شرح إنشاء جدول التكرار التراكمي

Constructing a Cumulative Frequency Table

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What Is Cumulative Frequency?

التكرار التراكمي هو مجموع متراكم: تضيف تكرار كل فئة إلى المجموع الذي قبلها، وتستمر هكذا نزولًا في الجدول. في المثال: عمود التكرار يعطي عدد الأشخاص في كل فئة من الدقائق، وعمود التكرار التراكمي يجمعها شيئًا فشيئًا. كل قيمة في العمود التراكمي تخبرك كم قيمة تقع عند نهاية تلك الفئة أو أقل منها.

Cumulative frequency is a running total. You keep adding each frequency to the total so far.

Minutes	Frequency	Cumulative
0 to 10	5	5
10 to 20	11	16
20 to 30	18	34

Key idea

Each cumulative frequency tells you how many values are at or below the end of that class.

2. Completing the Table

هذا سؤال الدرجة الواحدة: أكمل جدول التكرار التراكمي. الفئة الأولى ليس قبلها شيء، فمجموعها المتراكم هو تكرارها نفسه. لكل فئة بعدها: أضف تكرارها إلى المجموع المتراكم الذي فوقها، لا إلى التكرار الذي فوقها. استمر نزولًا فئة فئة. للتحقق: آخر مجموع يجب أن يساوي عدد كل الأشخاص في السؤال. الخطأ الشائع نسخ التكرارات كما هي في العمود الجديد؛ كل خانة يجب أن تشمل كل الفئات التي فوقها. واكتب كل المجاميع حتى لو لم تكن متأكدًا، فإذا أخطأت في جمع واحد وكانت المجاميع التالية صحيحة بناءً عليه فقد تأخذ درجة.

The 1-mark question: complete the cumulative frequency table. Add each new frequency to the one above.

Worked example

1
$f : 5, 11, 18, 16, 7, 3$ — The question: waiting times of 60 people in six classes of 10 minutes.
2
$5$ — The first class has nothing above it, so its running total is just its own frequency, 5.
3
$5 + 11 = 16$ — Add the second frequency to the total so far. 16 people waited up to 20 minutes.
4
$16 + 18 = 34$ — Add the third frequency to the new total, not to 11. Each total builds on the one before.
5
$34 + 16 = 50$ — Same move again: total so far plus the next frequency.
6
$50 + 7 = 57$ — Keep going down the column, one class at a time.
7
$57 + 3 = 60$ — The last total must equal everyone in the question. It is 60, so the adding checks out.

Common mistake

Copying the frequencies into the new column. Each entry must include every class above it.

Key idea

Write every total, even if you are unsure. If one sum is wrong but the totals after it follow on correctly from yours, you can still get a mark.

3. Reading the Class Labels

في جدول التكرار التراكمي تكون عناوين الفئات غالبًا من بداية أول فئة حتى نهاية الفئة الحالية، أي أنها تشمل كل القيم من البداية، لا فئة واحدة فقط. وإذا بدأت أول فئة من عدد غير الصفر، فكل العناوين تبدأ من هذا العدد. العنوان الأول يشمل الفئة الأولى فقط، فقيمته تكرارها. العنوان الثاني يشمل الفئتين الأوليين، فتجمعهما، وهكذا تضيف فئة جديدة مع كل عنوان. القاعدة للتحقق: آخر تكرار تراكمي يجب أن يساوي العدد الكلي للقيم.

The table you fill in often has labels like $0 < t \leq 30$ . That means every value from the start up to 30, not just the class 20 to 30.

If the first class starts at 20, the labels all start at 20: $20 < a \leq 50$ means ages above 20 up to 50.

Worked example

1
$f : 9, 15, 21, 12, 3$ — The question: 60 ages in classes of 10 years, starting at 20.
2
$20 < a \leq 30 : 9$ — The first label covers only the first class, so it is just its frequency.
3
$20 < a \leq 40 : 9 + 15 = 24$ — This label goes from 20 up to 40, so it holds the first two classes.
4
$20 < a \leq 50 : 24 + 21 = 45$ — Up to 50 adds the third class. So 45 people are above 20 and up to 50.
5
$20 < a \leq 60 : 45 + 12 = 57$ — Add the fourth class to the total so far.
6
$20 < a \leq 70 : 57 + 3 = 60$ — The last label covers every class, so it must be the total, 60.

Rule

Check: the last cumulative frequency must equal the total number of values.

4. Going Back to the Frequencies

أحيانًا تُعطى المجاميع المتراكمة ويُطلب تكرار كل فئة وحدها، وهذا عكس ما سبق: نطرح بدل أن نجمع. الفئة الأولى ليس قبلها شيء، فتكرارها هو أول مجموع متراكم. لكل فئة بعدها: اطرح المجموع المتراكم الذي فوقها من مجموعها، فيبقى تكرارها وحدها. للتحقق: اجمع كل التكرارات فيجب أن تساوي آخر مجموع متراكم. الخطأ الشائع نسيان الفئة الأولى؛ تكرارها هو أول مجموع متراكم.

Sometimes you have the running totals and need each class's frequency. Subtract the total above.

Worked example

1
$CF : 8, 21, 39, 52, 60$ — The question gives running totals for five classes. You need each class on its own.
2
$f_{1} = 8$ — Nothing comes before the first class, so its frequency is the first running total.
3
$21 - 8 = 13$ — The total of 21 includes the first class's 8. Take it away to leave the second class.
4
$39 - 21 = 18$ — Take away the total above again to leave the third class.
5
$52 - 39 = 13$ — Same move for the fourth class.
6
$60 - 52 = 8$ — And for the last class.
7
$8 + 13 + 18 + 13 + 8 = 60$ — Check: the frequencies add back to the last running total, 60.

Common mistake

Leaving the first class out. Its frequency is the first running total, 8.

5. Frequencies From a Graph

بعض الأسئلة تعطيك منحنى التكرار التراكمي وتطلب جدول التكرار العادي. الطريقة: من الحد الأعلى لكل فئة على المحور الأفقي اصعد إلى المنحنى، ثم اذهب أفقيًا إلى المحور الرأسي واقرأ القيمة. هذه القراءات مجاميع متراكمة. المنحنى يبدأ من الصفر، فتكرار الفئة الأولى هو القراءة الأولى. ولكل فئة بعدها: قراءتها ناقص القراءة التي قبلها. للتحقق: مجموع التكرارات يساوي العدد الكلي. الخطأ الشائع كتابة القراءات نفسها على أنها تكرارات، وهي في الحقيقة مجاميع متراكمة.

Some questions give the cumulative frequency graph and ask you to fill in the ordinary frequency table. Read the graph at each class's upper end, then subtract.

Worked example

1
$at 10, 20, 30, 40 : 6, 19, 38, 50$ — A graph for 50 people. Go up from each upper end to the curve, then across to the side axis, and write down the reading.
2
$0 < t \leq 10 : 6$ — The curve starts at 0, so the first class is just the first reading.
3
$10 < t \leq 20 : 19 - 6 = 13$ — The reading at 20 counts everyone up to 20. Take away the 6 up to 10 to leave this class.
4
$20 < t \leq 30 : 38 - 19 = 19$ — Reading at 30 minus the reading at 20.
5
$30 < t \leq 40 : 50 - 38 = 12$ — Reading at 40 minus the reading at 30.
6
$6 + 13 + 19 + 12 = 50$ — Check: the frequencies add up to the total of 50 people.

Common mistake

Writing the readings 6, 19, 38, 50 as the frequencies. Those are running totals, so each class is its reading minus the one before.

6. Which Method? Read the Question

انظر أي عمود فارغ في الجدول. إذا طُلب إكمال التكرار التراكمي: أضف كل تكرار إلى المجموع الذي قبله. إذا أُعطيت المجاميع المتراكمة وطُلب تكرار: اطرح المجموع الذي فوقه. إذا أُعطي المنحنى وطُلب جدول التكرار: اقرأ عند الحد الأعلى لكل فئة واطرح القراءة السابقة. وإذا طُلب رسم المنحنى فارجع إلى درس رسم منحنى التكرار التراكمي، وإذا طُلب الوسيط أو الربيعيات فارجع إلى درسهما. للتحقق: آخر مجموع يجب أن يساوي عدد الأشخاص في السؤال، وإلا فراجع الجمع.

Look at which column is empty.

You see	You do
Complete the cumulative frequency table	add each frequency to the total so far
Running totals given, find a frequency	subtract the total above
Graph given, complete the frequency table	read at each upper end, subtract the reading before
Draw a cumulative frequency graph	Drawing Cumulative Frequency Diagrams
Median or quartiles	Finding the Median and Quartiles

Key idea

Your last total should match the number of people in the question. If not, check your adding.

تدرّب على إنشاء جدول التكرار التراكمي

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح إنشاء جدول التكرار التراكمي

1. What Is Cumulative Frequency?

2. Completing the Table

3. Reading the Class Labels

4. Going Back to the Frequencies

5. Frequencies From a Graph

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على إنشاء جدول التكرار التراكمي

أسئلة امتحانات سابقة على إنشاء جدول التكرار التراكمي، محلولة ومشروحة بالعربي