LemmaraLemmaraEnglishابدأ مجاناً

شرح الاتجاهات العكسية

Back Bearings

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Way Back

الاتجاه العكسي هو اتجاه طريق العودة: إذا عرفت اتجاه نقطة من أخرى، فاتجاه الأولى من الثانية يشير إلى الجهة المعاكسة تمامًا، أي بفارق نصف دورة. القاعدة: إذا كان الاتجاه أقل من مئة وثمانين درجة فأضف مئة وثمانين، وإذا كان مئة وثمانين أو أكثر فاطرح مئة وثمانين. انظر إلى حجم الاتجاه أولًا لتعرف هل تجمع أم تطرح. الخطأ الشائع أن تجمع على اتجاه كبير فيخرج الناتج أكبر من دورة كاملة، والاتجاه دائمًا أقل من ثلاثمئة وستين درجة. ومن الحياة: أرقام مدارج المطارات مبنية على الاتجاه العكسي، فطرفا المدرج الواحد يختلفان بنصف دورة.

The back bearing is the direction for the return trip. If is on a bearing of 064° from , the bearing of from points exactly the other way.

Rule

Less than 180°: add 180°. 180° or more: take away 180°.

Worked example

  1. 1

    — Check the size first. 064° is less than half a turn, so adding 180° will still give less than 360°.

  2. 2

    — Half a turn, 180°, points the line exactly the other way. The bearing of A from B is 244°.

Now one over 180°: B is on a bearing of 290° from A.

Worked example

  1. 1

    — 290° is more than half a turn, so adding 180° would go past 360°.

  2. 2

    — Take away 180° instead. It is still half a turn, just the other way round. The bearing of A from B is 110°.

Common mistake

Adding 180° to 290° to get 470°. A bearing is always less than 360°.

Key idea

Airport runways use back bearings. A runway's number is its direction divided by 10, so runway 09 points about 090°. Land from the other end and the same strip is runway 27, about 270°. The two numbers always differ by 18, which means 180°.

2. Why 180° Works

قد يطلب السؤال أن تُثبت الاتجاه العكسي باستخدام الزوايا. خطا الشمال عند النقطتين متوازيان، لأن الشمال في الاتجاه نفسه في كل مكان، ولذلك نستخدم حقائق الزوايا والمستقيمات المتوازية. عند النقطة الأولى الزاوية بين الشمال والخط هي الاتجاه المعطى. عند النقطة الثانية الزاوية في الجهة نفسها من الخط تكمّلها إلى مئة وثمانين درجة لأنهما زاويتان داخليتان في جهة واحدة. ثم الاتجاه عند النقطة الثانية يُقاس مع عقارب الساعة من الشمال، فهو الزاوية الخارجية، ونجده بأن الزوايا حول نقطة مجموعها ثلاثمئة وستون درجة. اكتب السبب في كل خطوة، فكل سبب يأخذ درجة.

The 2-mark question may ask you to show it with angles. North lines at and are parallel, so you can use angle facts.

Worked example

  1. 1

    — The bearing of B from A is 064°, so the angle between A's north line and AB is 64°.

  2. 2

    — North is the same direction everywhere, so the two north lines are parallel. That lets you use angle facts.

  3. 3

    — The angle between B's north line and BA sits on the same side of AB as the 64°. They are co-interior angles, which add to 180°.

  4. 4

    — The bearing at B turns clockwise from north to BA, which is the outside of the 116° angle. Angles at a point add to 360°.

Key idea

Write the reason each time: "co-interior angles add to 180°" or "alternate angles are equal". Each earns a mark.

3. Bearings in a Triangle

الامتحان يذهب أحيانًا خطوة أبعد: اتجاه نقطة ثالثة من النقطة الثانية. قف عند النقطة الثانية، وأوجد أولًا اتجاه طريق العودة إلى النقطة الأولى، ثم دُر بمقدار الزاوية الداخلية للمثلث عند النقطة الثانية. إذا كان الدوران عكس عقارب الساعة فاطرح الزاوية، وإذا كان معها فأضفها؛ وحدد جهة الدوران من موقع النقطة الثالثة كما يصفه السؤال. تحقق في النهاية أن الاتجاه الناتج يقع في الربع الصحيح. الخطأ الشائع استخدام اتجاه النقطة الأولى عند النقطة الثانية، مع أن كل اتجاه يبدأ من خط شمال عند نقطة «من». وإذا لم تُعطَ الزاوية عند النقطة الثانية فأوجدها أولًا، مثلًا من مجموع زوايا المثلث، واكتب السبب.

Exams often go one step further: find the bearing from B to a third point C. Stand at B, find the way back to A, then turn through the angle at B. B is on a bearing of 070° from A. Angle ABC is 80°, and C is in the south-east quarter from B (between 090° and 180°). Find the bearing of C from B.

Worked example

  1. 1

    — First the bearing of A from B. 070° is under 180°, so add 180°. This gives the direction of BA, measured at B.

  2. 2

    — The angle inside the triangle at B, between BA and BC. C is in the south-east quarter from B, so turning from BA to BC goes anticlockwise, from 250° down towards 180°.

  3. 3

    — Turning anticlockwise makes a bearing smaller, so take the 80° away.

  4. 4

    — Check: 170° is between east (090°) and south (180°), so C is in the south-east quarter, as the question says.

Common mistake

Using A's bearing, 070°, at B. Every bearing starts from a north line at the “from” point, so work out the direction of BA at B first.

Key idea

If the angle at B is not given, find it first, for example with “angles in a triangle add up to 180°”. Write that reason down: it earns a mark for working.

4. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة، وأول سؤال: عند أي نقطة تقف؟ إنها النقطة التي بعد كلمة «من». لإيجاد الاتجاه العكسي أضف مئة وثمانين درجة إذا كان الاتجاه أقل منها، واطرحها إذا كان مساويًا لها أو أكبر. إذا طُلب الإثبات بالزوايا فاستخدم الزاويتين الداخليتين في جهة واحدة ثم الزوايا حول نقطة. لاتجاه نقطة ثالثة مع زاوية معطاة، أوجد الاتجاه العكسي ثم أضف الزاوية أو اطرحها. وللتحقق: الاتجاه والاتجاه العكسي يختلفان دائمًا بمئة وثمانين درجة بالضبط.

Check which point you stand at: the one after "from".

You seeYou do
Bearing of A from B, given B from Aadd or take away 180°
Bearing under 180°add 180°
Bearing of 180° or moretake away 180°
Show it with anglesco-interior angles, then angles at a point
Bearing of C from B, angle at B givenback bearing at B, then add or take away the angle
Measure or plot a bearingThree-Figure Bearings

Key idea

Check: the two bearings always differ by exactly 180°.

تدرّب على الاتجاهات العكسية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

أسئلة امتحانات سابقة على الاتجاهات العكسية، محلولة ومشروحة بالعربي