شرح المقاييس المركبة

Compound Measures

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Is a Compound Measure?

المقياس المركّب هو كمية مقسومة على كمية أخرى، وكلمة «لكل» هي التي تدلّك على ذلك: غرام لكل سنتيمتر مكعب يعني الغرامات مقسومة على السنتيمترات المكعبة. الجدول يعرض أهم الأمثلة: الكثافة هي الكتلة على الحجم، والضغط هو القوة على المساحة، ومعدل التدفق هو الحجم على الزمن، والكثافة السكانية هي عدد السكان على المساحة، والسرعة هي المسافة على الزمن. للسرعة درس خاص بها، أما هذا الدرس فيركّز على الكثافة والضغط وتحويل الوحدات. ومعلومة من الحياة: الجليد أقل كثافة من الماء، والأقل كثافة من الماء يطفو، لذلك يطفو الجليد ويبقى نحو تسعة أعشاره تحت السطح، ولهذا يختفي معظم جبل الجليد تحت الماء.

A compound measure is one quantity divided by another. The word "per" tells you: grams per cm³ means grams ÷ cm³.

Measure	Formula	Units
Density	$\frac{mass}{volume}$	g/cm³
Pressure	$\frac{force}{area}$	newtons per cm²
Flow rate	$\frac{volume}{time}$	litres per minute
Population density	$\frac{population}{area}$	people per km²
Speed	$\frac{distance}{time}$	km/h, m/s

Key idea

Speed has its own lesson: Speed, Distance and Time. This lesson is about density, pressure and changing units.

Key idea

Ice has a density of about $0.92$ g/cm³, and water about 1 g/cm³. Things less dense than water float, so ice floats, with roughly nine-tenths of it under the surface. That is why most of an iceberg is hidden.

2. Density: Find the Missing One

سؤال الدرجتين: يُعطى لك اثنان من ثلاثة، الكتلة والحجم والكثافة، والمطلوب الثالث. الكثافة تساوي الكتلة مقسومة على الحجم؛ الكتلة هي الثقل بالغرام، والحجم هو الحيّز الذي يشغله الجسم بالسنتيمتر المكعب، والكثافة هي كتلة كل سنتيمتر مكعب واحد. في المثال نعرف كتلة قطعة نقود فضية وكثافتها ونريد حجمها، فنعيد ترتيب القانون ليصبح الحجم وحده: الكتلة مقسومة على الكثافة، ونضع الكتلة في البسط والكثافة في المقام. والغرام مقسومًا على الغرام لكل سنتيمتر مكعب يترك سنتيمترًا مكعبًا، فالناتج حجم فعلًا. للتذكر: الكتلة في أعلى المثلث والكثافة والحجم في أسفله، غطِّ ما تريده يظهر لك القانون، فالكتلة تساوي الكثافة مضروبة في الحجم. الخطأ الشائع هو القسمة بالعكس، أي الكثافة على الكتلة، فيخرج حجم أصغر بكثير مما يناسب قطعة بهذه الكتلة.

The 2-mark question: you are given two of mass, volume and density. Find the third.

Formula

density = \frac{mass}{volume}

Mass is how heavy it is, in grams. Volume is the space it fills, in cm³. Density is the mass of each 1 cm³.

Worked example

1
$mass = 31.5 g, density = 10.5 g/cm^{3}$ — A silver coin. We know the mass and the density, and we want the volume.
2
$volume = \frac{mass}{density}$ — Rearrange the formula so volume is alone: mass ÷ density.
3
$= \frac{31.5}{10.5}$ — Put the numbers in: the mass on top, the density underneath.
4
$= 3 cm^{3}$ — 31.5 ÷ 10.5 = 3. Grams ÷ g/cm³ leaves cm³, so the answer is a volume.

Memory trick

Mass on top of the triangle, density and volume underneath. Cover the one you want: $mass = density \times volume$ .

Common mistake

Dividing the wrong way: 10.5 ÷ 31.5 gives 0.333. A coin of 31.5 grams must be bigger than that.

3. Density of a Solid

سؤال من ثلاث إلى خمس درجات: يُعطى رسم لمكعب أو متوازي مستطيلات أو أسطوانة. أوجد الحجم أولًا لأن الكثافة تحتاجه، وحجم المكعب هو الضلع في الضلع في الضلع. بعدها حوّل الكتلة من الكيلوغرام إلى الغرام بالضرب في ألف، لأن الكثافة ستكون بالغرام لكل سنتيمتر مكعب، ثم اقسم الكتلة على الحجم لتعرف كتلة كل سنتيمتر مكعب. الخطأ الشائع: قسمة الكيلوغرامات على السنتيمترات المكعبة مباشرة، فيخرج الجواب أصغر بألف مرة. في نسخة الخمس درجات يُسأل: كم قطعة نحتاج لنصنع شيئًا أكبر؟ حوّل الكتلة المطلوبة إلى غرامات، واقسمها على كتلة القطعة الواحدة، ثم تحقّق من العدد الأصغر: إن لم يكفِ فقرّب إلى الأعلى دائمًا لا إلى الأقرب، لأنك تحتاج قطعة كاملة إضافية. وحجم الأسطوانة هو باي مضروبًا في مربع نصف القطر مضروبًا في الارتفاع، واحتفظ بقيمة الآلة الحاسبة كاملة حتى النهاية.

The 3 to 5 mark question: a diagram of a cube, cuboid or cylinder. Find its volume first, then use the formula.

Worked example

1
$V = 4 \times 4 \times 4 = 64 cm^{3}$ — A metal cube of side 4 cm. Find its volume first, because density needs it: side × side × side.
2
$0.576 kg = 0.576 \times 1000 = 576 g$ — The density will be in g/cm³, so change the mass to grams. 1 kg = 1000 g.
3
$density = \frac{576}{64}$ — Density is mass ÷ volume.
4
$= 9 g/cm^{3}$ — 576 ÷ 64 = 9. Each 1 cm³ of this metal weighs 9 grams.

Common mistake

Dividing kilograms by cm³. Change kg to grams first (× 1000), or the answer is 1000 times too small.

The 5-mark version asks how many blocks make something bigger. Find the mass of one block, then divide.

Worked example

1
$2 kg = 2000 g$ — A statue must weigh at least 2 kg. Change it to grams, to match the 576 g of one cube.
2
$2000 \div 576 = 3.47 \dots$ — Divide the total mass by the mass of one cube to see how many cubes it takes.
3
$3 \times 576 = 1728 g$ — Check 3 cubes: 1728 g is less than 2000 g, so 3 cubes is not enough.
4
$4 cubes$ — Round up, not to the nearest: you need a whole extra cube to reach 2 kg.

Key idea

A cylinder's volume is $π r^{2} h$ . Keep the full calculator value until the end.

4. Pressure: Force on an Area

سؤال الثلاث درجات: صندوق أو أسطوانة يضغط على طاولة، والدفع نفسه على مساحة أصغر يعطي ضغطًا أكبر. الضغط يساوي القوة مقسومة على المساحة؛ القوة هي الدفع بالنيوتن، والمساحة هي الوجه الملامس للطاولة، والضغط هو القوة على كل سنتيمتر مربع أو كل متر مربع. في المثال الأول للصندوق ثلاثة أوجه مختلفة، فاحسب مساحة كل وجه: لأكبر ضغط استخدم أصغر وجه لأن القسمة على مساحة أصغر تعطي ناتجًا أكبر، ولأقل ضغط استخدم أكبر وجه، وقد يُطلب الفرق بينهما فتطرح. وفي الاتجاه العكسي أعد ترتيب القانون أولًا: المساحة تساوي القوة مقسومة على الضغط، وهذه مساحة القاعدة، ثم حجم المنشور هو مساحة القاعدة في الارتفاع. للتذكر: القوة في أعلى المثلث والضغط والمساحة في أسفله، فالقوة تساوي الضغط في المساحة؛ لذلك نحسب مساحة قاعدة الصندوق على الأرض أولًا ثم نضربها في الضغط. الخطأ الشائع: استخدام أكبر وجه لأكبر ضغط، والصحيح أن أكبر ضغط يأتي من أصغر وجه.

The 3-mark question: a box or cylinder presses on a table. The same push on a smaller area presses harder.

Formula

pressure = \frac{force}{area}

Force is the push, in newtons. Area is the face touching the table. Pressure is the force on each cm² (or each m²).

Worked example

1
$6 \times 5 = 30, 6 \times 2 = 12, 5 \times 2 = 10 m^{2}$ — A box 6 m by 5 m by 2 m pushes with a force of 120 newtons. It has three different faces, so find the area of each.
2
$\frac{120}{10} = 12 N/m^{2}$ — Greatest pressure: use the smallest face, because dividing by a smaller area gives a bigger answer.
3
$\frac{120}{30} = 4 N/m^{2}$ — Least pressure: use the biggest face.
4
$12 - 4 = 8 N/m^{2}$ — Some questions ask for the greatest minus the least. Take one away from the other.

Going backwards, rearrange first. Here the pressure is 2.5 newtons per cm² and the force is 90 newtons.

Worked example

1
$area = \frac{force}{pressure}$ — We want the area, so rearrange: force ÷ pressure.
2
$= \frac{90}{2.5} = 36 cm^{2}$ — 90 ÷ 2.5 = 36. This is the base area, the face touching the table.
3
$36 \times 10 = 360 cm^{3}$ — The solid is a prism 10 cm tall. A prism's volume is base area × height.

Memory trick

Force on top of the triangle, pressure and area underneath. To find the force: $force = pressure \times area$ .

Worked example

1
$30 \times 20 = 600 cm^{2}$ — A crate's base is 30 cm by 20 cm. Find the area on the floor first.
2
$force = pressure \times area$ — The pressure is 0.15 newtons per cm². We want the force, so multiply.
3
$0.15 \times 600 = 90 N$ — 0.15 × 600 = 90. N/cm² × cm² leaves newtons.

Common mistake

Using the biggest face for the greatest pressure. The biggest pressure comes from the smallest face.

5. Find a Missing Length

بعض الأسئلة تعطيك الكتلة أو القوة وتطلب طولًا. ارجع إلى الوراء: أوجد الحجم أو المساحة أولًا، ثم اقسم. في المثال الأول نقسم الكتلة على الكثافة فنحصل على الحجم، ثم نكتب أن الطول في العرض في الارتفاع المجهول يساوي هذا الحجم، ونضرب الطول في العرض، ثم نقسم الطرفين على ناتج الضرب ليبقى الارتفاع وحده. في المثال الثاني نقسم القوة على الضغط فنحصل على مساحة الوجه الملامس للطاولة، ثم نقسمها على الضلع المعلوم لنجد الضلع المجهول. وإذا كان الوجه مربعًا فطول ضلعه هو الجذر التربيعي للمساحة.

Some questions give the mass or the force and ask for a length. Work backwards to the volume or area first, then divide.

Worked example

1
$volume = \frac{1068}{8.9} = 120 cm^{3}$ — A cuboid of metal weighs 1068 g and its density is 8.9 g/cm³. Volume = mass ÷ density.
2
$8 \times 5 \times h = 120$ — It is 8 cm long and 5 cm wide, with height h. Length × width × height is the volume.
3
$40 h = 120$ — 8 × 5 = 40, so 40 lots of h make 120.
4
$h = 120 \div 40 = 3 cm$ — Divide both sides by 40 to get h alone.

Worked example

1
$area = \frac{48}{75} = 0.64 m^{2}$ — A box pushes with 48 newtons and the pressure is 75 newtons per m². Area = force ÷ pressure.
2
$1.6 \times x = 0.64$ — The face on the table is 1.6 m by x m, so its area is 1.6x.
3
$x = 0.64 \div 1.6 = 0.4 m$ — Divide by 1.6 to get x alone.

Key idea

If the face is a square, the side is the square root of the area. An area of 4 m² gives a side of $4 = 2$ m.

6. Mixing Two Materials

عندما نصهر معدنين معًا في كتلة واحدة، فكثافة الخليط ليست متوسط الكثافتين. اجمع الكتلتين، واجمع الحجمين، ثم اقسم الكتلة الكلية على الحجم الكلي. في المثال نعرف حجم المعدن الأول وكثافته، فنحسب كتلته بضرب الكثافة في الحجم، ثم نضيف كتلة المعدن الثاني لنحصل على الكتلة الكلية، ونجمع الحجمين لنحصل على الحجم الكلي، وأخيرًا نقسم ونقرّب إلى ثلاثة أرقام معنوية. الخطأ الشائع: أخذ متوسط الكثافتين، وهذا خطأ لأن كمية المعدن الأول ضعف كمية المعدن الثاني.

Two metals are melted together into one block. Its density is not the average of the two densities. Add the masses, add the volumes, then divide.

Formula

density of the mix = \frac{total mass}{total volume}

Total mass is both masses added, in grams. Total volume is both volumes added, in cm³.

Worked example

1
$240 \times 8 = 1920 g$ — Metal P: 240 cm³ with density 8 g/cm³. We need its mass, so mass = density × volume.
2
$1920 + 1080 = 3000 g$ — Metal Q weighs 1080 g. Add the masses to get the total mass.
3
$240 + 120 = 360 cm^{3}$ — Metal Q's volume is 120 cm³. Add the volumes to get the total volume.
4
$\frac{3000}{360} = 8.33 g/cm^{3}$ — Total mass ÷ total volume = 8.333…, which is 8.33 to 3 s.f.

Common mistake

Averaging the densities: (8 + 9) ÷ 2 = 8.5. That is wrong because there is twice as much of metal P as metal Q.

7. Population Density

الكثافة السكانية تخبرك كم المكان مزدحم: عدد الناس على كل كيلومتر مربع من الأرض. وهي تساوي عدد السكان مقسومًا على المساحة، والمساحة عادة بالكيلومتر المربع، فيكون الجواب عدد الأشخاص لكل كيلومتر مربع. في المثال عدد السكان مكتوب بالصيغة العلمية، فأدخله في الآلة الحاسبة بزر قوى العشرة، ثم اقسم على المساحة. والمدينة الثانية لها الكثافة نفسها ومساحة مختلفة، فنعيد ترتيب القانون: عدد السكان يساوي الكثافة في المساحة. وإذا سُئلت: أيّ المكانين أكثر ازدحامًا؟ فاحسب الكثافتين واكتبهما، والعدد الأكبر يعني ناسًا أكثر على كل كيلومتر مربع.

Population density tells you how crowded a place is: the number of people on each km² of land.

Formula

population density = \frac{population}{area}

Population is the number of people. Area is the land, usually in km². The answer is in people per km².

Worked example

1
$\frac{5.4 \times 1 0 ^{5}}{1.2 \times 1 0 ^{3}}$ — Town A has 540 000 people on 1200 km². Population ÷ area. Type the standard form into your calculator with the ×10ˣ key.
2
$= \frac{540 000}{1200} = 450$ — So 450 people per km².
3
$Town B: 450 \times 300$ — Town B has the same density and an area of 300 km². Rearrange: population = density × area.
4
$= 135000 people$ — 450 × 300 = 135 000.

Key idea

“Which is more crowded?” Work out both population densities and write them down. The bigger number has more people on each km².

8. Flow Rate and Fuel Use

أسئلة ملء خزان أو استهلاك الوقود هي معدلات أيضًا: حجم يتوزع على الزمن، أو وقود يتوزع على المسافة. الزمن يساوي الحجم مقسومًا على معدل التدفق، ومعدل التدفق هو الكمية الداخلة كل دقيقة أو كل ثانية. حوّل الحجم إلى وحدة المعدل نفسها: اللتر ألف سنتيمتر مكعب، والمليلتر سنتيمتر مكعب واحد. في المثال نحسب حجم الخزان أولًا، ثم نحوّله إلى لترات بالقسمة على ألف، ثم نقسم على معدل الصنبور. انتبه: نصف الدقيقة ليس خمسين ثانية، بل اضرب الجزء العشري في ستين لتحوّله إلى ثوانٍ. وفي استهلاك الوقود المعطى باللترات لكل مئة كيلومتر، اعرف أولًا كم مئة كيلومتر في الرحلة، ثم اضرب في استهلاك كل مئة.

Questions about filling a tank or using fuel are rates too. Volume is shared out over time, or fuel over distance.

Formula

time = \frac{volume}{rate of flow}

Volume is how much the tank holds. Rate of flow is how much comes in each minute (or second). Change the volume into the same unit as the rate: 1 litre = 1000 cm³, and 1 ml = 1 cm³.

Worked example

1
$40 \times 30 \times 25 = 30000 cm^{3}$ — A tank is a cuboid 40 cm by 30 cm by 25 cm. Find its volume first.
2
$30000 \div 1000 = 30 litres$ — The tap gives 4 litres per minute, so change cm³ to litres: 1000 cm³ make 1 litre.
3
$30 \div 4 = 7.5 minutes$ — Time = volume ÷ rate of flow.
4
$0.5 \times 60 = 30 s, so 7 min 30 s$ — 0.5 of a minute is not 50 seconds. Multiply by 60 to change it to seconds.

Fuel use is often given in litres per 100 km.

Worked example

1
$340 \div 100 = 3.4$ — A car uses 6.5 litres per 100 km and drives 340 km. How many lots of 100 km is that?
2
$3.4 \times 6.5 = 22.1 litres$ — Each 100 km uses 6.5 litres, so multiply.

9. Changing the Units of a Rate

سؤال الثلاث درجات: تحويل السرعة من متر لكل ثانية إلى كيلومتر لكل ساعة، والفكرة أن تسأل: ماذا يحدث في ساعة كاملة؟ في الساعة ثلاثة آلاف وستمئة ثانية، فنضرب المسافة في الثانية في هذا العدد لنعرف المسافة في ساعة، ثم نقسم على ألف لنحوّل الأمتار إلى كيلومترات. والضرب في ثلاثة آلاف وستمئة ثم القسمة على ألف هو نفسه الضرب في ثلاثة فاصلة ستة. القاعدة: من متر لكل ثانية إلى كيلومتر لكل ساعة اضرب في ثلاثة فاصلة ستة، وبالعكس اقسم عليها. وأي معدل آخر يتحوّل بالطريقة نفسها: حوّل وحدة البسط أولًا ثم وحدة المقام، كل واحدة على حدة؛ ففي مثال الآلة نحوّل الكيلوغرام إلى غرام بالضرب في ألف، ثم نوزّع الكمية على ثواني الساعة بالقسمة. ولاحظ أن الكثافة بالكيلوغرام لكل متر مكعب تساوي ألف ضعف رقمها بالغرام لكل سنتيمتر مكعب، فالماء غرام واحد لكل سنتيمتر مكعب أو ألف كيلوغرام لكل متر مكعب؛ وإن أردت العمل بالمتر المكعب من البداية فحوّل الحجم إليه أولًا بالقسمة على مليون.

The 3-mark question: change a speed in m/s to km/h. Think about what happens in one hour.

Worked example

1
$15 m/s$ — 15 metres every second. We want km in one hour.
2
$15 \times 3600 = 54000 m$ — There are 60 × 60 = 3600 seconds in an hour, so in one hour it goes 3600 times as far.
3
$54000 \div 1000 = 54 km$ — 1000 metres make 1 km, so divide by 1000.
4
$15 m/s = 54 km/h$ — × 3600 then ÷ 1000 is the same as × 3.6.

Rule

m/s to km/h: multiply by 3.6. km/h to m/s: divide by 3.6. So $w m/s = 3.6 w km/h$ .

Any rate changes the same way: change the top unit, then the bottom unit, one at a time.

Worked example

1
$7.2 kg per hour$ — A machine makes 7.2 kg each hour. We want grams per second.
2
$7.2 \times 1000 = 7200 g per hour$ — Change the top unit: 1 kg = 1000 g, so multiply.
3
$7200 \div 3600 = 2 g per second$ — Change the bottom unit: an hour is 3600 seconds, and the 7200 g is shared over them, so divide.

Key idea

Density in kg/m³ is 1000 times the number in g/cm³: water is 1 g/cm³ or 1000 kg/m³. To work in kg/m³ from the start, change the volume to m³ first (÷ 1 000 000).

10. Which Method? Read the Question

حدّد الكميتين المقسومتين، ثم تأكد أن الوحدات متطابقة. الجدول يربط ما تراه في السؤال بما تفعله: مع الكثافة غطِّ المجهول في المثلث؛ مع رسم مجسم أوجد الحجم أولًا ثم اقسم الكتلة عليه؛ إذا كانت الكتلة بالكيلوغرام والكثافة بالغرام فاضرب في ألف؛ في سؤال «كم قطعة؟» اقسم ثم قرّب إلى الأعلى؛ للضغط اقسم القوة على المساحة، ولأكبر ضغط أصغر وجه ولأقل ضغط أكبر وجه؛ للطول المجهول أوجد الحجم أو المساحة أولًا ثم اقسم؛ للمعدنين المصهورين الكتلة الكلية على الحجم الكلي؛ للسكان العدد على المساحة؛ لملء الخزان الحجم على المعدل؛ وبين المتر لكل ثانية والكيلومتر لكل ساعة اضرب في ثلاثة فاصلة ستة أو اقسم عليها؛ ومسائل الكيلومترات والساعات والدقائق في درس السرعة والمسافة والزمن. الوحدات نفسها تخبرك بالقانون. واكتب دائمًا القانون ثم الأرقام فيه ثم الجواب، فمعظم الدرجات على خطوات الحل، وطريقة صحيحة مع خطأ صغير في النهاية قد تنال درجتين من ثلاث.

Find the two things being divided, then check the units match.

You see	You do
Density with mass or volume	cover the one you want
A diagram of a solid	volume first, then mass ÷ volume
Mass in kg, density in g/cm³	× 1000 to grams
How many blocks?	divide, then round up
Pressure, force, area	pressure = force ÷ area
Greatest or least pressure	smallest face or biggest face
A missing length	volume or area first, then divide
Two metals melted together	total mass ÷ total volume
People and area	population ÷ area
Filling a tank	time = volume ÷ rate
m/s and km/h	× 3.6 or ÷ 3.6
km, hours and minutes	Speed, Distance and Time

Key idea

The units tell you the formula: g/cm³ is grams ÷ cm³.

Key idea

Write the formula, then the numbers in it, then the answer. Most marks are for that working: a correct method with a slip at the end can still earn 2 of the 3 marks.

تدرّب على المقاييس المركبة

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح المقاييس المركبة

1. What Is a Compound Measure?

2. Density: Find the Missing One

3. Density of a Solid

4. Pressure: Force on an Area

5. Find a Missing Length

6. Mixing Two Materials

7. Population Density

8. Flow Rate and Fuel Use

9. Changing the Units of a Rate

10. Which Method? Read the Question

تدرّب على المقاييس المركبة

أسئلة امتحانات سابقة على المقاييس المركبة، محلولة ومشروحة بالعربي