شرح جمع وطرح المتجهات

Adding and Subtracting Vectors

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Adding Vectors Means

جمع متجهين يعني أن تقوم بحركة ثم بالحركة الأخرى بعدها؛ والمجموع هو الحركة الواحدة من نقطة البداية الأولى إلى نقطة النهاية الأخيرة. القاعدة: اجمع العددين العلويين، واجمع العددين السفليين، ولا تخلط أبدًا عددًا علويًا مع سفلي. الترتيب لا يهم، فالطريقان ينتهيان في المكان نفسه. والطيارون يجمعون المتجهات فعلًا: حركة الطائرة نحو الشرق مع دفع الرياح نحو الجنوب تعطي حركتها الحقيقية فوق الأرض.

Adding two vectors means doing one move, then the other. The sum is the single move from the very start to the very end.

Rule

Add the top numbers. Add the bottom numbers. Never mix a top with a bottom.

Key idea

Order does not matter: $a + b = b + a$ . Both routes end at the same place.

Key idea

Pilots add vectors. If a plane flies east at 800 km/h and the wind pushes it south at 60 km/h, in one hour its real move over the ground is $(8000) + (0 - 60) = (800 - 60)$ km.

2. Adding Column Vectors

أكثر سؤال شائع: اجمع متجهين واكتب الناتج كمتجه عمودي، وقد يُسمّى الناتج «المحصّلة». اجمع العددين العلويين، وهما الحركة الأفقية، ثم اجمع العددين السفليين، وهما الحركة الرأسية. انتبه للأعداد السالبة: جمع عدد سالب يعني طرحه، وحركة إلى أعلى تلغي جزءًا من حركة إلى أسفل. ثم اكتب الناتجين في عمود واحد، وهذه حركة واحدة تقوم بعمل المتجهين معًا. الخطأ الشائع هو معاملة جمع العدد السالب كأنه جمع موجب؛ جمع السالب يجعل الناتج أصغر.

The most common question: work out $a + b$ as a column vector. Exams may call the answer the resultant.

Worked example

1
$a = (3 - 2), b = (- 1 5)$ — Two column vectors. Adding them gives one move that does both.
2
$3 + (- 1) = 2$ — Add the tops (the across numbers). Adding −1 takes 1 away.
3
$- 2 + 5 = 3$ — Add the bottoms (the up or down numbers). 5 up cancels 2 down and leaves 3 up.
4
$a + b = (23)$ — Put both answers in one column. This single move does a then b.

Common mistake

Treating 3 + (−1) as 4. Adding a negative number makes it smaller.

3. Subtracting Vectors

لطرح متجه من آخر، اطرح العلوي من العلوي والسفلي من السفلي. وبالرسم، طرح متجه يعني أن تقوم بالحركة الأولى ثم تقوم بالحركة الثانية بالعكس. أهم نقطة: طرح عدد سالب هو نفسه جمع، فالسالب بعد إشارة الطرح يتحول إلى موجب. وطرح عدد موجب من عدد سالب يجعلك تنزل أكثر تحت الصفر. اكتب الناتجين في عمود واحد. الخطأ الشائع هو نسيان أن طرح السالب جمع. وللرسم على الشبكة: ارسم المتجه الأول، ثم من رأسه ارسم الثاني بالعكس، والسهم من البداية إلى الرأس الأخير هو الناتج.

Take the top from the top and the bottom from the bottom. As a picture, $a - b$ means do $a$ , then do $b$ backwards.

Worked example

1
$a - b = (3 - 2) - (- 1 5)$ — Same a and b as before. Subtract b from a, top from top and bottom from bottom.
2
$3 - (- 1) = 3 + 1 = 4$ — Taking away a negative is the same as adding, so a minus before −1 turns into a plus.
3
$- 2 - 5 = - 7$ — Take 5 away from −2. It goes further below zero.
4
$a - b = (4 - 7)$ — Put both answers in one column.

Common mistake

Getting 2 for the top. Taking away a negative adds: $3 - (- 1) = 3 + 1 = 4$ .

Key idea

To draw $a - b$ on a grid, draw $a$ , then from its tip draw $b$ backwards. The arrow from the start to the final tip is $a - b$ .

4. Finding a Missing Vector

بعض الأسئلة تخفي حروفًا مجهولة داخل المتجهات. اعمل صفًا صفًا: كل صف في الناتج يأتي من الصف نفسه في الطرف الآخر. اكتب الصف العلوي كمعادلة وحلّها لتجد المجهول الأول، ثم اكتب الصف السفلي كمعادلة وحلّها لتجد الثاني. الفكرة نفسها تعمل مع الطرح، لكن انتبه إذا كانت إشارة سالب أمام المجهول: بعد نقل الأعداد يبقى سالب المجهول، فاقلب الإشارة في الطرفين لتحصل على المجهول نفسه. وفي النهاية تحقّق بالتعويض بالأعداد في المعادلة الأصلية.

Some questions hide letters inside the vectors. Work one row at a time: top row first, then bottom row.

Worked example

1
$(p 4) + (3 q) = (- 2 1)$ — Letters hide inside the vectors. Each row of the answer comes from the same row on the left.
2
$p + 3 = - 2$ — Write the top row as an equation: the two tops add to −2.
3
$p = - 2 - 3 = - 5$ — Take 3 away from both sides to get p alone.
4
$4 + q = 1$ — Write the bottom row as an equation: the two bottoms add to 1.
5
$q = 1 - 4 = - 3$ — Take 4 away from both sides to get q alone.

The same idea works for subtraction. Be careful with the minus in front of the unknown.

Worked example

1
$(m 5) - (2 n) = (7 - 1)$ — Subtract row by row, then write each row as an equation.
2
$m - 2 = 7$ — The top row: m minus 2 equals 7.
3
$m = 7 + 2 = 9$ — Add 2 to both sides to get m alone.
4
$5 - n = - 1$ — The bottom row: 5 minus n equals −1.
5
$- n = - 1 - 5 = - 6$ — Take 5 from both sides. This leaves minus n.
6
$n = 6$ — Change the sign on both sides, because we want n, not −n.

Key idea

Check by putting the numbers back: $- 5 + 3 = - 2$ and $4 + (- 3) = 1$ .

5. Adding Vectors Written With Letters

في الأسئلة على الأشكال تكون الإجابات مكتوبة بحرفين للمتجهين، فاجمع الحدود المتشابهة كما في الجبر: حدود المتجه الأول معًا وحدود المتجه الثاني معًا. عند جمع قوسين تُزال الأقواس دون تغيير أي إشارة. أما عند طرح قوس، فالإشارة السالبة خارج القوس تقلب إشارة كل حد بداخله، ثم تجمع الحدود المتشابهة. اكتب الحدين الناتجين معًا كإجابة. الخطأ الشائع هو قلب إشارة الحد الأول فقط داخل القوس، والصحيح أن السالب يؤثر على كل الحدود.

The 2-mark question in a shape gives an answer like $4 b - 2 a$ . Collect the $a$ terms and the $b$ terms, like algebra.

Worked example

1
$(2 a + 3 b) + (a - 5 b)$ — Add the two brackets. Collect the a terms together and the b terms together.
2
$= 2 a + 3 b + a - 5 b$ — Adding changes no signs, so just remove the brackets.
3
$2 a + a = 3 a$ — 2 lots of a plus 1 lot of a is 3 lots of a.
4
$3 b - 5 b = - 2 b$ — 3 lots of b take away 5 lots of b leaves −2 lots of b.
5
$= 3 a - 2 b$ — Write the two collected terms together.

Subtracting brackets needs more care.

Worked example

1
$(4 a - b) - (a - 3 b)$ — Subtract the second bracket from the first.
2
$= 4 a - b - a + 3 b$ — The minus outside flips every sign inside: −(a) is −a, and −(−3b) is +3b.
3
$4 a - a = 3 a$ — 4 lots of a take away 1 lot of a is 3 lots of a.
4
$- b + 3 b = 2 b$ — −1 lot of b plus 3 lots of b is 2 lots of b.
5
$= 3 a + 2 b$ — Write the two collected terms together.

Common mistake

Only flipping the first sign in the bracket. The minus sign applies to every term inside.

6. Which Method? Read the Question

انظر هل في السؤال أعمدة أم حروف، وجمع أم طرح. لجمع متجهين عموديين: اجمع العلويين ثم السفليين. للطرح: العلوي ناقص العلوي والسفلي ناقص السفلي. إذا كانت حروف مجهولة داخل العمود: اعمل صفًا صفًا. إذا كانت أقواس بالحروف: اجمع الحدود المتشابهة. أما ضرب متجه في عدد، والمسار داخل شكل، وقراءة متجه من شبكة، فلكل منها درس خاص. ونصيحة: ارسم رسمًا سريعًا، كل متجه يبدأ من رأس الذي قبله، وإذا أشارت إجابتك إلى اتجاه غريب فراجع الإشارات.

Look for columns or letters, plus or minus.

You see	You do
a + b with columns	add tops, add bottoms
a − b	top minus top, bottom minus bottom
Letters inside a column	one row at a time
Brackets of a and b	collect like terms
A number times a vector	Multiplying a Vector by a Scalar
A route through a shape	Expressing Vectors in Terms of a and b
Read a vector from a grid	Column Vectors and Translations

Key idea

Draw a quick sketch, nose to tail. If your answer points somewhere odd, check the signs.

تدرّب على جمع وطرح المتجهات

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح جمع وطرح المتجهات

1. What Adding Vectors Means

2. Adding Column Vectors

3. Subtracting Vectors

4. Finding a Missing Vector

5. Adding Vectors Written With Letters

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على جمع وطرح المتجهات

أسئلة امتحانات سابقة على جمع وطرح المتجهات، محلولة ومشروحة بالعربي