شرح التناسب العكسي في الحياة الواقعية

Inverse Proportion in Real Life

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Inverse Proportion Means

تكون كميتان في تناسب عكسي عندما تعني زيادة إحداهما نقصان الأخرى: عمال أكثر ينهون العمل في أيام أقل، كما في الجدول. القاعدة: اضرب الكميتين معًا فتحصل دائمًا على الناتج نفسه، وهو هنا عدد أيام العمل الكلي في كل صف، وهذا الناتج هو حجم العمل. إذا ضاعفت عدد العمال صار عدد الأيام نصفه، أما في التناسب الطردي فتتضاعف الكميتان معًا.

Two amounts are in inverse proportion when more of one means less of the other. More workers finish a job in fewer days.

Workers	Days
2	12
3	8
4	6
6	4

Rule

Multiply the two amounts: you always get the same answer. Here every row gives 24 days of work. That total is the size of the job.

Key idea

Double the workers and the days halve. In direct proportion, both would double.

2. Workers and Days

سؤال الدرجتين: عدد من العمال ينهون عملًا في عدد من الأيام، فكم يستغرق عدد آخر من العمال؟ أوجد العمل الكلي أولًا ثم وزّعه. نضرب عدد العمال في عدد الأيام لنحصل على العمل كله بأيام العمل، ونضرب أولًا لأن حجم العمل لا يتغير. ثم نقسم هذا العمل على عدد العمال الجديد؛ عمال أقل يعني أيامًا أكثر. وفي الجزء الثاني بالعكس: نقسم العمل الكلي على عدد الأيام المطلوب لنعرف عدد العمال، ونتحقق بالضرب أننا نعود إلى العمل الكلي نفسه. الخطأ الشائع: الحل بطريقة التناسب الطردي، فيخرج عدد أيام أقل مع عمال أقل، وهذا مستحيل. واكتب العمل الكلي في سطر، فله درجة وللجواب درجة.

The 2-mark question: "6 workers take 10 days. How long would 4 workers take?" Find the total job first, then share it out.

Worked example

1
$6 \times 10 = 60$ — The whole job: 6 workers for 10 days is 60 days of work. Multiply first, because the size of the job never changes.
2
$60 \div 4 = 15 days$ — Now 4 workers share the same 60 days of work, so divide by 4. Fewer workers, so more days: 15 is more than 10.

Part (b) often goes the other way: how many workers to finish in 5 days?

Worked example

1
$60 \div 5 = 12 workers$ — The job is still 60 days of work. To fit it into 5 days, divide by 5 to get the number of workers.
2
$12 \times 5 = 60$ — Check by multiplying back: 12 workers for 5 days is the same 60, so the answer is right.

Common mistake

Working out $10 \times 4 \div 6 \approx 6.7$ days. That is direct proportion. Fewer workers must take longer, not less time.

Key idea

Write the 60 down. One mark is for the total job and one for the answer, so the working still scores if the last step slips.

3. Speed and Time

سؤال الدرجتين: الرحلة نفسها بسرعة مختلفة. المسافة لا تتغير، فالسرعة الأكبر تعني زمنًا أقل. أولًا نضرب الزمن في السرعة لنعرف المسافة، وهي ثابتة مهما تغيرت السرعة. ثم الزمن يساوي المسافة مقسومة على السرعة، فنقسم على السرعة الجديدة؛ السرعة الأبطأ تحتاج زمنًا أطول. وإذا عُرف الزمن الجديد فالسرعة تساوي المسافة مقسومة على الزمن؛ الزمن الأقل يحتاج سرعة أكبر. الخطأ الشائع: الحل بالتناسب الطردي، فيخرج أن السير ببطء يستغرق وقتًا أقل، وهذا مستحيل، فتحقق من الاتجاه دائمًا.

The 2-mark question: the same journey at a different speed. The distance stays the same, so a faster speed means less time.

Worked example

1
$3 \times 80 = 240 km$ — The distance: 3 hours at 80 km/h. Time × speed gives distance, and the trip is the same length at any speed.
2
$240 \div 60 = 4 hours$ — Time = distance ÷ speed, so divide by the new speed. Slower than 80 km/h, so it takes longer: 4 hours, not 3.
3
$240 \div 2.5 = 96 km/h$ — Speed = distance ÷ time, so divide by 2.5 hours. Less time needs a faster speed: 96 is more than 80.

Common mistake

Working out $3 \times 60 \div 80 = 2.25$ hours. Going slower cannot take less time. Check the direction.

4. Food That Must Last

سؤال الثلاث درجات: طعام يكفي عددًا من الحيوانات لعدد من الأيام؛ حيوانات أكثر تأكله أسرع فيكفي أيامًا أقل. نضرب عدد الخيول في عدد الأيام لنعرف كمية التبن بوحدة يوم لكل حصان، ونضرب أولًا لأن كمية التبن لا تتغير، ثم نقسم على العدد الجديد من الخيول. وفي السؤال الأصعب تصل خيول إضافية بعد بضعة أيام، فالذي يُوزّع هو الباقي فقط: نطرح الأيام التي مضت لنعرف كم يومًا كان سيكفي الخيول الأصلية، ونضرب في عددها لنعرف التبن الباقي، ثم نجمع عدد الخيول الجديد ونقسم الباقي عليه. وإذا سُئلت عن المدة كلها فأضف الأيام الأولى. الخطأ الشائع: توزيع التبن كله على العدد الجديد، مع أن تبن الأيام الأولى قد أُكل.

The 3-mark question: food for some animals lasts a number of days. More animals eat it faster, so it lasts fewer days.

Worked example

1
$12 \times 20 = 240$ — The hay: 12 horses for 20 days is 240 horse days. Multiply first, because the amount of hay does not change.
2
$240 \div 15 = 16 days$ — Share the same hay among 15 horses, so divide by 15. More horses, so it lasts fewer days: 16, not 20.

Harder: after 5 days, 3 more horses arrive. Only the food that is left is shared.

Worked example

1
$20 - 5 = 15 days$ — After 5 days, the 12 horses still had 15 days of hay left.
2
$12 \times 15 = 180$ — The hay left: 12 horses for those 15 days is 180 horse days. Only this is shared from now on.
3
$12 + 3 = 15 horses$ — The number of horses eating from now on.
4
$180 \div 15 = 12 more days$ — Share only the hay left among 15 horses, so divide by 15.
5
$5 + 12 = 17 days$ — If the question asks how long the hay lasted altogether, add back the first 5 days.

Common mistake

Sharing all 240 among 15 horses after the change. The first 5 days of hay are already eaten.

5. One Formula for Every Question

كل أسئلة هذا الدرس تقوم على قاعدة واحدة تكتبها الكتب كقانون: حاصل ضرب الزوج الأول يساوي حاصل ضرب الزوج الثاني. الزوج الأول هو المعطى، مثل عدد العمال وعدد الأيام، والزوج الثاني هو الجديد وفيه مجهول واحد، والزوجان حاصل ضربهما العمل الكلي نفسه. في المثال نكتب القاعدة أولًا لتُظهر طريقتك للمصحح، ثم نعوّض بالأعداد ونرمز للأيام المجهولة بحرف، ثم نضرب الزوج المعلوم لنعرف العمل الكلي، ونقسم الطرفين على عدد العمال الجديد ليبقى المجهول وحده، ونتحقق من الاتجاه: عمال أقل فأيام أكثر. وبعض الكتب تكتبها في سطر واحد: اضرب الأيام القديمة في كسر بسطه العمال القدامى ومقامه العمال الجدد، وهذا الكسر مقلوب بالنسبة إلى التناسب الطردي.

Every question in this lesson uses one rule. Textbooks often print it as a formula:

Formula

x_{1} \times y_{1} = x_{2} \times y_{2}

$x_{1}$ and $y_{1}$ are the pair you are given (for example 9 workers and 8 days). $x_{2}$ and $y_{2}$ are the new pair, where one of them is unknown. Both pairs multiply to the same total job.

9 workers take 8 days. How long would 6 workers take?

Worked example

1
$x_{1} y_{1} = x_{2} y_{2}$ — Write the rule first. It shows the examiner your method.
2
$9 \times 8 = 6 \times d$ — Put in the numbers. d is the unknown number of days for 6 workers.
3
$72 = 6 d$ — 9 × 8 = 72. This is the total job, 72 days of work.
4
$d = 72 \div 6 = 12 days$ — Divide both sides by 6 to get d alone.
5
$12 > 8$ — Check the direction: fewer workers, so more days. It makes sense.

Key idea

Some books write it in one line: $8 \times \frac{9}{6} = 12$ . Multiply the old days by old workers ÷ new workers. The fraction is the opposite way up to direct proportion.

6. When the Answer Is Not Whole

أحيانًا لا تخرج القسمة عددًا صحيحًا، ففكّر في معنى الجواب قبل أن تقرّب. أولًا الأشخاص: قرّب إلى الأعلى. في المثال نوجد العمل الكلي، ثم نقسمه على عدد الأيام المطلوب فيخرج عدد عشري من البنّائين، ولا يوجد ربع بنّاء؛ والعدد الأصغر من البنّائين يحتاج وقتًا أطول من المسموح، لذلك نقرّب إلى الأعلى. ثانيًا الأيام الكاملة: قرّب إلى الأسفل. نوجد كمية الطعام كلها ونقسمها على عدد الكلاب الجديد، وفي اليوم الأخير ينفد الطعام في منتصفه، فلا يُحسب إلا الأيام الكاملة. الخطأ الشائع: التقريب إلى الأقرب في عدد البنّائين؛ اسأل نفسك: هل ينهون العمل في الوقت؟ إن لم ينهوه فأنت تحتاج بنّاءً إضافيًا.

Sometimes the division does not come out whole. Then think about what the answer means before you round.

1. People: round up. 5 builders take 18 days. How many builders are needed to finish in 8 days?

Worked example

1
$5 \times 18 = 90$ — The whole job: 90 days of work.
2
$90 \div 8 = 11.25$ — Divide by the 8 days to find the number of builders.
3
$11.25 \to 12 builders$ — You cannot have a quarter of a builder, so 11.25 is impossible. 11 builders would take $90 \div 11 \approx 8.2$ days, too long, so round up to 12.

2. Full days: round down. Food for 7 dogs lasts 20 days. For how many full days does it feed 9 dogs?

Worked example

1
$7 \times 20 = 140$ — The food: 140 dog days.
2
$140 \div 9 = 15.6$ — Share it among 9 dogs.
3
$15.6 \to 15 full days$ — On day 16 the food runs out part way, so only 15 full days. Round down here.

Common mistake

Rounding 11.25 to 11 builders because it is nearer. Ask: would 11 finish in time? No, so you need 12.

7. Two Things Change at Once

بعض الأسئلة تغيّر شيئين معًا: آلات أكثر وكمية إنتاج أكبر. أوجد أولًا ما تنتجه آلة واحدة في ساعة واحدة. في المثال نضرب عدد الآلات في عدد الساعات لنعرف عدد ساعات عمل الآلات، ونقسم عدد الزجاجات عليه لنعرف إنتاج آلة واحدة في ساعة. ثم نقسم عدد الزجاجات الجديد على هذا الإنتاج لنعرف ساعات عمل الآلات اللازمة، ونقسمها على عدد الآلات الجديد لنعرف الزمن. تحقق من كل تغيير وحده: زجاجات أكثر تحتاج وقتًا أطول، وآلات أكثر تحتاج وقتًا أقل، والجواب يجب أن يناسب الأمرين.

Some questions change two things at once: more machines and more items. Find the work done by one machine in one hour first.

4 machines make 600 bottles in 5 hours. How long do 5 machines take to make 1200 bottles?

Worked example

1
$4 \times 5 = 20 machine hours$ — 4 machines for 5 hours is 20 machine hours of work, and that made 600 bottles.
2
$600 \div 20 = 30$ — Each machine makes 30 bottles in one hour. Divide the bottles by the machine hours.
3
$1200 \div 30 = 40 machine hours$ — 1200 bottles need 40 machine hours of work.
4
$40 \div 5 = 8 hours$ — 5 machines share the 40 machine hours, so divide by 5.

Key idea

Check each change on its own. Twice the bottles needs more time; more machines need less time. 8 hours fits both.

8. Which Method? Read the Question

اسأل نفسك: إذا زادت كمية فهل تنقص الأخرى؟ إن كان الجواب نعم فاضرب لتجد المجموع ثم اقسم. الجدول يلخّص: عمال أكثر وأيام أقل اضرب العمال في الأيام ثم اقسم؛ الرحلة نفسها بسرعة جديدة أوجد المسافة أولًا ثم اقسم؛ طعام يكفي وحيوانات أكثر أوجد الطعام كله ثم اقسم؛ ينضم آخرون في منتصف المدة وزّع الباقي فقط؛ جواب غير صحيح قرّب إلى الأعلى للأشخاص وإلى الأسفل للأيام الكاملة؛ يتغير شيئان أوجد عمل آلة واحدة في ساعة واحدة. أما إذا زادت الكميتان معًا ففي درس التناسب الطردي في الحياة، والقانون بثابت التناسب في درس التناسب العكسي الجبري. وتحقق من الاتجاه: عمال أقل يعني أيامًا أكثر، وإن خرج الجواب بالعكس فقد استخدمت التناسب الطردي خطأً.

Ask yourself: if one amount goes up, does the other go down? If yes, multiply to find the total, then divide.

You see	You do
more workers, fewer days	workers × days, then divide
same trip, a new speed	distance first, then divide
food lasts, more animals	the total food, then divide
some join part way	share only what is left
answer is not whole	round up for people, down for full days
two things change	find one machine's work in one hour
more of one, more of the other	Direct Proportion in Real Life
a formula with a constant k	Inverse Proportion: y = k/x

Key idea

Check the direction: fewer workers must mean more days. If your answer goes the wrong way, you used direct proportion.

تدرّب على التناسب العكسي في الحياة الواقعية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara