شرح الدوال العكسية

Inverse Functions

يأتي في امتحانات Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024 · Edexcel IGCSE Maths 4MA1

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What an Inverse Does

الدالة آلة: يدخل عدد ويخرج عدد جديد. الدالة العكسية تشغّل الآلة بالعكس، من المخرج إلى المدخل. في المثال نرجع من المخرج ونعمل عكس كل خطوة، بدءًا من الخطوة الأخيرة: نلغي الجمع بالطرح، ثم نلغي الضرب بالقسمة. ونتحقق بتشغيل الآلة إلى الأمام. الخطأ الشائع أن تقرأ الأس السالب واحد في رمز الدالة العكسية على أنه «واحد على الدالة»؛ معناه «ألغِ» وليس مقلوب الدالة. وقصة طريفة: كان يوليوس قيصر يخفي رسائله بتحريك كل حرف ثلاثة أماكن إلى الأمام، ولقراءتها تحتاج إلى الدالة العكسية: حرّك كل حرف ثلاثة أماكن إلى الخلف.

A function is a machine: a number goes in, a new number comes out. The inverse machine runs it backwards, from the output to the input.

Worked example

1
$x \to \times 3 \to + 2 \to 20$ — f is a two-step machine: times 3, then add 2. We want the input that gives 20.
2
$20 \to - 2 \to \div 3 \to 6$ — Go backwards and do the opposite of each step, last one first: undo +2 with −2, then undo ×3 with ÷3.
3
$f^{- 1} (20) = 6$ — Check by running f forwards: 6 × 3 + 2 = 20.

Common mistake

Reading $f^{- 1} (x)$ as $\frac{1}{f ( x )}$ . The −1 means “undo”, not “one over”.

Key idea

The Roman writer Suetonius tells us Julius Caesar hid messages by moving each letter 3 places on: A became D. To read them, you need the inverse: move each letter 3 places back. Try it: FDW means CAT.

2. Swap and Solve

لإيجاد الدالة العكسية: اكتب صاد بدل الدالة، ثم اجعل المجهول موضوع القانون، ثم بدّل الرمزين. في المثال نتخلص من القسمة بضرب الطرفين، ثم ننقل العدد بالطرح، ثم نقسم على معامل المجهول، وأخيرًا نكتب سين بدل صاد. وتحقق بعدد: إذا أعطت الدالة ناتجًا لعدد ما، فيجب أن تعيد الدالة العكسية ذلك الناتج إلى العدد الأصلي.

To find $f^{- 1} (x)$ : write y for f(x), make x the subject, then swap the letters.

Worked example

1
$y = \frac{2 x + 7}{5}$ — f(x) = (2x + 7) ÷ 5
2
$5 y = 2 x + 7$ — multiply both sides by 5
3
$5 y - 7 = 2 x$ — take 7 from both sides
4
$x = \frac{5 y - 7}{2}$ — divide by 2
5
$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 7}{2}$ — swap y back to x

Key idea

Check with a number: f(4) = 3, so $f^{- 1} (3)$ must come out as 4. It does: $(5 \times 3 - 7) \div 2 = 4$ .

3. x on Top and Bottom

عندما يظهر المجهول في البسط والمقام معًا، اجمع حدود المجهول في طرف واحد ثم حلّل بإخراج عامل مشترك. الخطوات: اضرب الطرفين في المقام لتتخلص من الكسر، ثم فك القوس، ثم انقل كل حدود المجهول إلى طرف وكل الحدود الأخرى إلى الطرف الآخر. أخرج المجهول عاملًا مشتركًا ليُكتب مرة واحدة فقط، ثم اقسم على القوس الباقي، وأخيرًا بدّل الرمزين. الخطأ الشائع التوقف قبل سطر: ما دام المجهول في مكانين فهو ليس موضوع القانون بعد.

When x is on the top and the bottom of a fraction, gather the x terms on one side and factorise.

Worked example

1
$y = \frac{3 x}{x - 2}$ — Write y for f(x). The letter x is on the top and the bottom.
2
$y (x - 2) = 3 x$ — Multiply both sides by (x − 2) to clear the bottom of the fraction.
3
$y x - 2 y = 3 x$ — Expand the bracket: y times x, and y times −2.
4
$y x - 2 y - 3 x = 0$ — Take 3x from both sides, so the x terms are together.
5
$y x - 3 x = 2 y$ — Add 2y to both sides, so the terms without x are on the right.
6
$x (y - 3) = 2 y$ — Take x out as a common factor, so x is written only once.
7
$x = \frac{2 y}{y - 3}$ — Divide both sides by (y − 3).
8
$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ — Swap y for x.

Common mistake

Stopping one line early. While x is in two places, it is not the subject. Factorise to get one x.

4. A Squared Function (Higher)

المربع له جذران، لذلك يعطي السؤال مجالًا، والمجال يحدد الإشارة التي تحتفظ بها. في المثال نعزل القوس المربع بنقل العدد، ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين مع إشارتي الموجب والسالب. بما أن المجال يجعل ما داخل القوس موجبًا أو صفرًا، نحتفظ بإشارة الموجب، ثم نعزل المجهول ونبدّل الرمزين. تذكّر أن مخرجات الدالة هي مدخلات الدالة العكسية، فمجال الدالة العكسية يبدأ من أصغر قيمة للدالة.

A square has two roots, so the question gives a domain like $x \geq 3$ . The domain tells you which sign to keep.

Worked example

1
$y = (x - 3)^{2} + 2, x \geq 3$ — the function
2
$y - 2 = (x - 3)^{2}$ — take 2 from both sides
3
$\pm y - 2 = x - 3$ — square root both sides
4
$x = 3 + y - 2$ — x ≥ 3, so keep the plus
5
$f^{- 1} (x) = 3 + x - 2$ — swap y to x

Key idea

The inputs of f are the outputs of the inverse. Here f only gives numbers from 2 up, so the inverse only takes x ≥ 2.

5. Inverse of a Quadratic (Higher)

في الامتحان تأتي دالة تربيعية مع مجال، والمجهول فيها في مكانين. الطريقة: أكمل المربع أولًا لتكتبها كقوس مربع، ثم بدّل وحلّ، ودع المجال يختار الإشارة. في المثال نخرج المعامل من حدي المجهول، ونكمل المربع ونطرح الزائد، ثم نضرب في المعامل الخارجي ونجمع الأعداد. بعدها ننقل العدد، ونقسم على المعامل، ونأخذ الجذر التربيعي بإشارتين، ونحتفظ بالموجبة بسبب المجال، ثم نعزل المجهول ونبدّل الرمزين. أصغر قيمة للدالة تحدد مجال الدالة العكسية، وهذا يعني أن ما تحت الجذر لا يكون سالبًا.

Exams give you $x^{2} + b x + c$ with a domain. Write it as a squared bracket first. Then swap and solve, and let the domain choose the sign.

Worked example

1
$y = 2 x^{2} + 8 x + 3, x \geq - 2$ — Write y for f(x). The x terms are in two places, so complete the square.
2
$y = 2 (x^{2} + 4 x) + 3$ — Take out the 2 from the x terms, so that x² has no number in front.
3
$y = 2 ((x + 2)^{2} - 4) + 3$ — Half of 4 is 2. The bracket (x + 2)² has an extra 4, so take 4 away.
4
$y = 2 (x + 2)^{2} - 8 + 3$ — Multiply the −4 by the 2 outside the bracket.
5
$y = 2 (x + 2)^{2} - 5$ — Work out −8 + 3.
6
$y + 5 = 2 (x + 2)^{2}$ — Add 5 to both sides.
7
$\frac{y + 5}{2} = (x + 2)^{2}$ — Divide both sides by 2.
8
$\pm \frac{y + 5}{2} = x + 2$ — Square root both sides. A square has two roots.
9
$x = - 2 + \frac{y + 5}{2}$ — The domain x ≥ −2 means x + 2 is 0 or more, so keep the plus. Then take 2 from both sides.
10
$f^{- 1} (x) = - 2 + \frac{x + 5}{2}$ — Swap y for x.

Key idea

The lowest value of f is $f (- 2) = - 5$ , so the inverse takes $x \geq - 5$ . That is the same as saying the number under the root cannot be negative.

6. A Function and Its Inverse

إذا طبّقت دالة ثم دالتها العكسية، لا يتغيّر شيء: ترجع إلى المجهول نفسه، وليس إلى واحد ولا إلى صفر. يستخدم الامتحان هذه الفكرة للتبسيط، ولاكتشاف دالة هي معكوسة نفسها. الاختبار: ركّب الدالة مع نفسها؛ ضع تعبيرها كاملًا داخل قوس مكان المجهول، وانتبه أن السالب أمام القوس يغيّر إشارة كل حد. إذا كان الناتج هو المجهول نفسه فالدالة معكوسة نفسها. ومن هذا النوع أيضًا كل دالة على صورة عدد ثابت مقسوم على المجهول.

A function followed by its own inverse changes nothing. Exams use this to simplify, and to spot a function that is its own inverse.

Formula

f (f^{- 1} (x)) = x f^{- 1} (f (x)) = x

Rule

The answer is just $x$ . It is not 1 and it is not 0. Do the function and then undo it, and you are back where you began.

Worked example

1
$f (x) = 9 - x$ — Test whether doing f twice gives x back. If it does, f undoes itself.
2
$f f (x) = f (9 - x) = 9 - (9 - x)$ — Put the whole of f(x) into f, inside a bracket.
3
$f f (x) = 9 - 9 + x$ — Remove the bracket. The minus changes the sign of every term inside, so −(9 − x) = −9 + x.
4
$f f (x) = x$ — 9 − 9 = 0, so only x is left.
5
$f^{- 1} (x) = f (x)$ — Doing f twice gets x back, so f is its own inverse.

Worked example

1
$h (x) = \frac{1}{x}, x \neq = 0$ — Another test: is h its own inverse?
2
$hh (x) = \frac{1}{1/ x}$ — Put 1/x into h. The bottom of the fraction is now 1/x.
3
$hh (x) = x$ — 1 divided by 1/x flips back to x, so h is its own inverse.

Key idea

Any function $\frac{k}{x}$ is its own inverse. From $y = \frac{k}{x}$ you get $x = \frac{k}{y}$ , which is the same rule.

7. Which Method? Read the Question

انظر أين يظهر المجهول. الجدول يلخص: إذا ظهر مرة واحدة فألغِ كل خطوة بدءًا من الأخيرة. إذا كان في البسط والمقام فاجمع حدوده وحلّل. إذا كان هناك مربع ومجال فخذ الجذر واحتفظ بإشارة واحدة. إذا طُلبت قيمة الدالة العكسية عند عدد فحلّ معادلة الدالة تساوي ذلك العدد. وإذا طُلب حل الدالة تساوي معكوسها فحلّ الدالة تساوي المجهول بدلًا من ذلك. لا تحتاج دائمًا إلى إيجاد الدالة العكسية كاملة.

Look at where x appears.

You see	You do
x once	Undo each step, last first
x top and bottom	Gather x terms, factorise
A square and a domain	Square root, keep one sign
“Find $f^{- 1} (3)$ ”	Solve f(x) = 3
“Solve f(x) = f⁻¹(x)”	Solve f(x) = x instead

Key idea

$f^{- 1} (3) = 4$ means $f (4) = 3$ . You do not always need the whole inverse.

تدرّب على الدوال العكسية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الدوال العكسية

1. What an Inverse Does

2. Swap and Solve

3. x on Top and Bottom

4. A Squared Function (Higher)

5. Inverse of a Quadratic (Higher)

6. A Function and Its Inverse

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على الدوال العكسية

أسئلة امتحانات سابقة على الدوال العكسية، محلولة ومشروحة بالعربي