شرح الاتجاهات وعلم المثلثات

Bearings and Trigonometry

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Right Triangle in a Bearing

عندما تتحرك مسافةً ما على اتجاهٍ معيّن، ارسم من نقطة البداية خطًا نحو الشمال وخطًا نحو الشرق، فيصبح مسارك هو الوتر في مثلثٍ قائم الزاوية. زاوية الاتجاه تقع عند نقطة البداية بين خط الشمال والمسار، وهذا ما يحدد أيّ ضلعٍ هو المقابل. المسافة نحو الشرق تقابل الزاوية، فنحسبها بضرب المسافة في جيب الزاوية. أما المسافة نحو الشمال فهي مجاورة للزاوية، فنحسبها بضرب المسافة في جيب تمام الزاوية.

Go 15 km on a bearing of 040°. Draw a line due north and a line due east. Your path is the hypotenuse of a right triangle.

Side	How to find it
East, opposite the bearing	distance × $sin θ$
North, next to the bearing	distance × $cos θ$

Rule

The bearing angle sits at the start, between the north line and the path. That fixes which side is opposite.

2. How Far East, How Far North

هذا سؤال شائع بدرجتين: كم يبعد موقعٌ عن آخر نحو الشرق أو نحو الشمال؟ ابدأ دائمًا برسم المثلث القائم: خط الشمال عند نقطة البداية، ثم المسار بزاوية الاتجاه مع عقارب الساعة، ثم خطٌ يعود إلى خط الشمال ليصنع زاوية قائمة، والمسار هو الوتر. الضلع الشرقي لا يلمس الزاوية فهو المقابل، والمقابل مع الوتر يعني الجيب، فنضرب طول المسار في جيب الزاوية. الضلع الشمالي يلمس الزاوية فهو المجاور، والمجاور مع الوتر يعني جيب التمام. استخدم الآلة الحاسبة بوضع الدرجات وقرّب لثلاثة أرقام معنوية، ثم تحقق بنظرية فيثاغورس: مجموع مربعي الضلعين يساوي مربع المسار. الخطأ الشائع هو تبديل الجيب وجيب التمام.

The 2-mark question: how far east of $A$ is $B$ ? Draw the right triangle first, then choose sine or cosine. The path is 15 km on a bearing of 040°.

Worked example

1
$hypotenuse = 15, angle = 4 0^{\circ}$ — Sketch it. Draw the north line at $A$ , then the path 40° clockwise from it. Draw a line from $B$ back to the north line to make a right angle. The path is the longest side, the hypotenuse.
2
$sin 4 0^{\circ} = \frac{east}{15}$ — The east side does not touch the 40° angle, so it is the opposite side. Opposite and hypotenuse means sine.
3
$east = 15 sin 4 0^{\circ}$ — Multiply both sides by 15 to get east alone.
4
$east = 15 \times 0.6428 = 9.64 km$ — Use the calculator in degree mode, and give 3 significant figures.
5
$cos 4 0^{\circ} = \frac{north}{15}$ — The north side touches the 40° angle, so it is the adjacent side. Adjacent and hypotenuse means cosine.
6
$north = 15 cos 4 0^{\circ} = 11.5 km$ — Multiply both sides by 15 and use the calculator. 3 significant figures.
7
$9.6 4^{2} + 11. 5^{2} \approx 225 = 1 5^{2}$ — Check with Pythagoras: the two sides squared add up to the path squared.

Common mistake

Swapping sin and cos. The east side does not touch the 40° angle, so it is opposite: use sin.

3. Bearings Past 090°

إذا كان الاتجاه أكبر من تسعين درجة فإن المسار يتجه نحو الجنوب أو الغرب، ولا يجوز وضع زاوية الاتجاه نفسها في الجيب أو جيب التمام. بدلًا من ذلك خذ الزاوية الحادة بين المسار وخط الشمال والجنوب، ثم استخدم الجيب للمسافة شرقًا أو غربًا، وجيب التمام للمسافة شمالًا أو جنوبًا. الجدول يبيّن كيف تجد هذه الزاوية في كل ربع؛ مثلًا إذا كان الاتجاه بين تسعين ومئة وثمانين درجة نطرحه من مئة وثمانين ونقيس من خط الجنوب. في المثال نحدد أولًا أن المسار يتجه شرقًا وجنوبًا، ثم نحسب الزاوية داخل المثلث عند خط الجنوب، ثم يعطينا الجيب المسافة شرقًا لأنها مقابلة، وجيب التمام المسافة جنوبًا لأنها مجاورة. الخطأ الشائع هو استخدام زاوية الاتجاه مباشرة، فهي ليست زاوية في المثلث.

When the bearing is past 090°, the path heads south or west. Do not use the bearing itself in sin or cos. Use the acute angle between the path and the north-south line, then sin for east or west and cos for north or south.

Bearing between	Angle to use	Path goes
000° and 090°	the bearing, from north	east and north
090° and 180°	180° − bearing, from south	east and south
180° and 270°	bearing − 180°, from south	west and south
270° and 360°	360° − bearing, from north	west and north

A boat sails 12 km on a bearing of 140°. How far east and how far south has it gone?

Worked example

1
$9 0^{\circ} < 14 0^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — 140° is past east and before south, so the path heads east and south.
2
$18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ — The angle inside the right triangle is measured from the south line. It is the gap between 140° and 180°.
3
$east = 12 sin 4 0^{\circ} = 7.71 km$ — East is opposite the 40° angle, so use sine. 12 × 0.6428 = 7.71 to 3 significant figures.
4
$south = 12 cos 4 0^{\circ} = 9.19 km$ — South is next to the 40° angle, so use cosine. 12 × 0.7660 = 9.19.

Common mistake

Using $12 sin 14 0^{\circ}$ . 140° is not an angle in the triangle. Take it from 180° first, to get the angle at the south line.

4. Finding a Bearing From Two Distances

سؤال بأربع درجات: نقطتان على بعدين معلومين، إحداهما شمال نقطة ثالثة تمامًا والأخرى شرقها تمامًا، والمطلوب الاتجاه من إحداهما إلى الأخرى. ارسم المثلث، وارسم خط الشمال عند النقطة التي تقيس منها الاتجاه. الضلعان المعلومان مقابل ومجاور ولا يوجد وتر، لذلك نستخدم الظل، ثم معكوس الظل لنحصل على الزاوية داخل المثلث. بعدها نحوّلها إلى اتجاه: الاتجاه يُقاس دائمًا مع عقارب الساعة من الشمال، فننطلق من اتجاه الجنوب أو الغرب ونطرح الزاوية أو نضيفها حسب موقع النقطة. تحقق أن الناتج يقع في الربع الصحيح، ويمكنك التحقق أيضًا بالاتجاه العكسي الذي يختلف بمئة وثمانين درجة. الخطأ الشائع هو كتابة زاوية المثلث على أنها الاتجاه.

The 4-mark question: $B$ is 9 km due north of $A$ . $C$ is 14 km due east of $A$ . Find the bearing of $C$ from $B$ .

Worked example

1
$right angle at A$ — Sketch it: $B$ above $A$ , $C$ to the right of $A$ . Draw a north line at $B$ as well, because the bearing is measured at $B$ .
2
$tan ∠ A B C = \frac{14}{9}$ — In the triangle, $A C$ (14) is opposite the angle at $B$ , and $A B$ (9) is next to it. Opposite and adjacent, with no hypotenuse, means tangent.
3
$∠ A B C = tan^{- 1} (\frac{14}{9}) = 57. 3^{\circ}$ — Inverse tangent gives the angle inside the triangle at $B$ .
4
$due south from B = 18 0^{\circ}$ — $A$ is straight down from $B$ , so the direction $B A$ has a bearing of 180°. The line $B C$ is 57.3° round from that, back towards east.
5
$18 0^{\circ} - 57. 3^{\circ} = 122. 7^{\circ}$ — Bearings turn clockwise from north. $C$ is 57.3° before reaching south, so take 57.3° from 180°.
6
$09 0^{\circ} < 122. 7^{\circ} < 18 0^{\circ}$ — Check: $C$ is east and south of $B$ , so the bearing should be between 090° and 180°. It is.

Now the other way round: the bearing of $B$ from $C$ .

Worked example

1
$tan ∠ A C B = \frac{9}{14}$ — At $C$ , $A B$ (9) is opposite the angle and $A C$ (14) is next to it, so tangent again.
2
$∠ A C B = tan^{- 1} (\frac{9}{14}) = 32. 7^{\circ}$ — Inverse tangent gives the angle at $C$ .
3
$due west from C = 27 0^{\circ}$ — $A$ is straight to the left of $C$ , so the direction $C A$ is 270°. $B$ is further round, towards north.
4
$27 0^{\circ} + 32. 7^{\circ} = 302. 7^{\circ}$ — Going clockwise from west towards north makes the bearing bigger, so add.
5
$122. 7^{\circ} + 18 0^{\circ} = 302. 7^{\circ}$ — Check with the back bearing: the reverse direction differs by 180°. Both methods agree.

Common mistake

Giving 57.3° as the bearing. Always sketch the north line at the point you stand at, then measure clockwise from it.

5. A Journey in Two Legs

رحلة من مرحلتين بينهما انعطاف بزاوية قائمة تصنع مثلثًا قائمًا. الانعطاف يمينًا يعني مع عقارب الساعة، فنضيف تسعين درجة إلى اتجاه المرحلة الأولى. نقطة الانعطاف هي الزاوية القائمة، فالمسافة المباشرة من البداية إلى النهاية هي الوتر، ونجدها بنظرية فيثاغورس: نربّع الضلعين القصيرين ونجمعهما ثم نأخذ الجذر التربيعي. ثم عند نقطة البداية نستخدم الظل ومعكوسه لإيجاد الزاوية بين المرحلة الأولى وخط النهاية، ونضيفها إلى اتجاه المرحلة الأولى. الخطأ الشائع هو إعطاء هذه الزاوية على أنها الاتجاه، مع أنها مقيسة من المرحلة الأولى لا من الشمال. اعرض رسمك وكل خطوة، فالدرجات تُعطى على الرسم والمسافة والاتجاه كلٌّ على حدة.

A journey with two legs is often a right triangle. A ship sails 10 km on a bearing of 060°, then turns right through 90° and sails 8 km. Find how far it is from the start, and the bearing of the finish from the start.

Worked example

1
$06 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ — Turning right is turning clockwise, so add 90° to the bearing. The second leg is on a bearing of 150°.
2
$∠ A B C = 9 0^{\circ}$ — The turn is 90°, so the two legs meet at a right angle. $A$ is the start, $B$ the turn and $C$ the finish. Sketch it, with the north line at both $A$ and $B$ .
3
$A C^{2} = 1 0^{2} + 8^{2} = 164$ — $A C$ is opposite the right angle, so it is the hypotenuse. Pythagoras: square the two short sides and add.
4
$A C = 164 = 12.8 km$ — Take the square root, to 3 significant figures.
5
$tan ∠ B A C = \frac{8}{10}$ — At $A$ , $B C$ (8) is opposite the angle and $A B$ (10) is next to it. Tangent.
6
$∠ B A C = tan^{- 1} (0.8) = 38. 7^{\circ}$ — Inverse tangent gives the angle at $A$ between the first leg and the finish.
7
$06 0^{\circ} + 38. 7^{\circ} = 98. 7^{\circ}$ — The first leg is on 060°. The finish $C$ is turned 38.7° further clockwise from it, as seen from $A$ , so add.

Common mistake

Giving 38.7° as the bearing. That angle is measured from the first leg, not from north. Add it to 060° first.

Key idea

Show your sketch and each line of working. Marks are given for the right triangle, for the distance and for the bearing, so a correct sketch earns marks even if a later number is wrong.

6. Which Method? Read the Question

ابحث أولًا عن زاوية قائمة بين الشمال والشرق. إذا سُئلت كم تبعد نقطة شرقًا أو شمالًا فاستخدم الجيب للشرق وجيب التمام للشمال. إذا كان الاتجاه أكبر من تسعين درجة فخذ الزاوية الحادة من خط الشمال أو الجنوب. إذا أُعطيت مسافتين نحو الشمال والشرق تمامًا فاستخدم الظل لإيجاد الزاوية ثم حوّلها إلى اتجاه. في رحلة من مرحلتين بينهما زاوية قائمة استخدم فيثاغورس للمسافة والظل للاتجاه. وإذا لم يكن في المثلث زاوية قائمة فانتقل إلى قاعدتي الجيب وجيب التمام، وللاتجاه المعاكس استخدم الاتجاه العكسي. ارسم أولًا مع خط شمال عند كل نقطة، فمعظم الدرجات تضيع بسبب القياس عند النقطة الخطأ.

Look for a right angle between north and east.

You see	You do
How far east or north	sin for east, cos for north
A bearing past 090°	use the acute angle from the north or south line
Due north and due east	tan for the angle, then a bearing
Two legs at a right angle	Pythagoras for the distance, tan for the bearing
Direct distance	Pythagoras' Theorem
No right angle in the triangle	Bearings with Sine and Cosine Rules
The reverse direction	Back Bearings

Key idea

Sketch first, with a north line at every point. Most lost marks come from measuring at the wrong point.

تدرّب على الاتجاهات وعلم المثلثات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الاتجاهات وعلم المثلثات

1. The Right Triangle in a Bearing

2. How Far East, How Far North

3. Bearings Past 090°

4. Finding a Bearing From Two Distances

5. A Journey in Two Legs

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الاتجاهات وعلم المثلثات

أسئلة امتحانات سابقة على الاتجاهات وعلم المثلثات، محلولة ومشروحة بالعربي