شرح تطبيق نظريات الدائرة معًا

Combining Circle Theorems

يأتي في امتحانات Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. The Reason Bank

معظم أسئلة الدائرة تطلب سببًا لكل خطوة، ودرجات الأسباب تحتاج عبارات محددة. إذا رأيت زاوية عند المركز وأخرى على المحيط: الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية. القطر: الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. زاويتان على قوس واحد: الزوايا في القطعة نفسها متساوية. أربع نقاط على الدائرة: المتقابلتان في الشكل الرباعي الدائري مجموعهما مئة وثمانون. المماس ونصف القطر: المماس عمودي على نصف القطر. مماسان من نقطة خارجية: متساويان في الطول. مماس ووتر: نظرية القطعة المتبادلة. وأضف حقائق الزوايا العادية: زاويتا القاعدة في المثلث متساوي الساقين متساويتان، ومجموع زوايا المثلث مئة وثمانون، والزوايا المتبادلة متساوية، وزوايا الخط المستقيم مئة وثمانون، وحول النقطة وفي الشكل الرباعي ثلاثمئة وستون. كل زاوية صحيحة لها درجة، وكل سبب له درجة، فاكتب كل ما تجده مع سببه حتى لو لم تكمل.

Most circle questions say "give a reason for each stage". The reason marks need these exact words.

You spot	You write
Angle at O and at the edge	angle at the centre is twice the angle at the circumference
A diameter	angle in a semicircle is 90°
Two angles on one arc	angles in the same segment are equal
Four points on the circle	opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°
Tangent and radius	tangent is perpendicular to the radius
Two tangents from a point	tangents from an external point are equal in length
Tangent and chord	alternate segment theorem

Rule

Add the plain angle facts too: base angles of an isosceles triangle are equal, angles in a triangle add up to 180°, alternate angles are equal, angles on a straight line add up to 180°, angles at a point add up to 360°, angles in a quadrilateral add up to 360°.

Key idea

Each correct angle earns a mark, and the reasons earn their own marks. So write every angle you find, with its reason, even if you cannot finish.

2. Find It, Then Say Why

هذا سؤال من جزأين: الأول يطلب الزاوية، والثاني يطلب السبب، ولكل منهما درجة. في المثال، الوتر المعطى قطر والنقطة الثالثة على الدائرة، إذن الزاوية عندها قائمة لأن الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. ثم النقطة الرابعة تقف مع الزاوية المعطاة على الوتر نفسه وفي الجهة نفسها، فننقل القيمة نفسها لأن الزوايا في القطعة نفسها متساوية. الخطأ الشائع: كتابة أسباب مختصرة مثل «رباعي دائري» أو «نفس القوس» أو «نظرية الدائرة»، فهذه لا تأخذ أي درجة. اكتب الجملة كاملة.

The 1+1 mark question: part (i) wants the angle, part (ii) wants the reason. One diagram often has two of these.

P, Q, R and S are on a circle, with S on the same side of PQ as R. PR is a diameter and $∠ P R Q = 3 1^{\circ}$ .

Worked example

1
$∠ P QR = 9 0^{\circ}$ — PR is a diameter and Q is on the circle, so angle in a semicircle is 90°.
2
$∠ P S Q = ∠ P R Q = 3 1^{\circ}$ — S and R both stand on chord PQ, on the same side of it, so angles in the same segment are equal.

Common mistake

Short reasons like "cyclic quad", "same arc" or "circle theorem". They score 0. Write the full sentence.

3. Cyclic, Centre, Isosceles

سؤال طويل يربط ثلاث أفكار. أولًا: نجد الزاوية المقابلة للزاوية المعطاة في الشكل الرباعي الدائري بطرحها من مئة وثمانين. ثانيًا: الزاوية عند المركز التي تقف على الوتر نفسه ضعف هذه الزاوية المحيطية. ثالثًا: الضلعان الخارجان من المركز نصفا قطر، فالمثلث متساوي الساقين وزاويتا قاعدته متساويتان. أخيرًا: نطرح الزاوية المركزية من مئة وثمانين ونقسم الباقي على اثنين. اكتب مع كل خطوة سببها. الخطأ الشائع: أن تنسى توضيح لماذا المثلث متساوي الساقين، فاكتب أن الضلعين نصفا قطر.

The 4 or 5-mark question: A, B, C and D are on a circle, centre O. $∠ B C D = 12 4^{\circ}$ . Find angle OBD.

Worked example

1
$∠ B A D = 18 0^{\circ} - 12 4^{\circ} = 5 6^{\circ}$ — A and C are opposite corners of ABCD, so opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°.
2
$∠ B O D = 2 \times 5 6^{\circ} = 11 2^{\circ}$ — O and A both look at chord BD, so angle at the centre is twice the angle at the circumference.
3
$∠ O B D = ∠ O D B$ — OB and OD are radii, so triangle OBD is isosceles: base angles of an isosceles triangle are equal.
4
$∠ O B D + ∠ O D B = 18 0^{\circ} - 11 2^{\circ} = 6 8^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°, so the two base angles share what is left.
5
$∠ O B D = 6 8^{\circ} \div 2 = 3 4^{\circ}$ — The two base angles are equal, so each one is half of 68°.

Common mistake

Forgetting to say why the triangle is isosceles. Write that OB and OD are radii.

4. Diameter Chains

القطر يعطيك زاوية قائمة مجانًا، ومجموع زوايا المثلث يكمل الباقي. أولًا: النقطة على الدائرة المقابلة للقطر تصنع زاوية قائمة لأن الزاوية المرسومة في نصف دائرة قائمة. ثانيًا: في المثلث صار عندنا زاويتان معلومتان، فنطرحهما من مئة وثمانين لنجد الثالثة. ثالثًا: الزاوية المطلوبة تقف مع هذه الزاوية على الوتر نفسه وفي الجهة نفسها، فهي تساويها. تذكّر: متى عرفت زاوية واحدة على قوس، فكل زاوية أخرى على القوس نفسه وفي الجهة نفسها تساويها.

The 3 or 4-mark question: a diameter gives a free $9 0^{\circ}$ , and the triangle sum does the rest.

AB is a diameter. C and D are on the circle, with D on the same side of AC as B. $∠ C A B = 2 7^{\circ}$ . Find angle ADC.

Worked example

1
$∠ A C B = 9 0^{\circ}$ — AB is a diameter and C is on the circle, so angle in a semicircle is 90°.
2
$∠ A B C = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 2 7^{\circ} = 6 3^{\circ}$ — Triangle ABC now has two known angles, and angles in a triangle add up to 180°.
3
$∠ A D C = ∠ A B C = 6 3^{\circ}$ — D and B both stand on chord AC, on the same side of it, so angles in the same segment are equal.

Key idea

Once you have one angle on an arc, every other angle on that arc, same side, is free.

5. Tangent and Parallel Lines

سؤال طويل يجمع المماس والخطوط المتوازية. أولًا: المماس يوازي وترًا، ووتر آخر يقطعهما على شكل حرف زد، فالزاويتان المتبادلتان متساويتان. ثانيًا: الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية في القطعة المتبادلة، وهذه نظرية القطعة المتبادلة. ثالثًا: صار في المثلث زاويتان معلومتان، فنجمعهما ونطرح من مئة وثمانين لنجد الثالثة. رابعًا: الزاوية المطلوبة تقف مع هذه الزاوية على الوتر نفسه وفي الجهة نفسها، فهما متساويتان. الخطأ الشائع: كتابة كلمة «متبادلة» وحدها؛ قل «الزوايا المتبادلة متساوية» للمتوازيين، و«نظرية القطعة المتبادلة» للمماس.

The 5-mark question: AB is the tangent at B. C, D and E are on the circle. AB is parallel to ED and $∠ A B E = 6 8^{\circ}$ . Find angle DCE.

Worked example

1
$∠ B E D = ∠ A B E = 6 8^{\circ}$ — AB is parallel to ED, and BE crosses both in a Z shape, so alternate angles are equal.
2
$∠ B D E = 6 8^{\circ}$ — The 68° is between tangent AB and chord BE. D is across chord BE, so by the alternate segment theorem it gets the same angle.
3
$∠ B E D + ∠ B D E = 6 8^{\circ} + 6 8^{\circ} = 13 6^{\circ}$ — Add the two angles you know in triangle BDE.
4
$∠ E B D = 18 0^{\circ} - 13 6^{\circ} = 4 4^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°, so the third angle is what is left.
5
$∠ D C E = ∠ E B D = 4 4^{\circ}$ — C and B both stand on chord DE, on the same side of it, so angles in the same segment are equal.

Common mistake

Writing "alternate" alone. Say "alternate angles are equal" for the parallel lines and "alternate segment theorem" for the tangent.

6. Equal Sides and a Tangent

كثيرًا ما يُعلَّم وتران متساويان بشرطات صغيرة، فيعطيك ذلك مثلثًا متساوي الساقين دون أنصاف أقطار. أولًا: الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية في القطعة المتبادلة. ثانيًا: الوتران متساويان، فزاويتا القاعدة في المثلث متساويتان. ثالثًا: نطرح الزاويتين من مئة وثمانين لنجد زاوية الرأس. رابعًا: الزاوية المطلوبة تقابل زاوية الرأس في شكل رباعي دائري، فنطرحها من مئة وثمانين. الخطأ الشائع: كتابة «متساوي الساقين» دون سبب؛ اذكر أي ضلعين متساويين ولذلك زاويتا القاعدة متساويتان.

Exams often mark two chords as equal with little dashes. That gives an isosceles triangle with no radii in sight. Use it next to the tangent.

ST is the tangent at A. B, C and D are on the circle, with D on the small arc BC. $A B = A C$ and $∠ T A B = 6 4^{\circ}$ . Find angle BDC.

Worked example

1
$∠ A C B = 6 4^{\circ}$ — The 64° is between tangent AT and chord AB. C is across chord AB, so by the alternate segment theorem it gets the same angle.
2
$∠ A B C = ∠ A C B = 6 4^{\circ}$ — AB = AC, so triangle ABC is isosceles and base angles of an isosceles triangle are equal.
3
$∠ B A C = 18 0^{\circ} - 6 4^{\circ} - 6 4^{\circ} = 5 2^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°, so the angle at A is what is left.
4
$∠ B D C = 18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} = 12 8^{\circ}$ — A and D are opposite corners of ABDC, so opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°.

Common mistake

Writing "isosceles" with no reason. Say which sides are equal: AB = AC, so the base angles are equal.

7. Two Tangents and the Centre

المماسان من نقطة واحدة مع نصفي القطرين يكوّنان شكلًا يشبه الطائرة الورقية، فيه زاويتان قائمتان لأن المماس عمودي على نصف القطر. لذلك نجد الزاوية عند المركز بطرح الزوايا الثلاث المعلومة من ثلاثمئة وستين، لأن مجموع زوايا الشكل الرباعي ثلاثمئة وستون. والزاوية المنعكسة عند المركز هي الباقي من الدورة الكاملة. النقطة على القوس الكبير ترى الزاوية المركزية الصغيرة فنأخذ نصفها، أما النقطة على القوس الصغير فترى الزاوية المنعكسة فنأخذ نصفها هي. للتحقق: الزاويتان الناتجتان متقابلتان في شكل رباعي دائري ومجموعهما مئة وثمانون. الخطأ الشائع: أخذ نصف الزاوية الصغيرة لنقطة على القوس الصغير.

Two tangents from one point make a kite with the two radii. Two of its angles are 90°, so the angle at the centre comes from 360°.

DA and DC are tangents to a circle, centre O. $∠ A D C = 5 0^{\circ}$ . B is on the big arc AC and E is on the small arc. Find angle AOC, the reflex angle AOC, angle ABC and angle AEC.

Worked example

1
$∠ O A D = ∠ O C D = 9 0^{\circ}$ — OA and OC are radii that meet the tangents, so tangent is perpendicular to the radius.
2
$∠ A O C = 36 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ — OADC has four angles, and angles in a quadrilateral add up to 360°.
3
$reflex ∠ A O C = 36 0^{\circ} - 13 0^{\circ} = 23 0^{\circ}$ — The reflex angle is the rest of the turn round O: angles at a point add up to 360°.
4
$∠ A B C = 13 0^{\circ} \div 2 = 6 5^{\circ}$ — B is on the big arc, so it looks at the same arc as the 130°. Angle at the centre is twice the angle at the circumference, so halve it.
5
$∠ A E C = 23 0^{\circ} \div 2 = 11 5^{\circ}$ — E is on the small arc, so it looks at the other side, the reflex 230°. Halve that.

Key idea

Check: ABCE is a cyclic quadrilateral, and $6 5^{\circ} + 11 5^{\circ} = 18 0^{\circ}$ . The opposite angles add up to 180°, so both answers fit.

Common mistake

Halving 130° for a point on the small arc. A point on the small arc uses the reflex angle at O.

8. Angles in Terms of x

أحيانًا تُعطى زاوية بدلالة مجهول ويُطلب منك زاوية أخرى بدلالته. استخدم الأسباب نفسها كما مع الأعداد، واحتفظ بالمجهول في كل سطر. أولًا: الضلعان من المركز نصفا قطر، فالمثلث متساوي الساقين وزاويتا قاعدته متساويتان. ثانيًا: نطرح الزاويتين من مئة وثمانين فنحصل على الزاوية المركزية بدلالة المجهول. ثالثًا: الزاوية المحيطية نصف المركزية، فنقسم كل حد على اثنين. ثم إذا أُعطيت الزاوية نفسها بتعبير آخر، نساوي التعبيرين ونحل المعادلة ونتحقق. الخطأ الشائع: قسمة حد واحد فقط مما بين القوسين على اثنين؛ يجب قسمة كل الحدود.

Some questions give an angle as x, then ask for another angle "in terms of x". Use the same reasons as with numbers. Keep x in every line.

A, B and C are on a circle, centre O. C and O are on the same side of AB. $∠ O A B = x^{\circ}$ . Find angle ACB in terms of x. Then, if $∠ A C B = (x + 20)^{\circ}$ , find x.

Worked example

1
$∠ O B A = x$ — OA and OB are radii, so triangle OAB is isosceles: base angles of an isosceles triangle are equal.
2
$∠ A O B = 180 - x - x = 180 - 2 x$ — Angles in a triangle add up to 180°. Collect the two x's: x + x = 2x.
3
$∠ A C B = \frac{180 - 2 x}{2}$ — C looks at the same chord AB as O. Angle at the centre is twice the angle at the circumference, so halve it.
4
$∠ A C B = 90 - x$ — Halve each part: 180 ÷ 2 = 90 and 2x ÷ 2 = x.
5
$90 - x = x + 20$ — Both expressions are angle ACB, so set them equal.
6
$70 = 2 x$ — Add x to both sides and take 20 from both sides.
7
$x = 35$ — Divide by 2. Check: OAB = 35°, AOB = 110°, ACB = 55° = 35° + 20°.

Common mistake

Halving only part of the bracket: $(180 - 2 x) \div 2$ is $90 - x$ , not $90 - 2 x$ .

9. Prove It

في سؤال الإثبات تبني سلسلة من الزوايا، ولكل خطوة سببها. أولًا: نقطتان تقفان على الوتر نفسه في الجهة نفسها، فالزاويتان متساويتان. ثانيًا: الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية في القطعة المتبادلة. ثالثًا: صار في المثلث زاويتان معلومتان فنجد الثالثة من مئة وثمانين. رابعًا: نلاحظ أن هذه الزاوية تساوي الزاوية بين المماس والوتر، وهما على شكل حرف زد، فهما متبادلتان والخطان متوازيان. اختم الإثبات دائمًا بالحقيقة المطلوبة وسببها: «الزوايا المتبادلة متساوية، إذن الخطان متوازيان».

The 4 or 5-mark proof: ABC is the tangent at B. D, E and F are on the circle. $∠ E D F = 5 2^{\circ}$ and $∠ F B C = 6 4^{\circ}$ . Prove that ABC is parallel to EF.

Worked example

1
$∠ E B F = ∠ E D F = 5 2^{\circ}$ — B and D both stand on chord EF, on the same side of it, so angles in the same segment are equal.
2
$∠ B E F = ∠ F B C = 6 4^{\circ}$ — The 64° is between tangent BC and chord BF. E is across chord BF, so by the alternate segment theorem it gets the same angle.
3
$∠ B F E = 18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} - 6 4^{\circ} = 6 4^{\circ}$ — Triangle BEF now has two known angles, and angles in a triangle add up to 180°.
4
$∠ B F E = ∠ F B C = 6 4^{\circ}$ — These two angles sit in a Z shape across BF and they are equal. So they are alternate angles, and ABC is parallel to EF.

Rule

End a proof with the fact you were asked to prove, and why: "alternate angles are equal, so ABC is parallel to EF".

10. Which Method? Read the Question

اكتب كل زاوية على الرسم فور أن تجدها، فالخطوة التالية تكون غالبًا بجانبها. المركز مع نصفي قطر: مثلث متساوي الساقين. القطر: زاوية قائمة على الدائرة. أربع نقاط على الدائرة: المتقابلتان مجموعهما مئة وثمانون. زاويتان على قوس واحد: متساويتان. مماس ونصف قطر: زاوية قائمة. مماس ووتر: نظرية القطعة المتبادلة. مماسان من نقطة واحدة: زاويتان قائمتان ثم مجموع زوايا الشكل الرباعي ثلاثمئة وستون. أضلاع معلّمة بأنها متساوية: زاويتا القاعدة متساويتان. زاوية بمجهول: اكتب كل زاوية بدلالته. وتران متقاطعان مع أطوال: خواص الأوتار. زاوية ومساحة قطاع: مساحة القطاع. إذا توقفت، اكتب الحقائق التي تنطبق على رسمك، ثم ابحث عن مثلث فيه زاويتان معلومتان.

Mark every angle on the diagram as you find it. The next step is usually right next to it.

You see	Try first
O and two radii	isosceles triangle
A diameter	90° at the circle
Four points on the circle	opposite angles add to 180°
Two angles on one arc	same segment: equal
A tangent and a radius	90°
A tangent and a chord	alternate segment theorem
Two tangents from one point	two 90° angles, then the quadrilateral: 360°
Sides marked equal	isosceles: base angles equal
An angle called x	write each angle in terms of x
Crossing chords with lengths	Chord Properties
An angle and a sector area	Area of a Sector

Key idea

Stuck? List the facts from the table that fit your diagram, then look for a triangle with two known angles.

تدرّب على تطبيق نظريات الدائرة معًا

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تطبيق نظريات الدائرة معًا

1. The Reason Bank

2. Find It, Then Say Why

3. Cyclic, Centre, Isosceles

4. Diameter Chains

5. Tangent and Parallel Lines

6. Equal Sides and a Tangent

7. Two Tangents and the Centre

8. Angles in Terms of x

9. Prove It

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على تطبيق نظريات الدائرة معًا

أسئلة امتحانات سابقة على تطبيق نظريات الدائرة معًا، محلولة ومشروحة بالعربي