شرح التمثيلات البيانية والمعادلات المثلثية

Trigonometric Graphs and Equations

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Three Curves

منحنى الجيب ومنحنى جيب التمام موجتان تتحركان بين واحد وسالب واحد، والموجة الكاملة تأخذ ثلاثمئة وستين درجة. احفظ النقاط الخمس في الجدول عند الصفر وكل ربع دورة: الجيب يبدأ من الصفر، وجيب التمام يبدأ من الواحد. أما منحنى الظل فمختلف: يتكرر كل مئة وثمانين درجة، وليس له قيمة عند تسعين ومئتين وسبعين درجة، فيصعد ويهبط بلا حدود عندها. ومن الحياة: الكهرباء في مقبس الحائط تتغير على شكل موجة جيبية تقريبًا.

The sine and cosine graphs are waves between 1 and −1. One full wave takes 360°. Learn these five points.

Angle	sin	cos
0°	0	1
90°	1	0
180°	0	−1
270°	−1	0
360°	0	1

Key idea

The tangent graph is different. It repeats every 180°, has no value at 90° and 270°, and goes off the top and bottom there.

Key idea

The electricity in a wall socket is almost a perfect sine wave. In Egypt, the UAE, Kuwait and Qatar it makes 50 full 360° waves every second, so one wave lasts $\frac{1}{50} = 0.02$ seconds. In Saudi Arabia it makes 60 a second.

2. Sketching the Curves

سؤال الرسم يطلب الشكل والنقاط المهمة لا رسمًا دقيقًا. لجيب التمام: ارسم المحورين وقسّم المحور الأفقي كل تسعين درجة، وضع واحدًا وسالب واحد على المحور الرأسي، ثم عيّن النقاط الخمس وصِلها بمنحنى أملس مستدير بلا زوايا. أما الظل فيُرسم على ثلاثة أجزاء: ارسم خطين رأسيين متقطعين عند الزاويتين اللتين ليس للظل قيمة عندهما، ثم عيّن نقاط الصفر والنقاط التي يكون الظل فيها واحدًا أو سالب واحد، ثم ارسم ثلاثة فروع صاعدة تقترب من الخطوط المتقطعة ولا تلمسها. الخطأ الشائع رسم الظل كموجة أو وصل الفروع عبر الخطوط المتقطعة. وإذا أُعطيت جدول قيم فاحسب كل قيمة والآلة على وضع الدرجات ثم عيّن النقاط وصِلها بسلاسة.

Sketch questions ask for the shape and the key points, not a perfect drawing. Plot the key points, then join them smoothly.

Worked example

1
$x : 0^{\circ} to 36 0^{\circ}, y : - 1 to 1$ — Draw the axes. Mark $x$ every 90°. Mark 1 and −1 on the $y$ axis, because sine and cosine never go beyond them.
2
$(0, 1), (90, 0), (180, - 1), (270, 0), (360, 1)$ — Plot the five key points of $y = cos x$ from the table at the start of the lesson. Cosine starts at the top.
3
$one smooth wave$ — Join the points with one smooth curve, rounded at the top and bottom, with no corners or straight bits.
4
$crosses the axis at 9 0^{\circ} and 27 0^{\circ}$ — Check: these are the two points where $y = 0$ .

The tangent curve is different. Draw it in three parts.

Worked example

1
$x = 9 0^{\circ} and x = 27 0^{\circ}$ — Draw dashed vertical lines here. Tangent has no value at these angles, so the curve can never cross them.
2
$(0, 0), (180, 0), (360, 0)$ — Tangent is 0 at 0°, 180° and 360°, so the curve crosses the axis at these points.
3
$(45, 1), (225, 1), (135, - 1), (315, - 1)$ — $tan 4 5^{\circ} = 1$ , and the curve repeats every 180°, so $tan 22 5^{\circ} = 1$ . $tan 13 5^{\circ} = - 1$ and $tan 31 5^{\circ} = - 1$ .
4
$three branches, each rising$ — Draw one branch from $(0, 0)$ up towards the 90° line, one from the bottom of 90° through $(180, 0)$ up towards 270°, and one from the bottom of 270° to $(360, 0)$ . They get close to the dashed lines but never touch.

Common mistake

Drawing tangent as a wave, or joining the branches across the dashed lines. It has separate branches that shoot off the top and the bottom.

Key idea

If you are given a table of values, work each one out with the calculator in degree mode, plot the points, then join them smoothly. Marks are given for the points and for a smooth curve.

3. Reading a, b and c From a Graph

هذا أشهر سؤال: تُعطى منحنى جيب أو جيب تمام مرسومًا، وتقرأ منه الثوابت الثلاثة في المعادلة. اقرأ من الرسم ثلاثة أشياء أولًا: أعلى قيمة، وأدنى قيمة، وطول الموجة الواحدة. الثابت المضاف هو ارتفاع خط المنتصف، ونحسبه بجمع الأعلى والأدنى ثم القسمة على اثنين. السعة هي بُعد المنحنى فوق خط المنتصف أو تحته، ونحسبها بطرح الأدنى من الأعلى ثم القسمة على اثنين، وضع القيمة السالبة بين قوسين حتى لا تضيع الإشارة. والثابت داخل الدالة نحسبه بقسمة ثلاثمئة وستين درجة على طول الموجة الواحدة، أي عدد الموجات التي تتسع في دورة كاملة. بعدها عوّض بالقيم في المعادلة وتحقّق بنقطة من الرسم. الخطأ الشائع أن تأخذ السعة على أنها أعلى قيمة، والصحيح أنها تُقاس من خط المنتصف.

The most common question, worth up to 3 marks: a graph of $y = a cos b x + c$ is drawn and you read $a$ , $b$ and $c$ from it. Read three things off the graph: the top, the bottom and the length of one wave.

Rule

$a$ is the amplitude: how far the curve goes above or below its middle line. $c$ is the height of the middle line. The length of one wave is the period.

Formula

c = \frac{top + bottom}{2} a = \frac{top - bottom}{2} b = \frac{36 0 ^{\circ}}{one wave}

The middle line is halfway between the top and the bottom. $a$ is half the distance from the bottom to the top. One wave is the number of degrees before the curve starts to repeat.

The curve goes up to 4 and down to −2. One full wave takes 180°.

Worked example

1
$top = 4, bottom = - 2, one wave = 18 0^{\circ}$ — Read the three numbers off the graph first. Everything else comes from them.
2
$c = \frac{4 + ( - 2 )}{2}$ — The middle line is halfway between the top and the bottom, so add them and halve. Put the −2 in brackets so the sign is not lost.
3
$c = \frac{2}{2} = 1$ — 4 + (−2) = 2, and half of 2 is 1. The whole curve is lifted 1 up.
4
$a = \frac{4 - ( - 2 )}{2}$ — Half the distance from the bottom to the top. Subtracting the bottom, which is negative, needs brackets again.
5
$a = \frac{4 + 2}{2} = 3$ — Minus a minus makes a plus, so 4 − (−2) = 6. Half of 6 is 3. The curve goes 3 above and 3 below the middle line.
6
$b = \frac{360}{180} = 2$ — A plain cosine wave takes 360°. This one takes 180°, half as long, so 2 waves fit in 360°.
7
$y = 3 cos 2 x + 1$ — Put $a$ , $b$ and $c$ into $y = a cos b x + c$ .
8
$x = 0 : 3 cos 0^{\circ} + 1 = 3 \times 1 + 1 = 4$ — Check: at 0° cosine is 1, so $y = 3 \times 1 + 1 = 4$ , the top of the graph.

Now a sine graph. The curve goes up to 5 and down to 1. One full wave takes 120°.

Worked example

1
$top = 5, bottom = 1, one wave = 12 0^{\circ}$ — Read the three numbers off the graph.
2
$c = \frac{5 + 1}{2} = 3$ — The middle line is halfway between the top and the bottom.
3
$a = \frac{5 - 1}{2} = 2$ — Half the distance from the bottom to the top.
4
$b = \frac{360}{120} = 3$ — A plain sine wave takes 360°. This one takes 120°, a third as long, so 3 waves fit in 360°.
5
$y = 2 sin 3 x + 3$ — Put $a$ , $b$ and $c$ into $y = a sin b x + c$ .
6
$x = 30 : 2 sin 9 0^{\circ} + 3 = 5$ — Check: a quarter of a wave is 120° ÷ 4 = 30°, where a sine curve first reaches its top. $y = 2 \times 1 + 3 = 5$ , the top.

Common mistake

Taking $a$ as the top value, 4. The height is measured from the middle line, so $a = 3$ .

Key idea

If one wave is longer than 360°, $b$ is a fraction. A wave that takes 720° gives $b = \frac{360}{720} = \frac{1}{2}$ .

4. Shifts: sin(x + b)

العدد المضاف داخل القوس يُزيح المنحنى كله أفقيًا: الجمع يحرّكه إلى اليسار، والطرح يحرّكه إلى اليمين. لإيجاد نقطة مهمة، اجعل ما داخل القوس كله يساوي الزاوية التي تحدث عندها تلك النقطة في المنحنى الأصلي، ثم حلّ لإيجاد المجهول. للجيب: القمة عند تسعين درجة، والقاع عند مئتين وسبعين، ويقطع المحور عند مئة وثمانين وثلاثمئة وستين. ولجيب التمام: القمة عند الصفر والقاع عند مئة وثمانين. بعد إيجاد الزاوية عوّض لتجد الارتفاع. ويمكن العمل بالعكس: إذا انتقلت القمة من مكانها المعتاد فمقدار الإزاحة يعطيك العدد داخل القوس. الخطأ الشائع تحريك المنحنى في الاتجاه الخطأ.

Another favourite: find points on $y = 2 sin (x + 40)$ . The number added inside the bracket slides the whole curve sideways. Adding 40 moves it 40° to the left.

Worked example

1
$y = 2 sin (x + 40)$ — The question. The 40 inside the bracket moves the curve 40° to the left, so every key point of $2 sin x$ lands 40° earlier.
2
$x + 40 = 90$ — The top of a sine curve is where the angle in the bracket is 90°. So set the whole bracket equal to 90.
3
$x = 90 - 40 = 50$ — Take 40 from both sides to get $x$ alone.
4
$y = 2 sin 9 0^{\circ} = 2 \times 1 = 2$ — At the top, $sin 9 0^{\circ} = 1$ , so $y$ is just $a$ . The maximum point is $(50, 2)$ .
5
$x + 40 = 180 \Rightarrow x = 140$ — Sine is 0 at 180° on its way down, so the curve crosses the axis at $(140, 0)$ .
6
$x + 40 = 270 \Rightarrow x = 230$ — Sine is at its lowest at 270°, where it equals −1, so $y = 2 \times (- 1) = - 2$ . The minimum point is $(230, - 2)$ .
7
$x + 40 = 360 \Rightarrow x = 320$ — Sine is 0 again at 360°, on its way up. The curve crosses the axis at $(320, 0)$ .

A minus inside the bracket moves the curve the other way. Find the top and bottom of $y = 3 cos (x - 30)$ .

Worked example

1
$x - 30 = 0 \Rightarrow x = 30$ — The top of a cosine curve is where the bracket is 0°. Add 30 to both sides. The curve has moved 30° to the right.
2
$y = 3 cos 0^{\circ} = 3$ — $cos 0^{\circ} = 1$ , so the maximum point is $(30, 3)$ .
3
$x - 30 = 180 \Rightarrow x = 210$ — The bottom of a cosine curve is where the bracket is 180°, where cosine is −1. The minimum point is $(210, - 3)$ .

Key idea

Working back: if the top of a sine curve is at 50° instead of 90°, the curve moved 40° left, so $b = 40$ in $sin (x + b)$ .

Common mistake

Moving the curve the wrong way. A plus inside the bracket moves it left. A minus moves it right.

5. Solving sin x = k

الآلة الحاسبة تعطيك إجابة واحدة فقط، لكن الرسم يُظهر إجابة ثانية بين الصفر وثلاثمئة وستين درجة، والسؤال يريد الإجابتين. أولًا استخدم الجيب العكسي والآلة على وضع الدرجات لتحصل على الإجابة الأولى. منحنى الجيب متماثل حول تسعين درجة، لذلك الإجابة الثانية هي مئة وثمانون ناقص الإجابة الأولى. ثم تحقّق بحساب جيب الإجابة الثانية. القاعدة العامة: في الجيب نطرح من مئة وثمانين، وفي جيب التمام نطرح من ثلاثمئة وستين، وفي الظل نضيف مئة وثمانين. ورسم المنحنى سريعًا يساعدك على التحقق.

A calculator gives only one answer. The graph shows a second one between 0° and 360°. Exam questions say “solve for 0° ≤ x ≤ 360°”, and a 2-mark question wants both answers.

Worked example

1
$sin x = 0.4$ — The equation. We want every angle from 0° to 360° whose sine is 0.4.
2
$x = sin^{- 1} (0.4) = 23. 6^{\circ}$ — Use the inverse sine key, in degree mode. It gives the first answer, on the rising part of the curve.
3
$x = 18 0^{\circ} - 23. 6^{\circ}$ — The sine curve is symmetrical about 90°. The second answer is the same distance on the other side of 90°, so take the first from 180°.
4
$x = 156. 4^{\circ}$ — Work out 180 − 23.6. Both 23.6° and 156.4° are between 0° and 360°.
5
$sin 156. 4^{\circ} \approx 0.4$ — Check the second answer on the calculator. It gives back 0.4.

Rule

For sine, the second answer is 180° minus the first. For cosine, it is 360° minus the first. For tangent, add 180°.

Key idea

Check with a sketch: $cos x = - 0.5$ gives 120° and 240°, both where the cosine curve is below the axis.

6. Solving cos x = k and tan x = k

لجيب التمام والظل منحنيات مختلفة، لذلك تختلف قاعدة الإجابة الثانية. في جيب التمام: خذ الإجابة الأولى من جيب التمام العكسي، ثم اطرحها من ثلاثمئة وستين درجة، لأن المنحنى متماثل حول مئة وثمانين. وإذا طلب السؤال الزاوية المنعكسة فهي الإجابة الأكبر من مئة وثمانين. في الظل: خذ الإجابة الأولى من الظل العكسي ثم أضف مئة وثمانين لأن المنحنى يتكرر كل مئة وثمانين درجة، وإذا تجاوز الناتج ثلاثمئة وستين فهو خارج المدى. الخطأ الشائع استخدام قاعدة الطرح من مئة وثمانين لكل المعادلات، وهي للجيب فقط.

Cosine and tangent have different curves, so their second answers use different rules. Here is each one.

Worked example

1
$cos x = 0.3$ — The equation, to solve for 0° to 360°.
2
$x = cos^{- 1} (0.3) = 72. 5^{\circ}$ — Inverse cosine on the calculator gives the first answer.
3
$x = 36 0^{\circ} - 72. 5^{\circ}$ — The cosine curve is symmetrical about 180°. The second answer is the same distance before 360° as the first is after 0°. So take the first from 360°.
4
$x = 287. 5^{\circ}$ — Work out 360 − 72.5. The answers are 72.5° and 287.5°.

Key idea

A question may ask for “the reflex angle”. That just means the answer bigger than 180°. For $cos x = 0.3$ it is 287.5°.

Worked example

1
$tan x = 2.5$ — The equation, to solve for 0° to 360°.
2
$x = tan^{- 1} (2.5) = 68. 2^{\circ}$ — Inverse tangent gives the first answer.
3
$x = 68. 2^{\circ} + 18 0^{\circ} = 248. 2^{\circ}$ — The tangent curve repeats every 180°, so the next answer is 180° later.
4
$248. 2^{\circ} + 18 0^{\circ} = 428. 2^{\circ}$ — Try adding 180° once more. 428.2° is bigger than 360°, so it is out of range. The answers are 68.2° and 248.2°.

Common mistake

Using “180° minus the first answer” for every equation. That rule is only for sine. Cosine uses 360° minus, and tangent adds 180°.

7. When k Is Negative

عندما تكون القيمة سالبة تعطيك الآلة الحاسبة أحيانًا زاوية سالبة، وهي ليست ضمن المدى بعد. استخدم القاعدة نفسها كالمعتاد، فللجيب نطرح الزاوية من مئة وثمانين، وضع الزاوية السالبة بين قوسين لأن طرح السالب يصبح جمعًا. ثم أضف ثلاثمئة وستين درجة إلى الزاوية السالبة لتعيدها إلى المدى، فالدورة الكاملة تعطي الاتجاه نفسه. الجيب السالب يعني أن المنحنى تحت المحور، فالإجابتان بين مئة وثمانين وثلاثمئة وستين. الخطأ الشائع تجاهل إشارة السالب، فتحصل على إجابات المعادلة الموجبة.

When $k$ is negative, the calculator gives a negative angle. That is not in the range, but the same rules still work. Then add 360° to bring an answer back into 0° to 360°.

Worked example

1
$sin x = - 0.6$ — The equation. Sine is negative below the axis, so both answers are between 180° and 360°.
2
$x = sin^{- 1} (- 0.6) = - 36. 9^{\circ}$ — The calculator gives a negative angle. It is not between 0° and 360°, so it is not an answer yet.
3
$x = 18 0^{\circ} - (- 36. 9^{\circ})$ — Use the same sine rule, 180° minus the first answer. Put the negative angle in brackets.
4
$x = 18 0^{\circ} + 36. 9^{\circ} = 216. 9^{\circ}$ — Minus a negative makes a plus. 216.9° is in range.
5
$x = - 36. 9^{\circ} + 36 0^{\circ} = 323. 1^{\circ}$ — Now bring the first answer into range. Adding a full turn of 360° gives the same direction.
6
$x = 216. 9^{\circ} or 323. 1^{\circ}$ — Both are between 180° and 360°, as we expected.

Key idea

For $cos x = - 0.3$ the calculator gives 107.5°, so the second answer is 360° − 107.5° = 252.5°. For $tan x = - 1$ it gives −45°, so add 180° and 360° to get 135° and 315°.

Common mistake

Ignoring the minus sign and giving 36.9° and 143.1°. Those are the answers for $sin x = + 0.6$ , which has the curve above the axis.

8. Rearrange First

كثير من معادلات الامتحان لا تأتي جاهزة، بل تكون النسبة المثلثية مضروبة في عدد ومضافًا إليها عدد. أولًا اجعل النسبة المثلثية وحدها: انقل العدد المضاف بطرحه من الطرفين، ثم اقسم الطرفين على المعامل. بعدها حلّ كما تعلمت: استخدم المعكوس لتجد الإجابة الأولى، ثم طبّق قاعدة الإجابة الثانية. جيب التمام السالب يعطي زاوية أكبر من تسعين، والإجابتان تقعان حيث المنحنى تحت المحور. اكتب كل سطر، فمعظم الدرجات على الخطوات لا على التخمين.

Exam equations are often not in the form $sin x = k$ yet, for example $3 cos x + 2 = 0$ . Get the trig on its own first, then solve as before.

Worked example

1
$3 cos x + 2 = 0$ — The question. The $cos x$ has a 3 in front and a 2 added.
2
$3 cos x = - 2$ — Take 2 from both sides to remove the +2.
3
$cos x = - \frac{2}{3}$ — Divide both sides by 3 to get $cos x$ alone.
4
$x = cos^{- 1} (- \frac{2}{3}) = 131. 8^{\circ}$ — Inverse cosine. A negative cosine gives an angle bigger than 90° on the calculator.
5
$x = 36 0^{\circ} - 131. 8^{\circ} = 228. 2^{\circ}$ — Cosine's second answer is 360° minus the first.
6
$x = 131. 8^{\circ} or 228. 2^{\circ}$ — Both are between 90° and 270°, where the cosine curve is below the axis.

Key idea

Show every line. Most of the marks are for the working: one for rearranging, one for each answer. An answer found by guessing scores about 1 mark.

9. Which Method? Read the Question

انظر إلى المرسوم والمطلوب. لإيجاد الثوابت من الرسم: الأعلى والأدنى يعطيان السعة وخط المنتصف، وطول الموجة يعطي الثابت داخل الدالة. لإحداثيات قمة أو نقطة تقاطع: اجعل ما في القوس يساوي الزاوية المناسبة. للرسم: النقاط الخمس المهمة ومنحنى أملس، مع خطوط متقطعة للظل. لحل المعادلات: الآلة الحاسبة أولًا، ثم الطرح من مئة وثمانين للجيب، أو من ثلاثمئة وستين لجيب التمام، أو إضافة مئة وثمانين للظل. وإذا كانت القيمة سالبة فطبّق القاعدة نفسها ثم أضف دورة كاملة، وإذا لم تكن المعادلة جاهزة فرتّبها أولًا. نصيحة: ارسم المنحنى وخطًا أفقيًا عند القيمة المعطاة، فعدد نقاط التقاطع هو عدد الإجابات.

Look at what is drawn and what is asked.

You see	You do
Find a, b and c from a graph	top and bottom for a and c, wave length for b
Coordinates of a top or a crossing	set the bracket to 90°, 180° or 360°
Sketch sin, cos or tan	five key points, smooth curve; dashed lines at 90° and 270° for tan
Solve sin x = k	calculator, then 180° minus it
Solve cos x = k or tan x = k	calculator, then 360° minus it (cos) or add 180° (tan)
k is negative	the calculator gives a negative angle; use the same rule, then add 360°
3 cos x + 2 = 0	rearrange to cos x = k first
A shifted graph, not trig	Transformations of Graphs
Exact values like sin 30°	Special Angles and Exact Ratios

Key idea

Sketch the curve with the line $y = k$ across it. The number of crossings is the number of answers.

تدرّب على التمثيلات البيانية والمعادلات المثلثية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح التمثيلات البيانية والمعادلات المثلثية

1. The Three Curves

2. Sketching the Curves

3. Reading a, b and c From a Graph

4. Shifts: sin(x + b)

5. Solving sin x = k

6. Solving cos x = k and tan x = k

7. When k Is Negative

8. Rearrange First

9. Which Method? Read the Question

تدرّب على التمثيلات البيانية والمعادلات المثلثية

أسئلة امتحانات سابقة على التمثيلات البيانية والمعادلات المثلثية، محلولة ومشروحة بالعربي