شرح المتتابعات الحسابية في المسائل

Arithmetic Progressions in Problems

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The AP toolkit

في المتتالية الحسابية نضيف العدد نفسه كل مرة، ويسمى هذا العدد الأساس أو الفرق المشترك، وقد يكون سالبًا. أما إذا ضربنا في العدد نفسه فهي متتالية هندسية لها درسها. عندنا ثلاث صيغ: الحد العام يساوي الحد الأول مضافًا إليه الفرق مضروبًا في عدد يقل عن رتبة الحد بواحد؛ ومجموع أول عدد من الحدود بصيغته الطويلة؛ وصيغة قصيرة عندما تعرف الحد الأخير: عدد الحدود في متوسط الحدّين الأول والأخير. في مثال المسرح نسمّي الحد الأول والفرق وعدد الصفوف أولًا، ثم نجد عدد مقاعد الصف الأخير، ثم نستخدم الصيغة القصيرة للمجموع. انتبه: الحد العام حد واحد، والمجموع حصيلة متراكمة؛ اقرأ أيهما يعطيك السؤال.

A theatre has 20 seats in the front row, and each row behind has 2 more seats. How many seats in row 15? How many seats in total? These are the two big AP questions: one term, and a running total.

In an arithmetic progression (AP) you add the same number each time. That number is the common difference $d$ . If you multiply by the same number instead, it is a geometric progression, which has its own lesson.

Formula

u_{n} = a + (n - 1) d

$a$ — the first term.
$d$ — the common difference: any term minus the term before it. It can be negative.
$n$ — the position of the term. The nth term has $n - 1$ jumps of $d$ after the first term.

Formula

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

$n$ — how many terms you add.
$a$ — the first term.
$d$ — the common difference.

If you know the last term, there is a shorter form. The sum is the number of terms times the average of the first and last.

Formula

S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)

$a$ — the first term.
$l$ — the last term you add, which is $u_{n}$ .

Rule

0606 and 4037 print all three formulas in the List of formulas. 4PM1 prints only $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$ , so learn the nth term and the $\frac{n}{2} (a + l)$ form.

Worked example

1
A theatre has 20 seats in row 1, and each row has 2 more seats than the row in front. There are 15 rows. Find the number of seats in row 15 and the total number of seats.
2
$a = 20, d = 2, n = 15$ — Name the three values first.
3
$u_{15} = 20 + 14 \times 2 = 48$ — Row 15 is 14 jumps of 2 after row 1.
4
$S_{15} = \frac{15}{2} (20 + 48)$ — You know the first and last terms, so use the short form.
5
$= 7.5 \times 68 = 510$ — 510 seats in total.

Key idea

$u_{n}$ is one single term. $S_{n}$ is a running total. Read carefully which one the question gives you.

2. Two facts, two equations

معظم أسئلة المتتالية الحسابية تعطيك معلومتين وتطلب الحد الأول والفرق. كل معلومة تصبح معادلة بدلالة هذين المجهولين، ثم تحلّ المعادلتين معًا بالتعويض أو الحذف. في المثال الأول نكتب الحد السابع على أنه ضعف الحد الثالث فنجد علاقة بين الحد الأول والفرق، ثم نكتب مجموع أول اثني عشر حدًا ونبسّطه ونعوّض. وانتبه لعبارة «العشرة الحدود التالية»: هي من الحادي عشر إلى العشرين، فمجموع أول عشرين حدًا هو مجموع الكتلتين معًا. الخطأ الشائع: كتابة الحد السابع بإضافة الفرق سبع مرات، والصحيح ست مرات لأن الحد الأول محسوب. اكتب كل معادلة في سطر مستقل، فلكل معادلة صحيحة درجة.

Most AP questions give you two facts and want $a$ and $d$ . Each fact becomes one equation. Then you solve the pair together.

Steps

1
1. Write each fact using $u_{n}$ or $S_{n}$ , in terms of $a$ and $d$ .
2. Simplify each equation.
3. Solve the two equations together (substitute or eliminate).

Worked example

1
In an AP, the 7th term is twice the 3rd term. The sum of the first 12 terms is 270. Find $a$ and $d$ .
2
$a + 6 d = 2 (a + 2 d)$ — 7th term = 2 × 3rd term.
3
$a = 2 d$ — Expand to a + 6d = 2a + 4d, then collect: 2d = a.
4
$\frac{12}{2} (2 a + 11 d) = 270$ — Sum of the first 12 terms.
5
$2 a + 11 d = 45$ — Divide both sides by 6.
6
$4 d + 11 d = 45$ — Substitute a = 2d.
7
$d = 3, a = 6$ — 15d = 45, and a = 2 × 3.

Watch the wording with sums. "The next 10 terms" means the 11th to the 20th terms, which is $S_{20} - S_{10}$ .

Worked example

1
The sum of the first 10 terms of an AP is 155. The sum of the next 10 terms is 455. Find $a$ and $d$ .
2
$5 (2 a + 9 d) = 155 \Rightarrow 2 a + 9 d = 31$ — The first 10 terms.
3
$S_{20} = 155 + 455 = 610$ — The first 20 terms are the first 10 plus the next 10.
4
$10 (2 a + 19 d) = 610 \Rightarrow 2 a + 19 d = 61$ — Use the sum formula with n = 20.
5
$10 d = 30 \Rightarrow d = 3$ — Subtract the first equation from the second.
6
$2 a + 27 = 31 \Rightarrow a = 2$ — Put d = 3 back in.

Common mistake

Writing the 7th term as $a + 7 d$ . The first term already counts as one term, so the 7th term is $a + 6 d$ .

Common mistake

Using 455 as $S_{20}$ . "The next 10 terms" is only the second block. Add the first block to get $S_{20}$ .

Key idea

Write each equation clearly on its own line. Examiners give a mark for each correct equation, even if a later step slips.

3. How many terms?

أحيانًا يكون المجهول هو عدد الحدود. إذا عرفت الحد الأخير فاجعله مساويًا لصيغة الحد العام وحلّ لتجد عدد الحدود، ثم استخدم الصيغة القصيرة للمجموع. أما سؤال «أقل عدد من الحدود» ليتجاوز المجموع رقمًا معينًا، فاكتب صيغة المجموع أكبر من ذلك الرقم، فتحصل على متباينة تربيعية في عدد الحدود. حلّ المعادلة المقابلة بالقانون العام وأهمل الجذر السالب، ثم قرّب إلى الأعلى لأن عدد الحدود عدد صحيح، وتحقق بحساب المجموع قبله وعنده. الخطأ الشائع: التقريب إلى الأسفل، فيبقى المجموع أقل من المطلوب. واكتب المعادلة التربيعية دائمًا حتى لو حللتها بالآلة الحاسبة، فتكوينها عليه درجة.

Some questions ask how many terms there are, or the least number of terms for a sum to pass a target. Here the unknown is $n$ .

If you know the last term, use the nth term formula to find $n$ .

Worked example

1
Find the sum of the AP $7 + 11 + 15 + \dots + 203$ .
2
$7 + (n - 1) \times 4 = 203$ — The last term is the nth term.
3
$n - 1 = 49 \Rightarrow n = 50$ — 196 ÷ 4 = 49.
4
$S_{50} = \frac{50}{2} (7 + 203) = 5250$ — First and last terms known: short form.

For "least number of terms", write $S_{n}$ greater than the target. This gives a quadratic inequality in $n$ . Solve the matching equation, then round up.

Worked example

1
An AP has first term 5 and common difference 4. Find the least number of terms for the sum to be greater than 2000.
2
$\frac{n}{2} [10 + 4 (n - 1)] > 2000$ — Put a = 5 and d = 4 into the sum formula.
3
$n (2 n + 3) > 2000$ — Simplify the bracket: 10 + 4n − 4 = 4n + 6, and half of it is 2n + 3.
4
$2 n^{2} + 3 n - 2000 > 0$ — Expand and move 2000 across.
5
$n = \frac{- 3 + 16009}{4} = 30.88 \dots$ — Solve 2n² + 3n − 2000 = 0 with the quadratic formula. Ignore the negative root.
6
$n = 31$ — n is a whole number, so round up. Check: S₃₀ = 1890 and S₃₁ = 2015.

Common mistake

Rounding 30.88 down to 30. $S_{30} = 1890$ is still below 2000. For "greater than", always round up, then check.

Rule

On a calculator paper you may solve the quadratic on your calculator, but write the quadratic first. Forming it earns the method mark.

Key idea

Unknown $n$ ? Use $u_{n}$ if you know the last term. Use $S_{n}$ and an inequality if you know the target total.

4. Context and log terms

المسائل الحياتية هي نفس الرياضيات مع كلمات حولها: حدّد ما هو الحد الأول، وما هو الفرق، وماذا يعدّ عدد الحدود. في مثال الراتب: راتب السنة الثالثة هو الحد الثالث وراتب السنة الثامنة هو الحد الثامن، فنكتب معادلتين ونطرحهما لنجد الفرق ثم الحد الأول، ثم نستخدم صيغة المجموع. وبعض المتتاليات مكوّنة من لوغاريتمات: باستخدام قانون القوة يصبح لوغاريتم مربع العدد ضعف لوغاريتمه، فكل حد يزيد بلوغاريتم ثابت، وهذا هو الفرق. في الورقة بلا آلة حاسبة اترك الإجابة بالصورة الدقيقة مضروبة في اللوغاريتم. الخطأ الشائع: البدء بالعدّ من الصفر؛ السنة الأولى هي الحد الأول.

Problems in context are the same maths with words around them. Decide what the first term is, what the difference is, and what $n$ counts.

Worked example

1
A worker's salary goes up by the same amount every year. In year 3 it is 27 600 dollars and in year 8 it is 33 600 dollars. Find the total salary for the first 10 years.
2
$a + 2 d = 27600$ — Year 3 is the 3rd term.
3
$a + 7 d = 33600$ — Year 8 is the 8th term.
4
$5 d = 6000 \Rightarrow d = 1200$ — Subtract the first equation from the second.
5
$a = 27600 - 2400 = 25200$ — Put d back into the first equation.
6
$S_{10} = 5 (50400 + 10800) = 306000$ — Use the sum formula with n = 10.

Some APs are made of logs. Recall that $ln 9 = ln 3^{2} = 2 ln 3$ . So each term below is the one before plus $ln 3$ .

Worked example

1
Show that $ln 3 + ln 9 + ln 27 + \dots$ is an AP, and find the sum of the first 20 terms in the form $k ln 3$ .
2
$ln 3, 2 ln 3, 3 ln 3, \dots$ — Power law on each term: 9 = 3², 27 = 3³.
3
$d = ln 3$ — Each term is the one before plus ln 3, so it is an AP.
4
$S_{20} = \frac{20}{2} [2 ln 3 + 19 ln 3]$ — a = ln 3 and d = ln 3.
5
$= 10 \times 21 ln 3 = 210 ln 3$ — Collect the ln 3 terms.

Rule

On 0606 Paper 1 there is no calculator. Leave log answers exact, like $210 ln 3$ .

Common mistake

Counting from 0 in a context. Year 1 is the first term, so year 8 is $a + 7 d$ , not $a + 8 d$ .

Key idea

Strip away the story: find $a$ , $d$ and what $n$ counts. Then it is the same AP you already know.

5. Which method? Read the question

صياغة السؤال تخبرك بالصيغة والطريقة. إذا أُعطي حد معين مثل «الحد السابع» فاستخدم صيغة الحد العام. إذا أُعطي «مجموع أول عدد من الحدود» فاستخدم صيغة المجموع. إذا عرفت الحدّين الأول والأخير فاستخدم الصيغة القصيرة. معلومتان والمطلوب الحد الأول والفرق: معادلتان تُحلّان معًا. «العشرة الحدود التالية»: مجموع العشرين ناقص مجموع العشرة. «أقل عدد من الحدود»: متباينة في عدد الحدود ثم حلّ وتقريب إلى الأعلى. حدود من اللوغاريتمات: قانون القوة ثم أوجد الفرق. الخطأ الشائع الخلط بين الحد الواحد والمجموع. سمِّ الحد الأول والفرق وعدد الحدود أولًا.

The wording tells you which formula and which method to use.

You see	You do
A term given, like "the 7th term is…"	$u_{n} = a + (n - 1) d$
"The sum of the first n terms is…"	$S_{n} = \frac{n}{2}$ $[2 a + (n - 1) d]$
First and last terms known	$S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)$
Two facts, find $a$ and $d$	Two equations, solve together
"The next 10 terms"	$S_{20} - S_{10}$
"Least number of terms"	Inequality in $n$ , solve, round up
Terms made of logs	Power law, then find $d$

Common mistake

Mixing up $u_{n}$ and $S_{n}$ . One is a single term, the other is a total.

Key idea

Name $a$ , $d$ and $n$ first. Every AP question gets easier once those three are clear.

تدرّب على المتتابعات الحسابية في المسائل

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المتتابعات الحسابية في المسائل

1. The AP toolkit

2. Two facts, two equations

3. How many terms?

4. Context and log terms

5. Which method? Read the question

تدرّب على المتتابعات الحسابية في المسائل

أسئلة امتحانات سابقة على المتتابعات الحسابية في المسائل، محلولة ومشروحة بالعربي