شرح ترميز سيجما

Sigma Notation

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Reading Σ

كتابة مجموع طويل حدًّا حدًّا تأخذ سطرًا كاملًا، لذلك نستخدم رمز المجموع (سيجما)، وهو الحرف الإغريقي المقابل لحرف «الميم» الأول من كلمة مجموع. تحت الرمز نكتب العدّاد وقيمته الأولى، وفوقه القيمة التي يتوقف عندها، وبجانبه القاعدة التي تصنع كل حد. اقرأه هكذا: عوّض العدّاد بالقيمة الأولى في القاعدة، ثم بالعدد الصحيح التالي، وهكذا حتى القيمة العليا، ثم اجمع كل النتائج. في المثال نعوّض بالأعداد من واحد إلى خمسة ونجمع الحدود الخمسة. وتذكّر: عدد الحدود يساوي القيمة العليا ناقص السفلى زائد واحد، لأن الطرفين محسوبان. الخطأ الشائع نسيان هذا الواحد.

Writing $2 + 5 + 8 + 11 + \dots$ all the way to the 50th term takes a whole line. Mathematicians use a short code instead. The code is the Greek capital letter sigma, $Σ$ , which is their letter S, for "sum".

Formula

r = 1 \sum n f (r)

$f (r)$ — the rule that makes each term, such as $3 r - 1$ .
$r = 1$ — the counter $r$ and the value it starts at.
$n$ — the value the counter stops at.

Read it as: "put $r = 1$ into the rule, then $r = 2$ , then $r = 3$ , and so on up to $n$ . Add all the results." The counter can be any letter, such as $r$ , $k$ or $j$ .

Worked example

1
Write out $\sum_{r = 1}^{5} (3 r - 1)$ and find its value.
2
$r = 1 : 3 (1) - 1 = 2$ — Put the start value into the rule.
3
$r = 2, 3, 4, 5 : 5, 8, 11, 14$ — Keep going, one whole number at a time, up to 5.
4
$2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40$ — Add all five terms.

Rule

Number of terms = top − bottom + 1. For example, $\sum_{r = 4}^{12}$ has $12 - 4 + 1 = 9$ terms. The +1 is there because both ends count.

Key idea

The Swiss mathematician Leonhard Euler began using $Σ$ for sums in the 1750s. Mathematicians around the world still use his symbol.

Key idea

$Σ$ is just a short way to say: list the terms from the bottom value to the top value, then add them.

2. Spot the AP or GP

قبل جمع مجموع طويل، اعرف نوع المتسلسلة داخل رمز المجموع من طريقة ظهور العدّاد في القاعدة. إذا كان العدّاد مضروبًا في عدد فهي متسلسلة حسابية، والفرق هو العدد المضروب في العدّاد. وإذا كان العدّاد في الأس فهي هندسية، والنسبة هي العدد المرفوع للقوة. لإيجاد الحد الأول عوّض دائمًا بالقيمة السفلى للعدّاد في القاعدة، ثم أوجد الحد الثاني بالطريقة نفسها لتتحقق من الفرق أو النسبة. الخطأ الشائع: أخذ العدد الثابت وحده على أنه الحد الأول، أو أخذ المعامل أمام القوة على أنه الحد الأول؛ الحد الأول يأتي فقط من التعويض بالقيمة السفلى.

To add up a long sigma sum, first find out what kind of series is inside. Look at how the counter appears in the rule.

Counter times a number: $\sum (4 r + 3)$

Each term goes up by 4. It is an arithmetic series with $d = 4$ .

Counter in a power: $\sum 5 (2)^{k - 1}$

Each term is 2 times the one before. It is a geometric series with ratio 2.

Rule

To find the first term, always put the bottom value of the counter into the rule. Then find the second term the same way to check $d$ or the ratio.

Worked example

1
Find the first term and common difference of the arithmetic series $\sum_{r = 1}^{n} (4 r + 3)$ .
2
$r = 1 : 4 + 3 = 7$ — First term a = 7.
3
$r = 2 : 8 + 3 = 11$ — Second term.
4
$d = 11 - 7 = 4$ — The common difference is the number in front of r.

Worked example

1
Find the first term and common ratio of the geometric series $\sum_{k = 1}^{n} 3 (2)^{k}$ .
2
$k = 1 : 3 \times 2^{1} = 6$ — First term a = 6, not 3.
3
$k = 2 : 3 \times 2^{2} = 12$ — Second term.
4
$ratio = 12 \div 6 = 2$ — The common ratio is the number being raised to the power.

Common mistake

Taking the number on its own as the first term. In $\sum_{r = 1}^{n} (4 r + 3)$ the first term is 7, not 3. In $\sum_{k = 1}^{n} 3 (2)^{k}$ it is 6, not 3.

Key idea

Put in the bottom value for the first term. Then the number in front of $r$ is $d$ , or the base of the power is the ratio.

3. Evaluate a sum from 1

بعد معرفة نوع المتسلسلة استخدم صيغة مجموعها، وكلتا الصيغتين في ورقة القوانين. في الحسابية: أوجد الحد الأول بالتعويض بالقيمة السفلى، والفرق هو العدد أمام العدّاد، ثم عوّض في صيغة المجموع وبسّط. في سؤال «بيّن أن» يجب أن تكتب سطر التعويض في الصيغة وتصل إلى العبارة المعطاة تمامًا، لا أن تحسب بعض الحدود. وإذا أُعطي المجموع عددًا وطُلب عدد الحدود، فساوِ العبارة بالعدد لتحصل على معادلة تربيعية، وارفض الجذر السالب لأن عدد الحدود عدد صحيح موجب. في الهندسية أوجد الحد الأول والنسبة وعدد الحدود ثم استخدم صيغة المجموع. احذر: لا تخلط بين العدّاد ورمز النسبة.

Once you know the type of series, use its sum formula. Both are on the 4PM1 formulae sheet.

Formula

S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]

$a$ — the first term, from the bottom value.
$d$ — the common difference.
$n$ — the number of terms.

Formula

S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}

$a$ — the first term of the geometric series.
$r$ — here r is the common ratio, not the counter. Use a different counter letter, like k, to avoid a mix-up.

Worked example

1
Show that $\sum_{r = 1}^{n} (5 r - 2) = \frac{n}{2} (5 n + 1)$ .
2
$a = 5 (1) - 2 = 3, d = 5$ — First term from r = 1. The number in front of r is d.
3
$S_{n} = \frac{n}{2} [6 + 5 (n - 1)]$ — Put a and d into the sum formula. Show this line: it earns the method mark.
4
$= \frac{n}{2} (5 n + 1)$ — Simplify inside the bracket: 6 + 5n − 5 = 5n + 1.

Worked example

1
Given that $\sum_{r = 1}^{n} (5 r - 2) = 366$ , find $n$ .
2
$\frac{n}{2} (5 n + 1) = 366$ — Use the result you just showed.
3
$5 n^{2} + n - 732 = 0$ — Multiply by 2 and expand.
4
$(n - 12) (5 n + 61) = 0$ — Factorise, or use the quadratic formula.
5
$n = 12$ — n must be a positive whole number, so reject the negative root.

Worked example

1
Evaluate $\sum_{k = 1}^{6} 2 (3)^{k}$ .
2
$a = 2 \times 3 = 6, ratio = 3, n = 6$ — First term from k = 1. The base of the power is the ratio.
3
$S_{6} = \frac{6 ( 3 ^{6} - 1 )}{3 - 1}$ — The ratio is bigger than 1, so multiply the top and bottom of the formula by −1. You get the same sum, with no minus signs.
4
$= 3 \times 728 = 2184$ — 3⁶ = 729, and 6 ÷ 2 = 3.

Common mistake

Answering a "show that" by working out a few terms. You must use the sum formula with $a$ and $d$ , and reach the exact expression given.

Key idea

Find the first term, then $d$ or the ratio, then the number of terms. After that it is just the sum formula.

4. Sums that start later

ليس كل مجموع يبدأ من واحد. لجمع الحدود من رتبة معينة إلى رتبة أعلى، خذ المجموع حتى الرتبة العليا، ثم اطرح الحدود التي لا تريدها، أي المجموع حتى الرتبة التي تسبق القيمة السفلى مباشرة. في المثال نحسب مجموع الأربعين حدًا الأولى ونطرح منه مجموع العشرين الأولى باستخدام الصيغة التي أثبتناها. ويمكن أيضًا جمع الكتلة مباشرة: أوجد أول حد فيها وآخر حد وعدد حدودها، ثم استخدم الصيغة القصيرة. وفي المتسلسلة الهندسية يأتي الحد الأول من التعويض بالقيمة السفلى. الخطأ الشائع: طرح المجموع حتى القيمة السفلى نفسها، فيضيع حد تحتاجه.

Not every sum starts at 1. To add terms 21 to 40, take the sum up to 40, then remove the terms you do not want: the first 20.

Formula

r = k \sum m f (r) = S_{m} - S_{k - 1}

$m$ — the top value. Add everything up to here.
$k$ — the bottom value. Remove everything before it, which is up to $k - 1$ .

Worked example

1
Evaluate $\sum_{r = 21}^{40} (5 r - 2)$ .
2
$S_{40} - S_{20}$ — Terms 21 to 40: all 40 terms, minus the first 20.
3
$S_{40} = \frac{40}{2} (5 \times 40 + 1) = 4020$ — Use the result you showed in the last step, $S_{n} = \frac{n}{2} (5 n + 1)$ , with n = 40.
4
$S_{20} = \frac{20}{2} (5 \times 20 + 1) = 1010$ — Same formula with n = 20.
5
$4020 - 1010 = 3010$ — Subtract.

You can also add the block directly. Find its first term, its last term, and how many terms it has.

Worked example

1
Check the same sum directly.
2
$r = 21 : 103, r = 40 : 198$ — First and last terms of the block.
3
$40 - 21 + 1 = 20 terms$ — Top − bottom + 1.
4
$\frac{20}{2} (103 + 198) = 3010$ — The same answer.

Worked example

1
Evaluate $\sum_{k = 4}^{9} 2^{k}$ .
2
$a = 2^{4} = 16, ratio = 2$ — First term from the bottom value, k = 4.
3
$9 - 4 + 1 = 6 terms$ — Count the terms.
4
$S = \frac{16 ( 2 ^{6} - 1 )}{2 - 1} = 16 \times 63 = 1008$ — GP sum with n = 6.

Common mistake

Writing $S_{40} - S_{21}$ . That also removes the 21st term, which you need. Subtract the sum up to one before the bottom value.

Key idea

Sum from $k$ to $m$ : everything up to $m$ , minus everything up to $k - 1$ .

5. Write a sum in Σ form

أحيانًا نسير في الاتجاه المعاكس: لدينا متسلسلة ونريد كتابتها برمز المجموع. نحتاج شيئين: قاعدة الحد العام، وعدد الحدود. في الحسابية أوجد الحد الأول والفرق، واكتب صيغة الحد العام وبسّطها، وتحقق بالتعويض بواحد أن الناتج هو الحد الأول. ثم ساوِ القاعدة بالحد الأخير لتعرف رتبته، فهي القيمة العليا. وفي الهندسية القاعدة هي الحد الأول في النسبة مرفوعة لأس يقل عن العدّاد بواحد، وقد تُكتب بصورة مكافئة. وإذا كانت القيمة العليا «ما لا نهاية» فهو مجموع إلى ما لا نهاية، ولا يوجد إلا إذا كانت النسبة بين سالب واحد وواحد. الخطأ الشائع: وضع الحد الأول نفسه كعدد ثابت في القاعدة.

Sometimes you go the other way: you have a series and must write it with $Σ$ . You need two things: a rule for the rth term, and the number of terms.

Worked example

1
Write $8 + 13 + 18 + \dots + 98$ in sigma notation.
2
$a = 8, d = 5$ — Each term is 5 more than the one before.
3
$u_{r} = 8 + 5 (r - 1) = 5 r + 3$ — nth term formula, simplified. Check: r = 1 gives 8.
4
$5 r + 3 = 98 \Rightarrow r = 19$ — Find which term is the last one.
5
$\sum_{r = 1}^{19} (5 r + 3)$ — Rule inside, from 1 up to 19.

Worked example

1
Write the first 10 terms of the geometric series $6 + 9 + 13.5 + \dots$ in sigma notation.
2
$a = 6, ratio = \frac{3}{2}$ — 9 ÷ 6 = 1.5.
3
$u_{k} = 6 (\frac{3}{2})^{k - 1}$ — nth term of a geometric series: first term times ratio to the power k − 1.
4
$\sum_{k = 1}^{10} 6 (\frac{3}{2})^{k - 1}$ — Rule inside, from 1 up to 10.
5
$= \sum_{k = 1}^{10} 4 (\frac{3}{2})^{k}$ — The same sum: 6 ÷ 1.5 = 4, so one extra power of 1.5 is balanced by 4 in front.

An $\infty$ on top means the sum to infinity. It exists only when the ratio is between −1 and 1.

Worked example

1
Evaluate $\sum_{k = 1}^{\infty} 12 (\frac{1}{3})^{k}$ .
2
$a = 12 \times \frac{1}{3} = 4, ratio = \frac{1}{3}$ — First term from k = 1.
3
$\frac{1}{3} < 1$ — The ratio is between −1 and 1, so the sum to infinity exists.
4
$S_{\infty} = \frac{4}{1 - \frac{1}{3}} = 6$ — Use a ÷ (1 − ratio).

Common mistake

Using the first term as the number in the rule. For $8 + 13 + 18 + \dots$ the rule is $5 r + 3$ , not $5 r + 8$ . Always check by putting $r = 1$ in.

Key idea

To write a Σ: find the rule for the rth term, check it with $r = 1$ , then find which term is the last.

6. Which method? Read the question

شكل المجموع وصياغة السؤال يخبرانك بما تفعل. العدّاد مضروب في عدد: متسلسلة حسابية، الحد الأول من القيمة السفلى والفرق هو العدد أمام العدّاد. العدّاد في الأس: هندسية، والنسبة هي الأساس. «بيّن أن المجموع يساوي»: أوجد الحد الأول والفرق أو النسبة، واستخدم صيغة المجموع وبسّط. المجموع يساوي عددًا والمطلوب عدد الحدود: معادلة تربيعية، خذ الحل الصحيح الموجب. القيمة السفلى ليست واحدًا: اطرح المجاميع أو اجمع الكتلة مباشرة. ما لا نهاية في الأعلى: تحقق من النسبة ثم الصيغة. «اكتب برمز المجموع»: قاعدة الحد العام ثم عدد الحدود. اكتب أول حدّين دائمًا، فهما يكشفان النوع.

The shape of the sum and the wording tell you what to do.

You see	You do
Counter times a number	Arithmetic, like $\sum (4 r + 3)$ : first term from the bottom value, $d$ = number in front
Counter in a power	Geometric, like $\sum 3 (2)^{k}$ : first term from the bottom value, ratio = base
"Show that the sum = …"	Find $a$ and $d$ (or the ratio), use the sum formula, simplify
Sum equals a number, find $n$	Quadratic in $n$ , keep the positive whole answer
Bottom value is not 1	$S_{m} - S_{k - 1}$ , or add the block directly
$\infty$ on top	Check the ratio is between −1 and 1, then $\frac{a}{1 - r}$
"Write in sigma notation"	Rule for the rth term, then the number of terms

Common mistake

Off-by-one slips: the number of terms is top − bottom + 1, and a sum from $k$ subtracts $S_{k - 1}$ .

Key idea

Write out the first two terms every time. They tell you the type, the first term and the step.

تدرّب على ترميز سيجما

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح ترميز سيجما

1. Reading Σ

2. Spot the AP or GP

3. Evaluate a sum from 1

4. Sums that start later

5. Write a sum in Σ form

6. Which method? Read the question

تدرّب على ترميز سيجما

أسئلة امتحانات سابقة على ترميز سيجما، محلولة ومشروحة بالعربي