the biggest angle must be the longest, and it is.

Common mistake

Subtracting the 123.9. That gives 10.1 cm, which is shorter than the 12 cm side. A side across from an obtuse angle is always the longest, so the answer must be bigger.

4. Finding an Angle From Three Sides

عندما تُعطى الأضلاع الثلاثة نعيد ترتيب قاعدة جيب التمام ليصبح جيب تمام الزاوية وحده: مجموع مربعي الضلعين المحيطين بالزاوية مطروحًا منه مربع الضلع المقابل، والكل مقسوم على ضعف حاصل ضرب الضلعين المحيطين. أكبر زاوية تقابل أطول ضلع، فنجعل أطول ضلع هو المقابل ويأتي مربعه أخيرًا مع إشارة السالب. نربّع ونحسب، ولا مشكلة إذا كان البسط سالبًا. ثم نستعمل معكوس جيب التمام؛ والقيمة السالبة تعطي زاوية منفرجة، وهذا منطقي لأكبر زاوية. بعدها يمكن إيجاد زاوية ثانية بقاعدة الجيب، والثالثة بالطرح من مئة وثمانين درجة.

The 3-mark question gives all three sides. Rearrange the rule so the cosine is on its own.

Formula

cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}

Sides of 6 cm, 9 cm and 13 cm. Find the largest angle. It faces the longest side, so $a = 13$ .

Worked example

1
$a = 13, b = 6, c = 9$ — The largest angle faces the longest side, so the 13 is a. The other two sides are b and c.
2
$cos A = \frac{6 ^{2} + 9 ^{2} - 1 3 ^{2}}{2 \times 6 \times 9}$ — Put the sides into the rearranged rule. The squared side a goes last, with the minus.
3
$cos A = \frac{36 + 81 - 169}{108}$ — Square each side, and 2 × 6 × 9 = 108.
4
$cos A = \frac{- 52}{108}$ — 36 + 81 = 117, and 117 − 169 = −52. A negative top is fine.
5
$cos A = - 0.4815$ — Divide.
6
$A = cos^{- 1} (- 0.4815) = 118. 8^{\circ}$ — Press inverse cosine. A negative cosine gives an angle over 90°, which is right for the largest angle.

Key idea

Found the largest angle? Find the next one with the sine rule, then the third by taking both away from 180°. Only the largest angle can be obtuse, so the sine rule gives just one answer.

Key idea

A negative cosine means the angle is obtuse, over 90°. The calculator handles it for you.

5. When the Sides Are in Algebra

هنا الأضلاع تعابير جبرية والزاوية ستون درجة، وجيب تمامها نصف تمامًا، فنحصل على معادلة بلا كسور عشرية. نعوّض في قاعدة جيب التمام، والضلع المعلوم المقابل للزاوية يأخذ مكان الضلع المقابل. ثم نفك الأقواس، وانتبه أن السالب أمام القوس الأخير يغيّر إشارتي حديه. نجمع الحدود المتشابهة وننقل كل شيء لطرف واحد فنحصل على معادلة تربيعية، ثم نحللها إلى عاملين ونجعل كل عامل صفرًا. نرفض الحل السالب لأن الطول لا يكون سالبًا. أخيرًا المطلوب المحيط، فنعوّض ونجمع الأضلاع الثلاثة. الخطأ الشائع التوقف عند قيمة المجهول.

The 5-mark question: the sides are expressions and the angle is 60°. Use $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ to make an equation.

Sides $x$ and $x + 7$ have 60° between them. The side facing it is 13 cm. Find the perimeter.

Worked example

1
$1 3^{2} = x^{2} + (x + 7)^{2} - 2 (x) (x + 7) cos 6 0^{\circ}$ — The 60° is between x and x + 7, and 13 is across from it, so 13 plays the part of a.
2
$1 3^{2} = x^{2} + (x + 7)^{2} - 2 (x) (x + 7) \times \frac{1}{2}$ — cos 60° is exactly ½, so there are no decimals.
3
$169 = x^{2} + (x + 7)^{2} - x (x + 7)$ — 13² = 169, and 2 × ½ = 1.
4
$169 = x^{2} + (x^{2} + 14 x + 49) - (x^{2} + 7 x)$ — Expand each bracket. The minus in front of the last one changes both of its signs.
5
$169 = x^{2} + 7 x + 49$ — Collect like terms: x² + x² − x² = x², and 14x − 7x = 7x.
6
$x^{2} + 7 x - 120 = 0$ — Take 169 from both sides, so 49 − 169 = −120.
7
$(x - 8) (x + 15) = 0$ — Factorise: the numbers multiply to −120 and add to 7, so −8 and 15.
8
$x = 8 or x = - 15$ — Each bracket can be zero.
9
$x = 8$ — Reject −15. A length cannot be negative.
10
$8 + (8 + 7) + 13 = 36 cm$ — The perimeter is all three sides: x = 8, x + 7 = 15 and the 13.

Common mistake

Stopping at $x = 8$ . The question asks for the perimeter, so add all three sides.

6. Which Method? Read the Question

ابحث أولًا عن ضلع مع الزاوية المقابلة له. ضلعان والزاوية بينهما: قاعدة جيب التمام لإيجاد الضلع الثالث. ثلاثة أضلاع والمطلوب زاوية: قاعدة جيب التمام بعد إعادة ترتيبها. أكبر زاوية: تقابل أطول ضلع. ضلع والزاوية المقابلة له: ارجع إلى درس قاعدة الجيب. أكثر من خطوة: ارجع إلى درس الاختيار بين قاعدتي الجيب وجيب التمام. نصيحة: سمِّ الزاوية التي تستعملها والضلع المقابل لها أولًا، وعندها لن تخطئ في القاعدة.

Look for a side and the angle facing it.

You see	You do
Two sides and the angle between	cosine rule for the third side
Three sides, find an angle	cosine rule rearranged
Largest angle	it faces the longest side
A side and the angle facing it	The Sine Rule
More than one step	Choosing Between Sine and Cosine Rules

Key idea

Label the angle you use $A$ and the side across from it $a$ first. Then the rule cannot go wrong.

تدرّب على قانون جيب التمام

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح قانون جيب التمام

1. The Cosine Rule

2. Finding a Side

3. When the Angle Is Obtuse

4. Finding an Angle From Three Sides

5. When the Sides Are in Algebra

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على قانون جيب التمام

أسئلة امتحانات سابقة على قانون جيب التمام، محلولة ومشروحة بالعربي