شرح الأحداث المركبة باستخدام الجداول ذات الاتجاهين

Combined Events with Two-Way Tables

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Is a Combined Event?

الحدث المركب هو شيئان يحدثان معًا، مثل مؤشرين، أو مشروب ووجبة خفيفة، أو شخص يُصنَّف حسب صفتين. اختر طريقة العرض المناسبة: إذا كان لديك قائمتان من الاختيارات فاكتب قائمة بكل الأزواج، وإذا كان لديك مؤشران أو حجرا نرد فارسم جدولًا للنتائج، وإذا صُنِّف الناس بطريقتين فاستعمل جدولًا ذا اتجاهين. بعد ذلك الاحتمال هو عدد النتائج المطلوبة على العدد الكلي للنتائج.

A combined event is two things happening together: two spinners, a drink and a snack, or a person sorted by two facts.

You have	Show it with
Two lists of choices	a list of pairs
Two spinners or dice	a table of scores
People sorted two ways	a two-way table

Rule

Then use $P = \frac{outcomes you want}{total outcomes}$ .

2. Completing a Two-Way Table

سؤال إكمال الجدول ذي الاتجاهين. السر: ابدأ دائمًا بصف أو عمود فيه فراغ واحد فقط، لأن كل صف وكل عمود يجب أن يساوي مجموعه. في المثال: أوجد عدد البنات بطرح الأولاد من الكلي، ثم املأ عمود السيارة لأن فيه فراغًا واحدًا، فيصير صف الأولاد فيه فراغ واحد فتملؤه بالطرح، وهكذا تنتقل من خانة إلى أخرى. في النهاية تحقق: صف البنات يجب أن يساوي عدد البنات الذي حسبته أولًا. كل خانة صحيحة تأخذ درجة حتى لو لم تُكمل الجدول، والأجزاء التالية تُصحح على جدولك أنت.

The 3 or 4-mark question: 80 students, 38 boys. 12 boys walk. 20 girls take the bus. 16 come by car, 7 of them girls. 27 walk.

Worked example

1
$girls = 80 - 38 = 42$ — Everyone is a boy or a girl, so take the 38 boys away from the 80 students.
2
$boys, car = 16 - 7 = 9$ — The car column has only one gap. 16 come by car and 7 of them are girls, so the other 9 are boys.
3
$boys, bus = 38 - 12 - 9 = 17$ — Now the boys row has only one gap. The boys must add to 38, so take away the 12 who walk and the 9 who come by car.
4
$girls, walk = 27 - 12 = 15$ — The walk column has one gap. 27 walk and 12 of them are boys, so 15 are girls.
5
$bus total = 17 + 20 = 37$ — Add down the bus column: 17 boys and 20 girls.
6
$15 + 20 + 7 = 42$ — Check: the girls row must add to the 42 girls from the first line. It does, so the table is right.

Travel	Boys	Girls
Walk	12	15
Bus	17	20
Car	9	7
Total	38	42

Rule

Start with a row or column that has only one gap. Every row and every column must add to its total.

Key idea

Every correct cell earns marks, even if you cannot finish the table. Later parts are marked from your own table, so one slip does not lose you everything.

3. Probability From a Two-Way Table

يُختار طالب عشوائيًا، والمطلوب أن تضع الخانة الصحيحة على المجموع الصحيح. إذا كان الشرط صفتين معًا (بنت وتمشي) فهي خانة واحدة، وتقسمها على العدد الكلي لأن أي طالب يمكن اختياره. إذا كان الشرط صفة واحدة (يركب الحافلة) فاستعمل مجموع ذلك العمود على الكلي. و«ليس بالسيارة» يعني الجميع ما عدا من يأتون بالسيارة. أما إذا قال السؤال «اختيرت إحدى البنات» فالمقام يصبح عدد البنات فقط. الخطأ الشائع: القسمة على العدد الكلي في هذه الحالة الأخيرة، مع أن الاختيار من البنات فقط. وبسّط الكسر في النهاية إن أمكن.

The 1 or 2-mark question: one student is picked at random. Put the right cell over the right total.

Worked example

1
$P (girl, walks) = \frac{15}{80}$ — A girl who walks is one cell: 15. Any of the 80 students could be picked, so divide by 80.
2
$= \frac{3}{16}$ — Simplify: divide the top and the bottom by 5.
3
$P (bus) = \frac{37}{80}$ — Anyone who takes the bus counts, so use the bus total, 37, over all 80. It does not simplify.
4
$P (not car) = \frac{80 - 16}{80}$ — Not car means everyone except the 16 who come by car.
5
$= \frac{64}{80} = \frac{4}{5}$ — 80 − 16 = 64. Then divide the top and the bottom by 16.
6
$a girl: P (car) = \frac{7}{42}$ — The question picks one of the girls, so only the 42 girls can be picked. 7 of them come by car.
7
$= \frac{1}{6}$ — Simplify: divide the top and the bottom by 7.

Common mistake

"One of the girls is picked" and dividing by 80. Only the 42 girls can be picked, so divide by 42.

4. A Table of Scores

تُدار عجلتان ويُجمع العددان. ارسم جدولًا: أعداد العجلة الأولى في الأعلى وأعداد الثانية على الجانب، واملأ كل خانة بالمجموع، صفًا بعد صف. عدد الخانات هو عدد أجزاء الأولى مضروبًا في عدد أجزاء الثانية، وكل خانة لها الفرصة نفسها. ثم عُدّ الخانات التي فيها الناتج المطلوب وضعها على عدد الخانات كلها، وبسّط. الخطأ الشائع: القسمة على عدد المجاميع المختلفة؛ بعض المجاميع تتكرر، فالمقام هو عدد الخانات كلها.

The 2-mark question: spin two spinners and add. Spinner A has 2, 4, 6. Spinner B has 1, 2, 3, 4. Fill every cell, then count.

Worked example

1
$B = 1 : 3, 5, 7$ — The row for $B = 1$ : add 1 to each number on A, so 2 + 1, 4 + 1 and 6 + 1.
2
$B = 2 : 4, 6, 8$ — The next row: add 2 to each number on A.
3
$B = 3 : 5, 7, 9$ — Add 3 to each number on A.
4
$B = 4 : 6, 8, 10$ — Add 4 to each number on A. Every row is done, so the table is full.
5
$3 \times 4 = 12 cells$ — A has 3 sections and B has 4, so there are 12 cells. Each cell is equally likely.
6
$P (7) = \frac{2}{12}$ — Count the cells that show 7: one in the $B = 1$ row and one in the $B = 3$ row.
7
$= \frac{1}{6}$ — Simplify: divide the top and the bottom by 2.

Common mistake

Dividing by 8 because there are 8 different totals, 3 to 10. Some totals appear more than once, so divide by the 12 cells.

5. Differences and Repeated Numbers

بعض الأسئلة تطلب الفرق بدل المجموع، أو تكون على العجلة أرقام مكررة. الفرق هو العدد الأكبر ناقص الأصغر دائمًا، فلا يكون سالبًا أبدًا. إذا ظهر عدد على جزأين من العجلة فاكتب صفه مرتين، لأن كل جزء نتيجة مستقلة لها الفرصة نفسها. ثم احسب عدد الخانات بضرب عدد أجزاء العجلتين، وعُدّ الخانات المطلوبة واقسم. الخطأ الشائع: كتابة الصف المكرر مرة واحدة، فيقل عدد الخانات ويخطئ الاحتمال. وجدول حاصل الضرب يُملأ بالطريقة نفسها، واتبع السؤال بدقة إذا حدد أي عدد يُطرح من أي عدد.

Some questions subtract instead of add, or a spinner shows the same number twice. Spinner A has 1, 2, 2. Spinner B has 1, 3, 4, 6. The score is the difference: the bigger number minus the smaller.

Worked example

1
$A = 1 : 0, 2, 3, 5$ — The row for $A = 1$ . Take the smaller number from the bigger one each time: 1 − 1, 3 − 1, 4 − 1, 6 − 1.
2
$A = 2 : 1, 1, 2, 4$ — The row for $A = 2$ : 2 − 1, 3 − 2, 4 − 2, 6 − 2. It is 3 − 2, not 2 − 3, because a difference is never negative.
3
$A = 2 : 1, 1, 2, 4$ — Spinner A shows 2 on two sections, so write the 2 row twice. Each section is its own equally likely outcome.
4
$3 \times 4 = 12 cells$ — 3 sections on A times 4 sections on B. Every cell is equally likely.
5
$P (1) = \frac{4}{12}$ — Count the cells that show 1: two in each 2 row, so 4.
6
$= \frac{1}{3}$ — Simplify: divide the top and the bottom by 4.

Common mistake

Writing the 2 row only once. That gives 8 cells, not 12. Every section of a spinner needs its own row, even if the number repeats.

Key idea

A table of products works the same way: multiply the row number by the column number in every cell. If the question says which number to take from which, follow it exactly.

6. Listing Every Combination

المطلوب كتابة كل الأزواج الممكنة، مثل مشروب ووجبة خفيفة. الطريقة المنظمة: ثبّت الاختيار الأول من القائمة الأولى وزاوجه مع كل عناصر القائمة الثانية بالترتيب، ثم انتقل إلى الاختيار التالي وكرر. في النهاية تحقق من العدد: عدد عناصر القائمة الأولى مضروبًا في عدد عناصر الثانية يجب أن يساوي عدد الأزواج. الخطأ الشائع: كتابة الزوج نفسه مرتين بترتيب مختلف، فهما الاختيار نفسه. ونسيان زوج واحد يفقدك درجة، لذا اعمل بترتيب. وإذا اخترت شيئين مختلفين من قائمة واحدة فلا تكتب الزوج المعكوس.

The 2-mark question: choose a drink (tea T, juice J, water W) and a snack (apple A, biscuit B, cake C). List every pair.

Worked example

1
$TA, TB, TC$ — Fix the first drink, tea, and pair it with every snack in turn.
2
$JA, JB, JC$ — Move to the next drink, juice, and run through the same three snacks.
3
$WA, WB, WC$ — The last drink, water, with the same three snacks.
4
$3 \times 3 = 9$ — Check the count: 3 drinks times 3 snacks makes 9 pairs, and the list has 9.

Common mistake

Writing TA and also AT. They are the same meal, so write it once. Missing one pair loses a mark, so work in order.

Key idea

Choosing 2 different things from one list? Fruits A, B, K, M give AB, AK, AM, BK, BM, KM: 6 pairs. BA is the same choice as AB, so leave it out.

7. Two Events Together: Multiply

حدثان منفصلان، مثل الحافلة والقطار، إذا كان أحدهما لا يؤثر في الآخر فهما مستقلان، واحتمال حدوثهما معًا هو حاصل ضرب احتماليهما. في المثال: احتمال «الاثنان في الموعد» معطى، فاكتب معادلة الضرب واقسم لتجد احتمال القطار. ثم احتمال التأخر لكل منهما هو الواحد ناقص احتمال الوصول في الموعد. «الاثنان متأخران» حدثان معًا فنضرب. وأخيرًا «واحد على الأقل في الموعد» يشمل كل الحالات إلا حالة تأخرهما معًا، فاطرحها من الواحد. الخطأ الشائع: الجمع بدل الضرب في «كلاهما»، فيخرج الناتج أكبر من واحد.

The 3 or 4-mark question: two separate events, like a bus and a train. If one does not change the other, they are independent.

Formula

P (A and B) = P (A) \times P (B)

A is the first event and B is the second. For both to happen, multiply.

Example: the bus is on time with probability 0.8. The bus and the train are both on time with probability 0.56. Find the probability that at least one of them is on time.

Worked example

1
$P (bus) \times P (train) = 0.56$ — Both on time means multiply, and the question says the answer is 0.56.
2
$0.8 \times P (train) = 0.56$ — Put in the bus probability, 0.8.
3
$P (train) = 0.56 \div 0.8 = 0.7$ — Divide both sides by 0.8 to undo the multiply.
4
$P (bus late) = 1 - 0.8 = 0.2$ — Late is the opposite of on time, and the two must add to 1.
5
$P (train late) = 1 - 0.7 = 0.3$ — The same idea for the train.
6
$P (both late) = 0.2 \times 0.3 = 0.06$ — Both late is two events together, so multiply.
7
$P (at least one on time) = 1 - 0.06$ — Every outcome has at least one on time except both late. So take that one case away from 1.
8
$= 0.94$ — 1 − 0.06 = 0.94.

Common mistake

Adding for "both". 0.8 + 0.7 is more than 1. Both means multiply.

Key idea

For picks one after another, see Tree Diagrams for Independent Events. If the first pick is not put back, see Tree Diagrams for Dependent Events.

8. Which Method? Read the Question

دليل لاختيار الطريقة: انظر ماذا يعطيك السؤال. إكمال جدول ذي اتجاهين: ابدأ بصف أو عمود فيه فراغ واحد. «اختيرت إحدى البنات»: اقسم على مجموع البنات. جدول نتائج: اجمع أو اضرب كل صف مع كل عمود. النتيجة فرق: الأكبر ناقص الأصغر في كل خانة. كتابة كل الأزواج: ثبّت الاختيار الأول ومرّ على الثاني. «كلاهما» أو «ولا واحد»: اضرب، و«واحد على الأقل» هو الواحد ناقص «ولا واحد». وتذكّر: عُدّ الخانات أو الأشخاص، لا عدد النتائج المختلفة.

Look at what the question gives you.

You see	You do
Complete the two-way table	fill a line with one gap first
One of the girls is picked	divide by the girls total
Complete the table of scores	combine each row with each column
The score is a difference	bigger minus smaller in every cell
List all the combinations	fix the first choice, run through the second
Both, neither, at least one	multiply; at least one is 1 minus neither
Two picks in a row	Tree Diagrams for Independent Events
Overlapping groups in circles	Probability with Venn Diagrams
One event, a table of probabilities	Probability from Tables and Charts

Key idea

Count cells or people, never the number of different labels.

تدرّب على الأحداث المركبة باستخدام الجداول ذات الاتجاهين

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الأحداث المركبة باستخدام الجداول ذات الاتجاهين

1. What Is a Combined Event?

2. Completing a Two-Way Table

3. Probability From a Two-Way Table

4. A Table of Scores

5. Differences and Repeated Numbers

6. Listing Every Combination

7. Two Events Together: Multiply

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الأحداث المركبة باستخدام الجداول ذات الاتجاهين

أسئلة امتحانات سابقة على الأحداث المركبة باستخدام الجداول ذات الاتجاهين، محلولة ومشروحة بالعربي