شرح نظرية القطعة المتبادلة

Alternate Segment Theorem

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Tangent Meets Chord

المماس يلمس الدائرة في نقطة واحدة، ومن نفس النقطة يبدأ وتر. انظر إلى الزاوية المحصورة بين المماس والوتر. الوتر يقسم الدائرة إلى قطعتين، والقطعة المتبادلة هي القطعة الواقعة في الجهة الأخرى من الوتر، بعيدًا عن هذه الزاوية. القاعدة: الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المرسومة في القطعة المتبادلة، والسبب الذي تكتبه هو «نظرية القطعة المتبادلة».

A tangent touches the circle at A. A chord AB starts at the same point. Look at the angle between the tangent and the chord.

The chord cuts the circle into two segments. The alternate segment is the one on the other side of the chord from that angle.

Rule

The angle between a tangent and a chord equals the angle in the alternate segment. Reason: alternate segment theorem.

2. Find the Angle, Name the Theorem

في سؤال الدرجتين: درجة للزاوية ودرجة لكتابة اسم النظرية «نظرية القطعة المتبادلة». في المثال: أولًا حدّد الزاوية بين المماس والوتر، وكلاهما يبدأ من نقطة التماس. ثانيًا تأكد أن النقطة الثالثة على الدائرة تقع في الجهة الأخرى من الوتر، أي في القطعة المتبادلة. ثالثًا الزاوية عند تلك النقطة، المرسومة من طرفي الوتر نفسه، تساوي زاوية المماس والوتر. الخطأ الشائع: مطابقة الزاوية مع زاوية في الجهة نفسها من الوتر؛ اعبر الوتر دائمًا إلى القطعة البعيدة. والقاعدة تعمل في الاتجاهين.

The 2-mark question: one mark for the angle, one for writing "alternate segment theorem".

Worked example

1
$∠ T A B = 5 8^{\circ}$ — The angle between the tangent TA and the chord AB. Both lines start at A, the point where the tangent touches the circle.
2
$C is in the alternate segment$ — Chord AB cuts the circle in two. C is on the far side of AB from the 58°, so it is in the other, alternate, segment.
3
$∠ A C B = 5 8^{\circ}$ — The angle at C is made by lines to the two ends of the same chord, A and B. Alternate segment theorem: it equals the tangent–chord angle.

Common mistake

Matching the angle between tangent and chord to an angle on the same side of the chord. Go across the chord, to the far segment.

Key idea

It works both ways: know the angle at C, and you know the angle between the tangent and the chord.

3. Pick the Right Chord

في رسومات الامتحان قد يخرج من نقطة التماس وتران أو ثلاثة، ولكل زاوية عند المماس شريكها الخاص. القاعدة: الزاوية بين المماس ووتر معيّن تساوي الزاوية على الدائرة المرسومة على الوتر نفسه في الجهة المقابلة، أي التي يذهب ضلعاها إلى طرفي هذا الوتر. في المثال: سمِّ الوتر أولًا لكل زاوية عند المماس، ثم ابحث عن زاوية المثلث التي يذهب ضلعاها إلى طرفي هذا الوتر. بعد ذلك تجد الزاوية الثالثة عند نقطة التماس لأن الزوايا على خط مستقيم مجموعها مئة وثمانون درجة، ثم تتحقق بأن زوايا المثلث مجموعها مئة وثمانون. الخطأ الشائع: ربط الزاوية بزاوية تقف على وتر آخر؛ انظر إلى أين يذهب ضلعا الزاوية قبل أن تطابقها.

Exam diagrams often have two or three chords starting at the point where the tangent touches. Each angle at the tangent has its own partner. Here is how to match them.

Rule

The angle between the tangent and a chord equals the angle at the circle that stands on the same chord, across from it. "Stands on AB" means its two arms go to A and B.

SAT is a tangent at A. B and C are on the circle. $∠ T A B = 7 0^{\circ}$ and $∠ S A C = 4 5^{\circ}$ . Find the angles of triangle ABC.

Worked example

1
$∠ T A B = 7 0^{\circ} uses chord A B$ — First name the chord. The 70° sits between the tangent and chord AB.
2
$∠ A C B = 7 0^{\circ}$ — Angle ACB has arms to A and B, so it stands on chord AB, and C is across AB from T. Alternate segment theorem.
3
$∠ S A C = 4 5^{\circ} uses chord A C$ — Now the other side of the tangent. The 45° sits between the tangent and chord AC.
4
$∠ A B C = 4 5^{\circ}$ — Angle ABC has arms to A and C, so it stands on chord AC, and B is across AC from S. Alternate segment theorem.
5
$70 + 45 = 115$ — Add the two angles at A that sit on the tangent line.
6
$∠ B A C = 180 - 115 = 6 5^{\circ}$ — SAT is a straight line, and angles on a straight line add up to 180°.
7
$65 + 70 + 45 = 180$ — Check: the three angles of triangle ABC add up to 180°, so the answers agree.

Common mistake

Matching the 70° with angle ABC. ABC stands on chord AC, not AB. Look where the angle's two arms go before you pair it.

4. With the Centre O

أحيانًا يُعطى مركز الدائرة بدل نقطة في القطعة المتبادلة، ويمكنك إيجاد زاوية المماس والوتر بطريقتين. الطريقة الأولى: خذ نقطة على القوس الكبير، فتكون الزاوية عندها نصف الزاوية المركزية لأن الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية، ثم بنظرية القطعة المتبادلة تساوي زاوية المماس والوتر. الطريقة الثانية: نصفا القطر متساويان فالمثلث متساوي الساقين، فتجد زاويتي القاعدة من مجموع زوايا المثلث، ثم تطرح زاوية القاعدة من الزاوية القائمة بين المماس ونصف القطر. الطريقتان تعطيان النتيجة نفسها: زاوية المماس والوتر نصف الزاوية المركزية على الوتر نفسه، فاستخدم ما يسمح به الرسم.

Some questions mark the centre O instead of a point in the alternate segment. You can find the tangent–chord angle two ways. TA is a tangent at A. O is the centre and B is on the circle. $∠ A O B = 11 2^{\circ}$ . Find $∠ T A B$ , on the side of the smaller arc AB.

Way 1: through the angle at the circumference

Worked example

1
$∠ A C B = 112 \div 2 = 5 6^{\circ}$ — Pick any point C on the big arc, across AB from T. The angle at the centre is twice the angle at the circumference, so halve 112.
2
$∠ T A B = 5 6^{\circ}$ — C is in the alternate segment, so by the alternate segment theorem the tangent–chord angle is also 56°.

Way 2: through the radius

Worked example

1
$O A = O B$ — Both are radii, so triangle OAB is isosceles and its base angles at A and B are equal.
2
$180 - 112 = 68$ — Angles in a triangle add up to 180°. The two base angles share what is left.
3
$∠ O A B = 68 \div 2 = 3 4^{\circ}$ — Equal base angles, so each gets half.
4
$∠ O A T = 9 0^{\circ}$ — A tangent meets the radius at 90°.
5
$∠ T A B = 90 - 34 = 5 6^{\circ}$ — Chord AB lies between the radius OA and the tangent, so take the 34° away from the 90°.

Key idea

Both ways give 56°: the tangent–chord angle is always half the angle at the centre on the same chord. Use whichever way the diagram's points allow.

5. The Long Chain

سؤال الخمس درجات يجمع عدة نظريات: القطعة المتبادلة، والمثلث متساوي الساقين، والشكل الرباعي الدائري. اكتب سببًا لكل سطر. الخطوات: أولًا استخدم نظرية القطعة المتبادلة لتنقل زاوية المماس والوتر إلى زاوية داخل المثلث. ثانيًا المثلث متساوي الساقين، فزاويتا القاعدة متساويتان. ثالثًا اجمعهما واطرح من مئة وثمانين لتجد الزاوية الثالثة. رابعًا في الشكل الرباعي الدائري الزاويتان المتقابلتان مجموعهما مئة وثمانون، فتجد الزاوية المطلوبة. الخطأ الشائع: كتابة الأرقام فقط بلا أسباب، فمعظم الدرجات على الزوايا الوسيطة وأسبابها.

The 5-mark question adds an isosceles triangle and a cyclic quadrilateral. Give a reason for every line.

TA is a tangent at A. B, C and D are on the circle, with D across AC from B. $B A = B C$ and $∠ T A B = 6 4^{\circ}$ . Find angle ADC.

Worked example

1
$∠ A C B = 6 4^{\circ}$ — The tangent TA and the chord AB make 64°, and C is across AB from it. Alternate segment theorem: angle ACB is also 64°.
2
$∠ B A C = 6 4^{\circ}$ — BA = BC, so triangle ABC is isosceles. Its base angles, at A and C, are equal.
3
$64 + 64 = 128$ — Add the two base angles you now know.
4
$∠ A B C = 180 - 128 = 5 2^{\circ}$ — Angles in a triangle add up to 180°, so the third angle is what is left.
5
$∠ A D C = 180 - 52 = 12 8^{\circ}$ — ABCD is a cyclic quadrilateral, and B and D are opposite corners. Opposite angles of a cyclic quadrilateral add up to 180°.

Common mistake

Writing only numbers. Each stage needs its reason, or you lose the reason marks.

Key idea

Show every line with its reason. In a long question most marks are for the angles found on the way and their reasons, so the final answer alone scores very little.

6. Which Method? Read the Question

هذه الشاشة تساعدك على اختيار الطريقة من الرسم. إذا التقى مماس ووتر في نقطة واحدة فاستخدم نظرية القطعة المتبادلة. إذا خرج وتران من نقطة التماس فطابق كل زاوية مع وترها. إذا التقى المماس ونصف القطر فاستخدم خصائص المماس. إذا رأيت ضلعين متساويين فزاويتا القاعدة متساويتان، وإذا كانت أربع نقاط على الدائرة فهو شكل رباعي دائري، وإذا كان المماس موازيًا لوتر فاجمع النظريات. ملاحظة مهمة: اكتب اسم النظرية كاملًا بالإنجليزية في الامتحان، لأن كلمة «متبادلة» وحدها قد تُفهم على أنها الزوايا المتبادلة.

Look for a tangent and a chord that meet at the same point.

You see	You do
Tangent and chord meet	alternate segment theorem
Two chords at the touch point	pair each angle with its own chord
Tangent and radius meet	Tangent Properties of a Circle
Two sides marked equal	isosceles: equal base angles
Four points on the circle	Cyclic Quadrilaterals
Tangent parallel to a chord	Combining Circle Theorems

Key idea

Write the name in full: "alternate segment theorem". Just "alternate" can be mistaken for alternate angles.

تدرّب على نظرية القطعة المتبادلة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح نظرية القطعة المتبادلة

1. Tangent Meets Chord

2. Find the Angle, Name the Theorem

3. Pick the Right Chord

4. With the Centre O

5. The Long Chain

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على نظرية القطعة المتبادلة

أسئلة امتحانات سابقة على نظرية القطعة المتبادلة، محلولة ومشروحة بالعربي