شرح صورة إكمال المربع ورأس المنحنى

Completed Square Form and Turning Points

يأتي في امتحانات Edexcel Further Pure Maths 4PM1 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · IGCSE Additional Maths 0606

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Reading the Turning Point

صيغة إكمال المربع تعطيك نقطة الدوران مباشرة دون أي حساب إضافي. انظر إلى العدد المضاف إلى المجهول داخل القوس وغيّر إشارته، فهذا هو الإحداثي السيني لنقطة الدوران، أما العدد الموجود وحده خارج القوس فهو الإحداثي الصادي كما هو. في المثال نجعل ما داخل القوس صفرًا، لأن المربع لا يكون سالبًا أبدًا وأصغر قيمة له صفر، ثم نعوّض فيختفي القوس ويبقى العدد الخارجي. تذكّر: إذا كان العدد أمام القوس موجبًا فالنقطة قيمة صغرى، وإذا كان سالبًا فهي قيمة عظمى.

Completed square form shows the turning point with no extra working. The number with x changes sign; the number outside stays.

Formula

y = a (x + b)^{2} + c \Rightarrow turning point (- b, c)

$a$ is the number in front of the bracket, $b$ the number added to x inside it, and $c$ the number on its own outside. If the form is $a (x - b)^{2} + c$ , the turning point is $(b, c)$ .

Worked example

1
$f (x) = 6 - 2 (x + 3)^{2}$ — The curve. The squared bracket has −2 in front of it.
2
$(x + 3)^{2} \geq 0$ — A squared number is never negative. The smallest it can be is 0.
3
$x + 3 = 0, so x = - 3$ — The bracket is 0 when x = −3. The +3 changes sign.
4
$f (- 3) = 6 - 2 (0)^{2} = 6$ — Put x = −3 in. The bracket part vanishes, leaving the number outside.
5
$(- 3, 6)$ — The turning point. Any other x takes something away from 6, so 6 is the greatest value: a maximum.

Rule

If a is positive the turning point is a minimum, and c is the least value of y. If a is negative it is a maximum, and c is the greatest value.

2. Complete the Square, Then Read

أغلب الأسئلة تعطيك الدالة مفكوكة، فتبدأ بإكمال المربع في الجزء الأول ثم تقرأ نقطة الدوران في الجزء الثاني. إذا كان أمام مربع المجهول عدد غير الواحد فأخرِجه عاملًا مشتركًا من حدود المجهول فقط، واترك العدد الثابت خارجًا. بعد ذلك أكمل المربع داخل القوس واطرح الزيادة، ثم افتح القوس الكبير بضرب العدد الخارجي في الجزأين، واجمع الأعداد الثابتة. الخطأ الشائع هو نسيان تغيير إشارة العدد داخل القوس عند قراءة النقطة. وأجب دائمًا عن الجزء الثاني، لأنه يُصحَّح بناءً على جوابك في الجزء الأول حتى لو كان فيه خطأ.

Most questions give the expanded form. Part (a) completes the square — the full method is in the lesson The Quadratic Formula and Completing the Square. Part (b) reads the turning point.

Worked example

1
$4 + 12 x - 2 x^{2}$ — The question. The x² has −2 in front, so take −2 out first.
2
$= - 2 (x^{2} - 6 x) + 4$ — Take −2 out of the x terms only: $- 2 x^{2} \div (- 2) = x^{2}$ and $12 x \div (- 2) = - 6 x$ . The 4 stays outside.
3
$x^{2} - 6 x = (x - 3)^{2} - 9$ — Complete the square inside. Half of −6 is −3, and $(x - 3)^{2}$ makes an extra 9, so take 9 away.
4
$= - 2 [(x - 3)^{2} - 9] + 4$ — Put that back in place of $x^{2} - 6 x$ .
5
$= - 2 (x - 3)^{2} + 18 + 4$ — Open the big bracket. The −2 multiplies both parts: (−2) × (−9) = +18.
6
$= 22 - 2 (x - 3)^{2}$ — 18 + 4 = 22. Written with the number first, as in the form a − b(x − c)².
7
$x - 3 = 0, so x = 3$ — For part (b): the bracket is 0 when x = 3. The −3 changes sign.
8
$A = (3, 22)$ — Then y = 22. It is a maximum, because the −2 makes the curve upside down.

Common mistake

Reading the point as (−3, 22). The bracket is (x − 3), and that is 0 when x = 3.

Key idea

Part (b) is marked from your part (a). If (a) has a slip but you read its turning point correctly, you still get the mark — so always answer (b).

3. Quick Check: x = −b ÷ 2a

هذه طريقة سريعة لإيجاد الإحداثي السيني لنقطة الدوران مباشرة من الصيغة المفكوكة: سالب معامل المجهول مقسومًا على ضعف معامل مربع المجهول. خذ كل معامل مع إشارته، وضع الأعداد السالبة بين قوسين حتى لا تضيع إشارة. بعد أن تجد الإحداثي السيني عوّض به في المعادلة لتجد الإحداثي الصادي. إذا كان معامل المربع سالبًا فالنقطة قيمة عظمى. استخدم هذه الطريقة للتحقق، لكن إذا طلب السؤال استخدام جوابك السابق فاقرأ النقطة من صيغة إكمال المربع، فهذا ما يأخذ الدرجات.

A fast way to find where the turning point is, straight from the expanded form. Use it to check your completed square, or when a question just says “find the turning point”.

Formula

x = - \frac{b}{2 a}

For $y = a x^{2} + b x + c$ : $a$ is the number in front of $x^{2}$ and $b$ the number in front of x, each with its sign. This gives the x of the turning point; put it back in the equation for y.

Worked example

1
$y = 5 - 6 x - x^{2}$ — The curve. a = −1 (the x² has a minus) and b = −6.
2
$x = - \frac{( - 6 )}{2 \times ( - 1 )}$ — Put b and a into the formula. Keep each negative in brackets so no sign is lost.
3
$x = \frac{6}{- 2}$ — Top: −(−6) = 6, two minuses make a plus. Bottom: 2 × (−1) = −2.
4
$x = - 3$ — 6 ÷ (−2) = −3. A positive divided by a negative is negative.
5
$y = 5 - 6 (- 3) - (- 3)^{2}$ — Put x = −3 back into the equation to find y.
6
$y = 5 + 18 - 9 = 14$ — −6 × (−3) = +18, and (−3)² = 9, so the last term is −9.
7
$(- 3, 14)$ — The turning point. It is a maximum, because a is negative.

Key idea

Check: completing the square gives 14 − (x + 3)², which turns at (−3, 14) too. But if a question says “use your answer to part (a)”, read the point from your completed square — that is what earns the marks.

4. From Turning Point to Equation

هنا يعطيك السؤال نقطة الدوران ويطلب المعادلة، فتعمل بالعكس. الإحداثي السيني للنقطة يحدد القوس: اختر القوس الذي يصبح صفرًا عند هذه القيمة، أي بإشارة معاكسة لها، والإحداثي الصادي هو العدد الذي يُكتب خارج القوس. ثم افتح القوس بالتربيع واجمع الأعداد الثابتة لتصل إلى الصيغة المفكوكة وتقرأ المعاملات المطلوبة. تحقّق في النهاية بالتعويض بالإحداثي السيني لترى أنك تحصل على الإحداثي الصادي. الخطأ الشائع هو كتابة القوس بالإشارة نفسها لا بعكسها.

Some questions give the turning point and ask for the equation, such as “y = x² + bx + c has a minimum at (4, −9). Find b and c.” Work backwards.

Worked example

1
$(4, - 9)$ — The minimum. x = 4 means the bracket is (x − 4), because x − 4 = 0 at x = 4. y = −9 is the number outside.
2
$y = (x - 4)^{2} - 9$ — The completed square form. The x² has nothing in front, so there is no number before the bracket.
3
$(x - 4)^{2} = x^{2} - 8 x + 16$ — Expand the bracket: −4x twice makes −8x, and (−4)² = +16.
4
$y = x^{2} - 8 x + 16 - 9$ — Put the expanded bracket back in. The −9 is still on the end.
5
$y = x^{2} - 8 x + 7$ — 16 − 9 = 7. So b = −8 and c = 7.
6
$4^{2} - 8 (4) + 7 = - 9$ — Check: put x = 4 in. 16 − 32 + 7 = −9, the y of the turning point.

Common mistake

Writing (x + 4)². The bracket must be 0 at x = 4, and only x − 4 is 0 there.

5. Sketching the Curve

الرسم التقريبي يحتاج ثلاثة أشياء: الشكل الصحيح، ونقطة الدوران، ونقطة التقاطع مع محور الصادات، وكل منها مكتوب عليه إحداثياته. إذا كان معامل مربع المجهول موجبًا فالمنحنى مفتوح إلى الأعلى. أكمل المربع لتجد نقطة الدوران، ثم ضع المجهول صفرًا لتجد التقاطع مع محور الصادات. وبما أن المنحنى متماثل حول الخط الرأسي المار بنقطة الدوران، تجد نقطة مقابلة على الجهة الأخرى بالبعد نفسه. الخطأ الشائع هو رسم المنحنى مقلوبًا رغم أن المعامل موجب.

A sketch needs three things: the right shape, the turning point and the y-intercept, each labelled with its coordinates.

Worked example

1
$y = 2 x^{2} + 8 x + 3$ — The curve. The x² term is positive, so the curve is a U shape.
2
$= 2 (x^{2} + 4 x) + 3$ — Take the 2 out of the x terms only. The 3 stays outside.
3
$= 2 [(x + 2)^{2} - 4] + 3$ — Complete the square inside: half of 4 is 2, and (x + 2)² makes an extra 4, so take 4 away.
4
$= 2 (x + 2)^{2} - 5$ — 2 × (−4) = −8, and −8 + 3 = −5.
5
$(- 2, - 5)$ — The turning point: the bracket is 0 at x = −2. A minimum, because the 2 in front is positive.
6
$(0, 3)$ — Put x = 0 for the y-intercept: every x term is 0, leaving 3.
7
$(- 4, 3)$ — The curve is symmetric about x = −2. (0, 3) is 2 to the right of it, so (−4, 3) is 2 to the left.
8
$a U through all three$ — The bottom is below the x-axis, so the curve crosses it twice, both times between x = −4 and x = 0.

Common mistake

Drawing an upside-down U. The x² term is +2x², which is positive, so the curve opens upwards.

6. A Shifted Curve

إذا استُبدل كل مجهول في المعادلة بالمجهول مضافًا إليه عدد، فإن المنحنى ينتقل إلى اليسار بمقدار هذا العدد، ويبقى الإحداثي الصادي لنقطة الدوران كما هو. في المثال نكمل المربع أولًا ونقرأ نقطة الدوران، ثم نجري التبديل نفسه داخل صيغة إكمال المربع ونبسّط ما داخل القوس، فنقرأ النقطة الجديدة. القاعدة المختصرة: الجمع داخل القوس يحرك المنحنى إلى اليسار، والطرح يحركه إلى اليمين. الخطأ الشائع هو تحريك المنحنى إلى اليمين عند رؤية إشارة الجمع.

If every x in an equation is replaced by (x + 2), the curve moves 2 to the left. The y value of the turning point stays the same.

Worked example

1
$x^{2} - 6 x + 1 = (x - 3)^{2} - 8$ — Part (a): half of −6 is −3, (x − 3)² makes an extra 9, and −9 + 1 = −8.
2
$minimum (3, - 8)$ — The bracket is 0 at x = 3, leaving y = −8.
3
$y = (x + 2)^{2} - 6 (x + 2) + 1$ — The new curve: every x has become x + 2.
4
$y = ((x + 2) - 3)^{2} - 8$ — So make the same swap in the completed square: replace x by x + 2 there too.
5
$y = (x - 1)^{2} - 8$ — Inside the bracket, +2 − 3 = −1.
6
$M = (1, - 8)$ — The bracket is 0 at x = 1. The curve moved 2 to the left (3 → 1); the height −8 did not change.

Key idea

Shortcut: x + k in place of x moves the curve k to the left; x − k moves it k to the right. Translations are covered in full in the lesson Transformations of Graphs.

Common mistake

Moving right. A plus inside the bracket moves the curve to the left.

7. How Many Solutions?

بعض الأسئلة تسأل: لأي قيم للثابت يكون للمعادلة حلّان؟ تخيّل الطرف الثابت خطًا أفقيًا يقطع المنحنى، فالحلول هي نقاط التقاطع. أكمل المربع أولًا لتعرف أدنى قيمة يصل إليها المنحنى. إذا كان الخط أعلى من هذه القيمة الصغرى قطع المنحنى مرتين فيوجد حلّان، وإذا كان عندها تمامًا لامسه في نقطة واحدة فيوجد حل واحد، وإذا كان أسفل منها فلا توجد حلول. وإذا كان المنحنى مقلوبًا وله قيمة عظمى انعكس الأمر: يوجد حلّان عندما يكون الخط أسفل القيمة العظمى.

Some questions ask for which values of k an equation such as x² + 10x + 18 = k has two solutions. Think of y = k as a flat line crossing the curve.

Worked example

1
$x^{2} + 10 x + 18 = (x + 5)^{2} - 7$ — Complete the square: half of 10 is 5, (x + 5)² makes an extra 25, and −25 + 18 = −7.
2
$minimum (- 5, - 7)$ — So the lowest the curve goes is y = −7.
3
$y = k$ — The solutions of the equation are the x values where the flat line y = k meets the curve.
4
$k > - 7$ — Two solutions: a line above the lowest point cuts the U twice.
5
$k = - 7$ — One solution: the line just touches the bottom, at x = −5.
6
$k < - 7$ — No solutions: the line passes under the curve and never meets it.

Key idea

For a maximum (an upside-down U) it flips: two solutions when k is below the greatest value.

8. Which Method? Read the Question

هذا الجدول يلخص الدرس: انظر أولًا إلى صيغة الدالة في السؤال، ثم اختر ما تفعله. إذا كانت بصيغة إكمال المربع فاقرأ نقطة الدوران مباشرة، وإذا كانت مفكوكة فأكمل المربع أو استخدم القاعدة السريعة. إذا أُعطيت نقطة الدوران فاكتب صيغة القوس ثم افتحها، وفي الرسم التقريبي اذكر الشكل ونقطة الدوران والتقاطع مع محور الصادات. استبدال المجهول بالمجهول مضافًا إليه عدد يحرك المنحنى إلى اليسار، وعدد الحلول يعتمد على موقع الخط الأفقي من القيمة الصغرى أو العظمى، أما الحل الدقيق عند الصفر فبالقانون العام. وتذكّر: معامل سالب أمام المربع يعني قيمة عظمى، وموجب يعني قيمة صغرى.

Find the form first, then read or move.

You see	You do
a(x + b)² + c	turning point (−b, c)
Expanded form	complete the square first, or x = −b ÷ 2a
Turning point given	write the bracket form, then expand
Sketch	shape, turning point, y-intercept
x replaced by x + k	move k to the left
= k has two solutions	k above the minimum (below a maximum)
Solve = 0 exactly	Quadratic Formula

Key idea

Negative in front of the square: a maximum. Positive: a minimum.

تدرّب على صورة إكمال المربع ورأس المنحنى

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح صورة إكمال المربع ورأس المنحنى

1. Reading the Turning Point

2. Complete the Square, Then Read

3. Quick Check: x = −b ÷ 2a

4. From Turning Point to Equation

5. Sketching the Curve

6. A Shifted Curve

7. How Many Solutions?

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على صورة إكمال المربع ورأس المنحنى

أسئلة امتحانات سابقة على صورة إكمال المربع ورأس المنحنى، محلولة ومشروحة بالعربي