شرح المخططات الشجرية للأحداث المستقلة

Tree Diagrams for Independent Events

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Tree Diagram Shows

الشجرة البيانية تعرض حدثين أو أكثر يحدث أحدهما بعد الآخر. كل فرع نتيجة واحدة ومكتوب عليه احتمالها. هنا الأحداث مستقلة: نتيجة الأول لا تغيّر الثاني، مثل خرزة من كيس لا تؤثر في خرز كيس آخر. القاعدة: الفروع الخارجة من أي نقطة مجموعها واحد، وفي الشجرة المستقلة تكون كل مجموعات الفروع الثانية متشابهة. أما إذا لم يُعد الشيء الأول فالفروع الثانية تتغير، وهذا درس الأحداث غير المستقلة. ومثال من الحياة: قفل الدراجة ذو العجلات الرقمية، كل عجلة مستقلة، فاحتمال التخمين الصحيح هو حاصل ضرب احتمالات العجلات، وكل عجلة إضافية تجعل مهمة اللص أصعب بعشر مرات.

A tree diagram shows two or more events, one after the other. Each branch is one outcome, with its probability written on it.

Here the events are independent: the first result does not change the second. A bead from one bag cannot change the beads in another bag.

Rule

The branches from any one point add up to 1. On an independent tree, every set of second branches is the same.

Key idea

If the first thing taken is not put back, the second branches change. That is the lesson Tree Diagrams for Dependent Events.

Key idea

A bike lock has 4 wheels, each with the digits 0 to 9. The wheels are independent, so a random guess is right with probability $\frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10 000}$ . Each extra wheel makes a thief's job 10 times harder.

2. Completing the Tree

المطلوب ملء الاحتمالات الناقصة في الشجرة. للكيس الأول: اجمع الخرز لتعرف العدد الكلي، واحتمال كل لون هو عدده على الكلي. والفرع الآخر هو الواحد ناقص الأول، لأن كل زوج فروع مجموعه واحد. افعل الشيء نفسه للكيس الثاني. ولأن الخرزة الثانية تأتي دائمًا من الكيس الثاني مهما كانت نتيجة الأول، تكتب احتمالات الكيس الثاني نفسها على المجموعتين الثانيتين. الخطأ الشائع: تغيير الفروع الثانية لتصبح بمقام الكيس الأول. وإذا كانت النتائج ثلاثًا (فوز وتعادل وخسارة) فهناك ثلاثة فروع من كل نقطة، ومجموعها واحد أيضًا.

The 2-mark question: fill in the missing probabilities. Bag A has 3 gold and 5 silver beads. Bag B has 2 gold and 3 silver. Sam takes one bead from each bag.

Worked example

1
$A: gold \frac{3}{8}$ — Bag A has 3 + 5 = 8 beads, and 3 of them are gold.
2
$A: silver 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ — Every bead is gold or silver, so the two branches add to 1. Check: 5 of the 8 beads are silver.
3
$B: gold \frac{2}{5}$ — Bag B has 2 + 3 = 5 beads, and 2 of them are gold.
4
$B: silver 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ — Again the pair of branches adds to 1.
5
$write \frac{2}{5}, \frac{3}{5} twice$ — The second bead always comes from bag B, whatever came out of A. So both sets of second branches are the same.

Common mistake

Changing the second branches to eighths. The second bead comes from bag B, so both second pairs are $\frac{2}{5}$ and $\frac{3}{5}$ .

Key idea

Three outcomes, such as win, draw, lose? Then three branches from each point, and they still add to 1.

3. Both: Multiply Along One Path

لإيجاد احتمال «كلاهما»، مثل أن تكون الخرزتان ذهبيتين، اتبع مسارًا واحدًا من البداية إلى النهاية واضرب الاحتمالات عليه: فرع الكيس الأول في فرع الكيس الثاني. اضرب البسط في البسط والمقام في المقام ثم بسّط. الخطأ الشائع: جمع الفروع بدل ضربها، فعلى المسار نضرب دائمًا. وللتحقق: احتمالات المسارات الأربعة كلها مجموعها واحد.

The 2-mark question: find the probability of both, for example both beads gold. Follow one path from the start to the end and multiply.

Worked example

1
$P (gold, gold)$ — Both gold is one path: gold from bag A, then gold from bag B.
2
$= \frac{3}{8} \times \frac{2}{5}$ — Along a path, multiply: the branch for bag A times the branch for bag B.
3
$= \frac{6}{40}$ — Tops times tops: 3 × 2 = 6. Bottoms times bottoms: 8 × 5 = 40.
4
$= \frac{3}{20}$ — Simplify: divide the top and the bottom by 2.

Common mistake

Adding the branches: $\frac{3}{8} + \frac{2}{5}$ is more than the chance of either one. Along a path you always multiply.

Key idea

Check: the four path answers add to 1. Here $\frac{6}{40} + \frac{9}{40} + \frac{10}{40} + \frac{15}{40} = 1$ .

4. One of Each: Add the Paths

عندما يكون المطلوب «واحدًا بالضبط» أو «واحدًا من كل نوع» أو «من النوع نفسه»، يناسب السؤال أكثر من مسار. اضرب على طول كل مسار، ثم اجمع النواتج. «واحد من كل نوع» له مساران: الذهبي أولًا ثم الفضي، والفضي أولًا ثم الذهبي. اترك الكسور بالمقام نفسه بدون تبسيط ليسهل الجمع. و«النوع نفسه» يُحسب بالطريقة نفسها: مسار الذهبيتين زائد مسار الفضيتين. الخطأ الشائع: حساب ترتيب واحد فقط ونسيان الترتيب الآخر. واكتب حاصل ضرب كل مسار قبل الجمع، فكل حاصل صحيح يأخذ درجة.

The 3-mark question: exactly one, one of each, or the same kind. More than one path fits. Multiply along each path, then add the answers.

Worked example

1
$gold, silver = \frac{3}{8} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{40}$ — First path: gold from A, then silver from B. Multiply along it.
2
$silver, gold = \frac{5}{8} \times \frac{2}{5} = \frac{10}{40}$ — Second path: silver first, then gold. This is also one of each. Keep it over 40, without simplifying, so the adding is easy.
3
$\frac{9}{40} + \frac{10}{40} = \frac{19}{40}$ — Either path gives one of each, and only one can happen, so add them.

The same kind works the same way: $\frac{6}{40} + \frac{15}{40} = \frac{21}{40}$ .

Common mistake

Finding only gold then silver. One of each can happen in either order, so there are two paths.

Key idea

Write each path's product before you add. Each correct product earns a mark for working, even if the final answer goes wrong.

5. At Least One and Three Events

سؤال «مرة واحدة على الأقل»، غالبًا مع ثلاث محاولات. مسارات كثيرة تناسبه، لذلك استعمل المسار الوحيد الذي لا يناسبه: الواحد ناقص احتمال «ولا مرة». أولًا أوجد احتمال الإخفاق بطرح احتمال النجاح من الواحد. ثم «ولا مرة» مسار واحد: إخفاق ثم إخفاق ثم إخفاق، فاضرب الاحتمالات الثلاثة. ثم اطرح الناتج من الواحد. الخطأ الشائع: ضرب احتمال النجاح في عدد المحاولات، فيخرج الناتج أكبر من واحد ولا يمكن أن يكون احتمالًا. وتذكّر: العدد المتوقع هو الاحتمال مضروبًا في عدد المحاولات.

The 3-mark question: at least one, often with three games or three tries. Many paths fit, so use the one path that does not.

Formula

P (at least one) = 1 - P (none)

Leo scores a penalty with probability $\frac{7}{10}$ . He takes 3 penalties. Find the probability he scores at least once.

Worked example

1
$P (miss) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ — Score and miss are the two branches from each point, so they add to 1.
2
$P (none) = \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} \times \frac{3}{10}$ — No goal at all is one path: miss, miss, miss. Multiply along it.
3
$= \frac{27}{1000}$ — Tops: 3 × 3 × 3 = 27. Bottoms: 10 × 10 × 10 = 1000.
4
$P (at least one) = 1 - \frac{27}{1000}$ — Every other path has at least one goal, so take the no-goal path away from 1.
5
$= \frac{973}{1000}$ — 1000 − 27 = 973.

Common mistake

Working out $3 \times \frac{7}{10}$ . That is more than 1, so it cannot be a probability.

Key idea

Expected number of times = probability × number of tries. Late with probability 0.13 on 200 days: $200 \times 0.13 = 26$ days.

6. Exactly Two of Three (Extended/Higher)

المطلوب «اثنان بالضبط من ثلاثة»، مثل مطر في يومين بالضبط من ثلاثة أيام. أولًا أوجد احتمال اليوم الجاف بطرح احتمال المطر من الواحد. ثم اكتب المسارات التي فيها يومان ممطران بالضبط: اليوم الجاف قد يكون الأول أو الثاني أو الثالث، فهي ثلاثة مسارات. احسب مسارًا واحدًا بالضرب، ولأن المسارات الأخرى فيها الأعداد نفسها بترتيب مختلف فلها الاحتمال نفسه، فاضرب في ثلاثة. و«اثنان على الأقل» يعني اثنين بالضبط أو الثلاثة كلها، فأضف مسار المطر في الأيام الثلاثة. الخطأ الشائع: التوقف عند مسار واحد ونسيان الضرب في عدد الترتيبات.

Exactly two out of three days, games or throws: several paths fit, and they all give the same answer. Count them, then multiply. It rains on any day with probability 0.4. Find the probability it rains on exactly two of the next three days.

Worked example

1
$P (dry) = 1 - 0.4 = 0.6$ — Rain and dry are the two branches each day, so they add to 1.
2
$RRD, RDR, DRR$ — List the paths with exactly two rainy days (R = rain, D = dry). The dry day can be first, second or third, so there are 3 paths.
3
$P (RRD) = 0.4 \times 0.4 \times 0.6$ — Multiply along one path: rain, rain, dry.
4
$= 0.096$ — 0.4 × 0.4 = 0.16, then 0.16 × 0.6 = 0.096.
5
$3 \times 0.096 = 0.288$ — The other two paths use the same three numbers in a different order, so each is also 0.096. Add all 3 paths.
6
$P (at least two) = 0.288 + 0. 4^{3}$ — At least two means exactly two or all three. All three is one more path: rain, rain, rain.
7
$= 0.288 + 0.064 = 0.352$ — 0.4 × 0.4 × 0.4 = 0.064, then add.

Common mistake

Stopping at RRD = 0.096. Exactly two can happen in 3 orders, so multiply by 3.

7. Win, Draw or Lose (Extended/Higher)

بعض الأشجار فيها ثلاثة فروع من كل نقطة: فوز وتعادل وخسارة، ولكل نتيجة نقاط. أولًا أوجد احتمال الخسارة بطرح احتمالي الفوز والتعادل من الواحد، لأن الفروع الثلاثة مجموعها واحد. ثم فكّر: أي النتائج تعطي مجموع النقاط المطلوب؟ اكتبها، وتأكد أنه لا توجد طريقة أخرى. كل نتيجة لها ترتيبان (الفوز أولًا أو التعادل أولًا)، فاحسب كل مسار بالضرب ثم اجمع المسارين. الخطأ الشائع: حساب ترتيب واحد فقط، مع أن التعادل قد يأتي أولًا.

Some trees have three branches from each point, with points for each result. Mia plays two games. In each game $P (win) = 0.45$ and $P (draw) = 0.35$ , and otherwise she loses. A win scores 3 points, a draw 1 and a loss 0. Find the probability she scores exactly 4 points.

Worked example

1
$P (lose) = 1 - 0.45 - 0.35 = 0.2$ — The three branches from each point add to 1. You need this to complete the tree.
2
$3 + 1 = 4$ — 4 points needs one win and one draw. Nothing else makes 4: two wins make 6, two draws make 2, and a loss adds 0.
3
$P (W, D) = 0.45 \times 0.35 = 0.1575$ — First path: win, then draw. Multiply along it.
4
$P (D, W) = 0.35 \times 0.45 = 0.1575$ — Second path: draw first, then win. The same numbers, so the same answer.
5
$0.1575 + 0.1575 = 0.315$ — Either order gives 4 points, so add the two paths.

Common mistake

Finding only win then draw. The draw can come first, so there are two paths.

8. Which Method? Read the Question

دليل لاختيار الطريقة: ابحث عن الكلمات التي تخبرك كم مسارًا تحتاج. «أكمل الشجرة»: كل زوج فروع مجموعه واحد. «كلاهما»: اضرب على مسار واحد. «واحد بالضبط» أو «واحد من كل نوع»: اضرب كل مسار ثم اجمع. «واحد على الأقل»: الواحد ناقص «ولا واحد». «اثنان بالضبط من ثلاثة»: عُدّ الترتيبات ثم اضرب في مسار واحد. فوز وتعادل وخسارة مع نقاط: اكتب النتائج التي تعطي المجموع ثم اجمع. العدد المتوقع: الاحتمال في عدد المحاولات. وفي السؤال العكسي: إذا أُعطي احتمال ثلاث نتائج متشابهة فخذ الجذر التكعيبي لتجد احتمال المرة الواحدة، ثم احسب ما بعده.

Find the words that tell you how many paths you need.

You see	You do
Complete the tree	each pair adds to 1
Both, or two of a kind	multiply along one path
Exactly one, one of each	multiply each path, then add
At least one	$1 - P (none)$
Exactly two out of three	count the orders, then times one path
Win, draw or lose, with points	list the results that make the total, then add
How many times expected	probability × number of tries
Not put back	Tree Diagrams for Dependent Events
Given that	Conditional Probability

Key idea

Reverse question: three heads has probability $\frac{8}{125}$ . Cube root it: $P (head) = \frac{2}{5}$ , so $P (tail) = \frac{3}{5}$ and three tails is $(\frac{3}{5})^{3} = \frac{27}{125}$ .

تدرّب على المخططات الشجرية للأحداث المستقلة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المخططات الشجرية للأحداث المستقلة

1. What a Tree Diagram Shows

2. Completing the Tree

3. Both: Multiply Along One Path

4. One of Each: Add the Paths

5. At Least One and Three Events

6. Exactly Two of Three (Extended/Higher)

7. Win, Draw or Lose (Extended/Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على المخططات الشجرية للأحداث المستقلة

أسئلة امتحانات سابقة على المخططات الشجرية للأحداث المستقلة، محلولة ومشروحة بالعربي