شرح حل المعادلات التربيعية من الرسم البياني

Solving Quadratics from a Graph

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Solutions Are Crossing Points

لحل معادلة تربيعية تساوي صفرًا من الرسم، انظر أين يقطع منحناها محور السينات، لأن كل نقطة على محور السينات يكون الصادي فيها صفرًا. الحلول هي قيم السيني عند نقاط التقاطع مع محور السينات، لا النقاط كاملة.

To solve $x^{2} - 6 x + 4 = 0$ from a graph, look where the curve $y = x^{2} - 6 x + 4$ crosses the x-axis. Every point on the x-axis has y = 0.

Rule

The solutions are the x values where the curve meets the x-axis.

2. Reading the Solutions

أشهر سؤال هنا: استخدم الرسم لحل المعادلة التي تساوي صفرًا. الطرف الأيسر هو منحناك، والمطلوب الأماكن التي يكون فيها الصادي صفرًا، أي حيث يقطع المنحنى محور السينات. انزل من كل نقطة تقاطع إلى المقياس واقرأ القيمة لمنزلة عشرية واحدة، والمنحنى على شكل حرف يو يقطع المحور غالبًا مرتين. تحقّق بأن متوسط الإجابتين يساوي محور التماثل. اكتب قيمتي السيني فقط لا النقاط كاملة. كل إجابة تأخذ درجة من منحناك أنت، فالرسم الأملس والقراءة الدقيقة هما مصدر الدرجات، والخطأ الشائع هو الاكتفاء بإجابة واحدة.

The most common 2-mark question: “use your graph to solve … = 0”. Here is every move.

Worked example

1
$x^{2} - 6 x + 4 = 0$ — The equation. Its left side is the curve on your grid, so you want the points where y = 0.
2
$y = 0 is the x-axis$ — Every point on the x-axis has y = 0, so look where the curve crosses that axis.
3
$left crossing: x \approx 0.8$ — Read straight down from the crossing to the scale. It is a little before 1, so x ≈ 0.8 to 1 decimal place.
4
$right crossing: x \approx 5.2$ — The U crosses the axis a second time, just past 5, so x ≈ 5.2.
5
$\frac{0.8 + 5.2}{2} = 3$ — Quick check: the two answers sit evenly either side of the line of symmetry x = 3. Their average is 3, so the readings are sensible.
6
$x \approx 0.8 or x \approx 5.2$ — Write both x values. Do not write points like (0.8, 0): the question asks for x.

Key idea

Each answer usually earns 1 mark, read from your own curve. A smooth, careful curve and careful reading are where the marks come from.

Common mistake

Giving only one answer. A U-shaped curve usually crosses the axis twice.

3. When It Equals a Number

كثيرًا ما تساوي المعادلة عددًا لا صفرًا. عندها ارسم خطًا أفقيًا عند هذا العدد عبر الشبكة كلها، لأن الصادي على المنحنى يمثل الطرف الأيسر. من كل نقطة يقطع فيها الخط المنحنى انزل إلى محور السينات واقرأ القيمة، وتحقّق بأن متوسط القيمتين هو محور التماثل. الخطأ الشائع هو رسم خط رأسي، مع أن العدد قيمة للصادي فالخط أفقي. وإذا كان الحد الثابت لا يطابق منحناك، فانقله أولًا بإضافة العدد نفسه إلى الطرفين أو طرحه منهما.

Often the equation equals a number, not 0. Then draw a flat line at that number and read where it cuts the curve.

Worked example

1
$x^{2} - 6 x + 4 = 3$ — The equation. The left side is the curve you already have; the right side is just the number 3.
2
$draw y = 3$ — On the curve, y stands for $x^{2} - 6 x + 4$ . So “curve = 3” means y = 3: draw that flat line right across the grid.
3
$left cut: x \approx 0.2$ — Find where the line cuts the curve on the left, then read straight down to the x-axis: x ≈ 0.2.
4
$right cut: x \approx 5.8$ — Do the same on the right side of the U: x ≈ 5.8.
5
$\frac{0.2 + 5.8}{2} = 3$ — Check: the average is 3, the line of symmetry again. Both readings agree.

Common mistake

Drawing the line x = 3. The 3 is a y value, so the line is flat (y = 3), not upright.

Key idea

If the number on the end does not match your curve, move it first. $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ is the same as $x^{2} - 6 x + 4 = 3$ (add 3 to both sides), so draw y = 3 on the graph of $y = x^{2} - 6 x + 4$ .

4. How Many Solutions?

لمعرفة عدد حلول المعادلة التي تساوي ثابتًا، قارن هذا الثابت بأدنى نقطة في المنحنى، لأن المنحنى لا ينزل أبدًا تحت قيمتها. إذا كان الثابت أكبر من هذه القيمة الصغرى، فالخط الأفقي فوق القاع ويقطع جانبي المنحنى، فيوجد حلّان. إذا كان مساويًا لها تمامًا، فالخط يلمس القاع في نقطة واحدة، فيوجد حل واحد. وإذا كان أصغر منها، فالخط تحت المنحنى كله ولا يلتقيان، فلا توجد حلول.

To say how many solutions $x^{2} - 6 x + 4 = k$ has, compare the number k with the lowest point of the curve, (3, −5).

Worked example

1
$lowest point (3, - 5)$ — The bottom of the U. The curve never goes below y = −5, so −5 is the number to compare with.
2
$k > - 5 \Rightarrow two solutions$ — The flat line y = k is above the bottom, so it cuts both sides of the U. Example: k = 3 gave 0.2 and 5.8.
3
$k = - 5 \Rightarrow one solution, x = 3$ — The line just touches the bottom of the U, at its one lowest point.
4
$k < - 5 \Rightarrow no solutions$ — The line is below the whole curve, so they never meet. Example: k = −6.

5. An Upside-Down Curve

إذا كان أمام مربع المجهول إشارة سالبة، فالمنحنى مقلوب، والطريقة هي نفسها تمامًا، لكن نقطة الدوران تصبح أعلى نقطة. للحل عند الصفر انظر أين يقطع المنحنى محور السينات، واقرأ القيمتين مع الانتباه لإشارة السالب في القيمة اليسرى. تحقّق بأن متوسطهما يساوي محور التماثل. ولعدد الحلول اعكس القاعدة: إذا كان العدد أعلى من القيمة العظمى فلا توجد حلول. الخطأ الشائع هو كتابة نقطة التقاطع مع محور الصادات كحل، والحلول هي فقط حيث يلتقي المنحنى بمحور السينات أو بالخط الأفقي.

Some questions use a curve with −x², like $y = - x^{2} + 2 x + 4$ . It is an upside-down U (∩). The method is exactly the same; only the turning point is now the highest point.

Worked example

1
$- x^{2} + 2 x + 4 = 0$ — The equation. The minus on $x^{2}$ turns the U upside down, but you still look where y = 0: the x-axis.
2
$highest point (1, 5)$ — The top of the ∩. The curve never goes above y = 5.
3
$left crossing: x \approx - 1.2$ — Read down from where the curve crosses the axis on the left. It is past −1, so x ≈ −1.2, with its minus sign.
4
$right crossing: x \approx 3.2$ — The other crossing is just past 3: x ≈ 3.2.
5
$\frac{( - 1.2 ) + 3.2}{2} = 1$ — Check: −1.2 + 3.2 = 2, and 2 ÷ 2 = 1, the line of symmetry x = 1. The readings agree.
6
$- x^{2} + 2 x + 4 = 6 \Rightarrow no solutions$ — For “how many”, flip the rule: 6 is above the highest point 5, so the line y = 6 misses the curve.

Common mistake

Writing (0, 4) as a solution. That is where the curve crosses the y-axis. Solutions are only where it meets y = 0 (or your flat line).

6. Which Method? Read the Question

قارن المعادلة بالمنحنى المرسوم ثم اختر الخطوة. إذا كان المنحنى يساوي صفرًا فاقرأ التقاطعات مع محور السينات، وإذا كان يساوي عددًا فارسم خطًا أفقيًا عنده. إذا كان الحد الثابت مختلفًا فأضف أو اطرح ليطابق المنحنى ثم ارسم الخط الأفقي. ولعدد الحلول قارن بأدنى نقطة أو أعلى نقطة. أما المعادلات الأخرى فلها درس الحل البياني العام، والإجابات الدقيقة لها درس القانون العام وإكمال المربع. أعطِ الإجابتين لمنزلة عشرية واحدة، وتحقّق بأن متوسطهما يساوي محور التماثل.

Compare the equation with the curve on the grid, then pick the move.

You see	You do
Curve = 0	read the x-axis crossings
Curve equals a number	draw that flat line
A different number on the end	add or subtract to match the curve, then draw a flat line
How many solutions?	compare with the lowest (or highest) point
Any other equation	Solving Equations by Graphical Methods
Exact answers	The Quadratic Formula and Completing the Square (Extended/Higher)

Key idea

Give answers to 1 decimal place, and give both. Check that they average to the line of symmetry.

تدرّب على حل المعادلات التربيعية من الرسم البياني

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح حل المعادلات التربيعية من الرسم البياني

1. Solutions Are Crossing Points

2. Reading the Solutions

3. When It Equals a Number

4. How Many Solutions?

5. An Upside-Down Curve

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على حل المعادلات التربيعية من الرسم البياني

أسئلة امتحانات سابقة على حل المعادلات التربيعية من الرسم البياني، محلولة ومشروحة بالعربي