شرح المتجهات العمودية والانتقالات

Column Vectors and Translations

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Column Vector Is

المتجه هو حركة أو انتقال، له مقدار واتجاه. المتجه العمودي يكتب هذه الحركة كعددين، أحدهما فوق الآخر. العدد العلوي هو الحركة الأفقية: الموجب يعني إلى اليمين والسالب إلى اليسار. والعدد السفلي هو الحركة الرأسية: الموجب إلى أعلى والسالب إلى أسفل. يُكتب المتجه بحرفين عليهما سهم من نقطة البداية إلى نقطة النهاية، أو بحرف واحد عريض، وعند الكتابة باليد ضع خطًا تحت الحرف. وتذكّر أن المتجه ليس له مكان ثابت: الحركة نفسها في أي مكان على الشبكة هي المتجه نفسه.

A vector is a move. It has a size and a direction. A column vector writes the move as two numbers, one on top of the other.

Formula

(3 - 2)

Number	Meaning
Top	across: plus is right, minus is left
Bottom	up or down: plus is up, minus is down

You will see three names for a vector: $A B$ (the move from A to B), a bold letter like $a$ , or the column itself. By hand, underline the letter.

Key idea

A vector has no fixed place. The same move drawn anywhere on the grid is the same vector.

Key idea

A vector would make a funny tour guide. It tells you exactly how far to walk and in which direction, but it has no idea where you are starting from.

2. Reading a Vector From a Grid

هذا سؤال الدرجة الواحدة: اكتب المتجه من نقطة إلى أخرى. ابدأ دائمًا من النقطة الأولى وانتهِ عند الثانية. الحركة الأفقية هي الإحداثي السيني للنهاية ناقص الإحداثي السيني للبداية، وتُكتب في الأعلى؛ والحركة الرأسية هي الإحداثي الصادي للنهاية ناقص الإحداثي الصادي للبداية، وتُكتب في الأسفل. إذا خرج الناتج موجبًا فالحركة يمينًا أو إلى أعلى، وإذا خرج سالبًا فهي يسارًا أو إلى أسفل. مع الإحداثيات السالبة ضع كل عدد سالب بين قوسين، وتذكّر أن طرح عدد سالب يعني الجمع. الخطأ الشائع هو العدّ من النقطة الثانية رجوعًا إلى الأولى، فتنقلب كل الإشارات.

The 1-mark question: write the vector from one point to another. Start at the first point. Count across, then up or down.

Worked example

1
$A (1, 4) to B (6, 1)$ — $A B$ means start at A and finish at B. The top number is the move across, the bottom number is the move up or down.
2
$6 - 1 = 5$ — Across is the change in x: end x minus start x. The answer is plus, so the move is 5 to the right.
3
$1 - 4 = - 3$ — Up or down is the change in y: end y minus start y. The answer is minus, so the move is 3 down.
4
$A B = (5 - 3)$ — Write the across number on top and the up or down number underneath.

The same method works when the coordinates are negative. Watch the signs.

Worked example

1
$C (- 2, 3) to D (4, - 1)$ — A second one, this time with negative coordinates. Put every negative number in brackets.
2
$4 - (- 2) = 6$ — End x minus start x. Taking away a negative number adds, so 4 − (−2) = 4 + 2.
3
$- 1 - 3 = - 4$ — End y minus start y. Taking 3 away from −1 goes further below zero, so the move is 4 down.
4
$C D = (6 - 4)$ — Across on top, down underneath. Check: 6 right and 4 down is the way D sits from C.

Key idea

To draw a vector on a grid, start at any point. Go across first, then up or down, and put the arrowhead at the end.

Common mistake

Counting from B back to A. That gives every sign the wrong way round.

3. Going Backwards: the Negative Vector

المتجه المعاكس هو نفس الحركة لكن بالعكس، أي من نقطة النهاية رجوعًا إلى نقطة البداية. لكتابته ضع إشارة سالب أمام المتجه، أي اقلب إشارة العددين معًا: العلوي والسفلي. الحركة يمينًا تصبح يسارًا، والحركة إلى أسفل تصبح إلى أعلى، لأن السالب أمام السالب يعطي موجبًا. الناتج له الطول نفسه لكن اتجاهه معاكس. الخطأ الشائع هو قلب إشارة عدد واحد فقط، وهذا يعطي اتجاهًا مختلفًا وليس الحركة العكسية.

The move from B to A is the same move done backwards. Flip the sign of both numbers.

Worked example

1
$A B = (5 - 3)$ — This is the vector from the last card: 5 across and 3 down.
2
$B A = - A B$ — BA goes from B back to A, which undoes AB. Undoing a move is the same as putting a minus in front.
3
$- (5) = - 5$ — Apply the minus to the top number. 5 to the right becomes 5 to the left.
4
$- (- 3) = 3$ — Apply the minus to the bottom number. A minus before a minus makes a plus, so 3 down becomes 3 up.
5
$B A = (- 5 3)$ — Put both new numbers back into one column. Both signs have flipped.

Rule

If $a = (5 - 3)$ , then $- a = (- 5 3)$ . Same length, opposite direction.

Common mistake

Flipping only one number. That gives a different direction, not the reverse.

4. Joining Two Moves: Find AC

في سؤال الدرجتين يُعطى لك متجهان ويُطلب متجه ثالث. الفكرة أن تمشي في طريق: من النقطة الأولى إلى النقطة الوسطى، ثم من الوسطى إلى النقطة الأخيرة، والنتيجة هي نفس الذهاب مباشرة. افحص اتجاه كل متجه معطى: إذا كان يشير عكس طريقك فاقلبه أولًا بقلب إشارتي عدديه. بعد ذلك اجمع العددين العلويين معًا، ثم اجمع العددين السفليين معًا، واكتب الناتجين في عمود واحد. الخطأ الشائع هو جمع المتجه المعطى كما هو دون عكسه. وإذا بدأ المتجهان المعطيان من النقطة نفسها، فاعكس واحدًا فقط، أو اطرح أحدهما من الآخر مباشرة فتحصل على الإجابة نفسها.

The 2-mark question gives $A B$ and $C B$ , and asks for $A C$ . Go from A to B, then from B to C.

Worked example

1
$A B = (4 - 1), C B = (- 2 5)$ — We are given AB and CB, and we want AC.
2
$A C = A B + B C$ — Go from A to B, then from B to C. That journey ends at the same place as going from A straight to C.
3
$B C = - C B$ — We were given CB, which points the wrong way for this route. Reverse it.
4
$B C = (- (- 2) - (5)) = (2 - 5)$ — Reversing flips both signs: a minus before −2 makes +2, and a minus before 5 makes −5.
5
$4 + 2 = 6$ — Add the tops of AB and BC.
6
$- 1 + (- 5) = - 6$ — Add the bottoms. Adding −5 is the same as taking 5 away.
7
$A C = (6 - 6)$ — Put both answers in one column.

Common mistake

Adding CB as it is. CB points the wrong way for this route, so reverse it first. Adding it unchanged gives (2, 4) as a column, which is wrong.

Sometimes both vectors you are given start from the same letter. Then you do not need to reverse twice.

Worked example

1
$B A = (- 5 4), B C = (91)$ — Now both given moves start at B. We still want AC.
2
$A C = A B + B C$ — Go from A to B, then from B to C.
3
$A B = - B A = (5 - 4)$ — AB is the reverse of the given BA: flip both signs of (−5, 4).
4
$5 + 9 = 14$ — Add the tops of AB and BC.
5
$- 4 + 1 = - 3$ — Add the bottoms of AB and BC.
6
$A C = (14 - 3)$ — Put both answers in one column.

Key idea

A shortcut when both start at B: $A C = B C - B A$ . Here that is $(9 - (- 5), 1 - 4) = (14, - 3)$ , the same answer.

5. Moving a Point by a Vector

كثير من الأسئلة يعطيك نقطة ومتجهًا ويطلب نقطة أخرى. إذا كانت النقطة المعطاة هي البداية، فأضف العدد العلوي للمتجه إلى الإحداثي السيني، وأضف العدد السفلي إلى الإحداثي الصادي. أما إذا كانت النقطة المجهولة هي البداية، أي الحرف الأول في اسم المتجه، فارجع للخلف: اطرح المتجه من نقطة النهاية. نقل شكل كامل بمتجه هو العمل نفسه: أضف المتجه إلى كل رأس من رؤوسه. اكتب الإجابة كنقطة بين قوسين مع فاصلة، وليس كعمود. اكتب عملية الجمع لكل إحداثي، فالسطر الصحيح من الحل قد يمنحك درجة حتى لو أخطأت في الآخر. وتحقق في النهاية بالتحرك للأمام لترى أنك تصل إلى النقطة المعطاة.

Many questions give you a point and a vector, and ask for another point. Use this whenever you see a vector joined to a point.

Formula

Q = (x_{P} + p, y_{P} + q) when P Q = (p q)

$P$ is the start point $(x_{P}, y_{P})$ , $Q$ is the end point, and $p$ and $q$ are the top and bottom of the vector. The top number moves x and the bottom number moves y. To find the start point instead, take the vector away: $P = (x_{Q} - p, y_{Q} - q)$ .

Moving a whole shape by a vector is the same job: add the vector to every corner.

Worked example

1
$P (- 4, 3), P Q = (7 - 5)$ — We know the start point and the move. We want the end point Q.
2
$- 4 + 7 = 3$ — Add the top number to the x-coordinate of P. Plus 7 means 7 to the right.
3
$3 + (- 5) = - 2$ — Add the bottom number to the y-coordinate of P. Adding −5 means 5 down.
4
$Q = (3, - 2)$ — Write the answer as a point, with a comma and round brackets, not as a column.

Now the other way round. The unknown point is the start of the vector, so you must go backwards.

Worked example

1
$F E = (2 - 4), E (6, 1)$ — FE goes from F to E. We know where it ends but not where it starts.
2
$F = E - F E$ — Undo the move: take the vector away from the end point.
3
$6 - 2 = 4$ — Take the top number away from the x-coordinate of E.
4
$1 - (- 4) = 1 + 4 = 5$ — Take the bottom number away from the y-coordinate. A minus before a minus makes a plus.
5
$F = (4, 5)$ — Check by moving forward: (4 + 2, 5 + (−4)) = (6, 1), which is E.

Common mistake

Adding the vector when the unknown point is the first letter. In FE the unknown is F, the start, so you subtract.

Key idea

Write the sum for each coordinate, such as −4 + 7 = 3. On a 2-mark question, one correct coordinate or one correct line of working usually earns a mark even if the other slips.

6. Which Method? Read the Question

قبل أن تبدأ، انظر إلى المعطيات وإلى اتجاه السهم لتختار الطريقة. إذا أُعطيت نقطتين أو شبكة: عُدّ أفقيًا ثم رأسيًا. إذا رأيت متجهًا معكوسًا أو متجهًا بإشارة سالب: اقلب الإشارتين. إذا أُعطيت متجهين وطُلب ثالث: امشِ في الطريق عبر النقطة الوسطى واعكس ما يشير عكس الطريق. إذا أُعطيت نقطة ومتجهًا: أضف المتجه لتصل إلى النهاية، واطرحه لتجد البداية. أما نقل الأشكال، والجمع والطرح، وطول المتجه، فلكل منها درس خاص. واقرأ الحرفين دائمًا بالترتيب: الأول هو البداية والثاني هو النهاية.

Look at what you are given and which way the arrow goes.

You see	You do
Two points or a grid	count across, then up or down
BA, or −a	flip both signs
AB and CB, find AC	route A to B to C, reverse CB
Move a shape by a vector	Translation
A point and a vector, find the other point	add the vector to the start; take it away to find the start
Add, subtract, missing numbers	Adding and Subtracting Vectors
How long is the vector?	Magnitude of a Vector

Key idea

Always read the letters in order. The first letter is the start, the second is the end.

تدرّب على المتجهات العمودية والانتقالات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المتجهات العمودية والانتقالات

1. What a Column Vector Is

2. Reading a Vector From a Grid

3. Going Backwards: the Negative Vector

4. Joining Two Moves: Find AC

5. Moving a Point by a Vector

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على المتجهات العمودية والانتقالات

أسئلة امتحانات سابقة على المتجهات العمودية والانتقالات، محلولة ومشروحة بالعربي