شرح الدوال المركبة

Composite Functions

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What fg Means (Higher)

«إف جي» لعدد ما تعني: ضع العدد أولًا في الدالة جي، ثم ضع الناتج في الدالة إف. القاعدة: الدالة الأقرب إلى المدخل هي التي تُنفَّذ أولًا. في المثال نحسب جي أولًا لأنها بجوار العدد، ثم نعوّض بناتجها في إف. الخطأ الشائع أن تبدأ بإف؛ اقرأها كقوسين متداخلين، والقوس الداخلي أولًا. ومثل لبس الجوارب ثم الحذاء، تغيير الترتيب يغيّر النتيجة، لذلك إف جي وجي إف مختلفتان عادةً.

fg(x) means put x into g, then put the answer into f. The function next to x goes first.

Worked example

1
$f (x) = x^{2} - 4, g (x) = 2 x + 1$ — the two functions; find fg(3)
2
$g (3) = 2 (3) + 1 = 7$ — g first: it is next to the 3
3
$f (7) = 7^{2} - 4 = 45$ — then f takes the 7

Common mistake

Working out f(3) first. Read fg(3) as f(g(3)): the inside bracket comes first.

Key idea

Getting dressed is a composite function: first socks, then shoes. Swap the order and you get shoes, then socks on top. Now you know why $f g$ and $g f$ are usually different!

2. fg(x) as an Expression

عندما يُطلب إيجاد إف جي بدلالة المجهول، ضع تعبير جي كاملًا مكان المجهول في إف، داخل قوس. في المثال نستبدل كل مجهول في إف بتعبير جي مع الإبقاء على القوس، ثم نفك التربيع بكتابة القوس مرتين وضرب كل حد في القوس الأول في كل حد في الثاني، ثم نجمع الحدود المتشابهة. لاحظ في المقارنة أن إف جي (جي أولًا) تختلف عن جي إف (إف أولًا).

“Find fg(x)” means put the whole of g(x) in place of x in f. Use a bracket.

Worked example

1
$f g (x) = f (2 x + 1)$ — g(x) goes into f, so the x in f is replaced by g(x).
2
$f g (x) = (2 x + 1)^{2} - 4$ — Every x in f becomes (2x + 1). Keep the bracket.
3
$f g (x) = (2 x + 1) (2 x + 1) - 4$ — A square means times itself, so write the bracket twice.
4
$f g (x) = 4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 - 4$ — Multiply each term of one bracket by each term of the other.
5
$f g (x) = 4 x^{2} + 4 x - 3$ — Collect like terms: 2x + 2x = 4x, and 1 − 4 = −3.

fg(x)

4 x^{2} + 4 x - 3

g first, then f.

gf(x)

2 x^{2} - 7

f first, then g.

3. A Function Twice

إدخال الدالة في نفسها دالة مركبة أيضًا، والداخل يُحسب أولًا كالعادة. في المثال الأول نحسب قيمة الدالة عند العدد السالب، ونضعه داخل قوس حتى لا تضيع الإشارة، ثم نأخذ الناتج ونعوّض به في الدالة مرة ثانية. في المثال الثاني نضع تعبير الدالة كاملًا مكان المجهول داخل قوس، ثم نفك القوس ونجمع الأعداد. وفي النهاية نتحقق: التعويض بالعدد نفسه في التعبير الناتج يعطي الجواب السابق نفسه.

Putting a function into itself is a composite function too. The inside goes first, as always.

Worked example

1
$p (x) = 4 x - 7; find pp (- 1)$ — pp(−1) means p(p(−1)). Work out the inside p(−1) first.
2
$p (- 1) = 4 (- 1) - 7$ — Put −1 into p. Use a bracket to keep the negative sign.
3
$p (- 1) = - 4 - 7 = - 11$ — 4 × −1 = −4, then −4 − 7 = −11.
4
$p (- 11) = 4 (- 11) - 7$ — Now put that answer, −11, into p.
5
$p (- 11) = - 44 - 7 = - 51$ — 4 × −11 = −44, then −44 − 7 = −51.

Worked example

1
$pp (x) = p (4 x - 7)$ — For the expression, put the whole of p(x) into p.
2
$pp (x) = 4 (4 x - 7) - 7$ — Every x in p becomes (4x − 7). Keep the bracket.
3
$pp (x) = 16 x - 28 - 7$ — Multiply out the bracket: 4 × 4x and 4 × −7.
4
$pp (x) = 16 x - 35$ — −28 − 7 = −35.

Key idea

Check with the number: $16 (- 1) - 35 = - 51$ . It matches $pp (- 1)$ above.

4. Solving fg(x) = k

أوجد تعبير إف جي أولًا، ثم تصبح المسألة معادلة عادية. في المثال نساوي التعبير بالعدد المعطى، ثم ننقل العدد إلى الطرف الآخر ليصبح أحد الطرفين صفرًا، ونقسم كل الحدود على عامل مشترك لتصغير الأعداد، ثم نحلل إلى قوسين. بما أن حاصل الضرب صفر فأحد القوسين يساوي صفرًا، فنحل كلًّا منهما. وأخيرًا نتحقق من كل حل بالتعويض في جي أولًا ثم في إف.

Find fg(x) first. Then it is an ordinary equation.

Worked example

1
$4 x^{2} + 4 x - 3 = 5$ — This is fg(x) from the fg(x) card, set equal to 5.
2
$4 x^{2} + 4 x - 8 = 0$ — Take 5 from both sides, so one side is 0.
3
$x^{2} + x - 2 = 0$ — Divide every term by 4 to make the numbers smaller.
4
$(x + 2) (x - 1) = 0$ — Factorise: the numbers +2 and −1 multiply to −2 and add to 1.
5
$x = - 2 or x = 1$ — One of the brackets must be 0, so solve each one.
6
$g (- 2) = 2 (- 2) + 1 = - 3, f (- 3) = (- 3)^{2} - 4 = 5$ — Check x = −2: g first, then f. The answer is 5, so it works.
7
$g (1) = 2 (1) + 1 = 3, f (3) = 3^{2} - 4 = 5$ — Check x = 1 the same way. It also gives 5.

5. Solving fg(x) > 0

بعض الأسئلة ذات الأربع درجات تطلب متباينة، مثل أن يكون إف جي أكبر من الصفر. الطريقة: أوجد أولًا أين يساوي التعبير صفرًا بالتحليل إلى قوسين، فتحصل على نقطتي تقاطع المنحنى مع محور السينات. معامل مربع المجهول موجب، فالمنحنى على شكل كوب مفتوح إلى الأعلى، ويكون فوق الصفر خارج النقطتين: المجهول أصغر من النقطة الصغرى أو أكبر من النقطة الكبرى. الخطأ الشائع أن تكتب المجهول بين النقطتين؛ هذا الجزء تحت محور السينات حيث يكون التعبير سالبًا.

Some 4-mark questions ask for an inequality. Find where it equals 0, then use the shape.

Worked example

1
$4 x^{2} + 4 x - 3 > 0$ — This is fg(x) > 0. First find where it equals 0.
2
$(2 x + 3) (2 x - 1) = 0$ — Factorise the expression.
3
$x = - \frac{3}{2} or x = \frac{1}{2}$ — Set each bracket to 0: 2x + 3 = 0 gives −3/2, and 2x − 1 = 0 gives 1/2. These are the crossing points.
4
$4 x^{2} has a positive number in front$ — So the graph is a U-shape, opening upwards.
5
$x < - \frac{3}{2} or x > \frac{1}{2}$ — A U-shape is above 0 outside the two crossing points.

Common mistake

Writing −3/2 < x < 1/2. That part is below the x-axis, where fg(x) < 0.

6. Inverse of a Composite (Higher)

سؤال الخمس درجات: أوجد إف جي، ثم أكمل المربع، ثم أوجد الدالة العكسية. عوّض بجي في إف مع الأقواس، ثم فك الأقواس واجمع الحدود المتشابهة. لإكمال المربع خذ نصف معامل المجهول، ثم اطرح المربع الزائد الذي ظهر. بعد ذلك اكتب صاد بدل الدالة، وانقل العدد، وخذ الجذر التربيعي للطرفين، وتذكّر أن للجذر قيمتين موجبة وسالبة. شرط المجال يحدد الإشارة التي نحتفظ بها، وهنا نختار الموجبة. أخيرًا اعزل المجهول وبدّل الرمزين لتحصل على الدالة العكسية.

The 5-mark question: find fg(x), complete the square, then find the inverse.

Worked example

1
$f (x) = x^{2} - 2 x, g (x) = x + 3$ — Here h = fg for x ≥ −2. First put g into f.
2
$h (x) = (x + 3)^{2} - 2 (x + 3)$ — Every x in f becomes (x + 3). Keep the brackets.
3
$h (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 2 x - 6$ — Expand (x + 3)². Then multiply both terms of the second bracket by −2.
4
$h (x) = x^{2} + 4 x + 3$ — Collect like terms.
5
$h (x) = (x + 2)^{2} - 4 + 3$ — Complete the square: half of 4 is 2, and (x + 2)² has an extra 4, so take 4 away.
6
$h (x) = (x + 2)^{2} - 1$ — −4 + 3 = −1.
7
$y + 1 = (x + 2)^{2}$ — Write y for h(x), then add 1 to both sides.
8
$\pm y + 1 = x + 2$ — Square root both sides. A square has two roots.
9
$x = - 2 + y + 1$ — x ≥ −2 means x + 2 is 0 or more, so keep the plus. Then take 2 from both sides.
10
$h^{- 1} (x) = - 2 + x + 1$ — Swap y for x.

Key idea

For swap and solve, see Inverse Functions.

7. Inverse of fg Without Expanding (Higher)

يمكن إيجاد معكوس إف جي دون فك الأقواس: نلغي الدالتين بالترتيب المعاكس. إف جي تطبّق جي أولًا ثم إف، فلإلغائها نلغي إف أولًا ثم جي؛ لذلك يكون معكوس إف في الداخل ومعكوس جي في الخارج. في المثال نوجد معكوس كل دالة بعكس عملياتها، ثم نضع معكوس إف داخل معكوس جي، ونوحّد المقامات لنجمع الكسرين. ونتحقق بإيجاد إف جي أولًا ثم عكسها بالتبديل والحل، فنحصل على النتيجة نفسها. الخطأ الشائع هو استخدام الترتيب نفسه بدل عكسه.

Sometimes you need the inverse of fg. You can skip the expanding: undo the functions in the reverse order.

Formula

(f g)^{- 1} (x) = g^{- 1} (f^{- 1} (x))

Rule

$f g$ does $g$ first, then $f$ . To undo it, undo $f$ first, then $g$ . So $f^{- 1}$ goes in first and $g^{- 1}$ goes outside.

Worked example

1
$f (x) = 2 x + 1 \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2}$ — Undo +1 with −1, then undo ×2 with ÷2.
2
$g (x) = x - 3 \Rightarrow g^{- 1} (x) = x + 3$ — Undo −3 with +3.
3
$(f g)^{- 1} (x) = g^{- 1} (f^{- 1} (x))$ — f⁻¹ goes in first, because f was the last function to be applied.
4
$(f g)^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2} + 3$ — Put f⁻¹(x) into g⁻¹, which adds 3.
5
$(f g)^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{2} + \frac{6}{2}$ — Write 3 as 6/2, so the fractions have the same bottom.
6
$(f g)^{- 1} (x) = \frac{x + 5}{2}$ — Add the tops: x − 1 + 6 = x + 5.
7
$f g (x) = 2 (x - 3) + 1 = 2 x - 5 \Rightarrow \frac{x + 5}{2}$ — Check: expand fg first, then swap and solve 2x − 5. It gives the same answer.

Common mistake

Using the same order as fg. The inverse of $f g$ is $g^{- 1} f^{- 1}$ , not $f^{- 1} g^{- 1}$ .

8. Which Method? Read the Question

القاعدة الأساسية: حدّد ما يدخل أولًا. الجدول يلخّص الحالات: إذا رأيت إف جي لعدد فاحسب جي للعدد أولًا ثم إف. إذا طُلب التعبير فضع جي داخل إف مع قوس. إذا كان التعبير مساويًا لعدد فأوجده ثم حل المعادلة. إذا كانت متباينة فحلّ عند الصفر ثم استخدم شكل المنحنى. وإذا طُلب المعكوس فأوجد التعبير ثم بدّل وحلّ. تذكّر أن إف جي وجي إف تختلفان عادةً، فانظر أي حرف بجوار المجهول.

Find what goes in first.

You see	You do
fg(3)	g(3) first, then f
fg(x)	Put g(x) into f, with a bracket
fg(x) = 5	Find fg(x), then solve
fg(x) > 0	Solve = 0, then use the shape
(fg)⁻¹ or h⁻¹	Find fg(x), then swap and solve

Key idea

fg and gf are usually different. Always check which letter is next to x.

تدرّب على الدوال المركبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الدوال المركبة

1. What fg Means (Higher)

2. fg(x) as an Expression

3. A Function Twice

4. Solving fg(x) = k

5. Solving fg(x) > 0

6. Inverse of a Composite (Higher)

7. Inverse of fg Without Expanding (Higher)

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على الدوال المركبة

أسئلة امتحانات سابقة على الدوال المركبة، محلولة ومشروحة بالعربي