شرح رسم التمثيلات البيانية للتكرار التراكمي

Drawing Cumulative Frequency Diagrams

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge O Level Maths 4024 · Cambridge IGCSE Maths 0580

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Cumulative Frequency Graph Shows

التكرار التراكمي مجموع متراكم يخبرك كم قيمة حتى الآن. ومنحناه يُظهر هذا المجموع وهو يزداد كلما كبرت القيم. في الجدول نرى عدد الأشخاص الذين أنهوا خلال وقت معيّن أو أقل، والعدد يكبر مع الوقت. لاحظ أن المنحنى إما يصعد وإما يبقى أفقيًا، ولا ينزل أبدًا، وينتهي عند العدد الكلي.

Cumulative frequency is a running total: how many values so far. The graph shows that total going up as the values get bigger.

Time taken	Running total
up to 10 minutes	6 people
up to 20 minutes	20 people
up to 30 minutes	40 people

Key idea

The graph only goes up or stays level. It ends at the total, here 80 people.

2. Drawing the Graph

هذا سؤال رسم منحنى التكرار التراكمي، وغالبًا يُطلب منك أولًا إكمال المجاميع المتراكمة. الخطوة الأولى: احسب المجاميع المتراكمة بجمع كل تكرار إلى ما قبله، وآخرها يساوي العدد الكلي. الخطوة الثانية: ابدأ المنحنى من بداية الفئة الأولى عند الصفر من الأشخاص. الخطوة الثالثة: لكل فئة ارسم نقطة عند الحد الأعلى للفئة وارتفاعها المجموع المتراكم، لأن كل أفراد الفئة يكونون قد حُسبوا عند نهايتها. ثم صِل النقاط بمنحنى أملس أو بقطع مستقيمة، وكلاهما مقبول، أما الأعمدة فلا تأخذ شيئًا. الخطأ الشائع الرسم عند منتصف الفئة؛ ارسم دائمًا عند الحد الأعلى. وإذا لم تبدأ الفئة الأولى من الصفر فابدأ المنحنى من بدايتها لا من نقطة الأصل.

The 2-mark question: draw a cumulative frequency graph for the table. Often part (a) asks you to fill in the running totals first.

Worked example

1
$f : 6, 14, 20, 20, 14, 6$ — The question: times of 80 people, in six classes of 10 minutes from 0 to 60.
2
$CF : 6, 20, 40, 60, 74, 80$ — First make the running totals: add each frequency to the total so far. The last one is 80, everyone.
3
$start at (0, 0)$ — The first class starts at 0 and nobody took less than that, so the graph starts at zero people.
4
$(10, 6)$ — By the upper end of the first class, 10 minutes, all 6 people in it are counted. So plot 6 above 10.
5
$(20, 20)$ — Same rule: upper end of the second class, with its running total.
6
$(30, 40)$ — Upper end 30, running total 40.
7
$(40, 60)$ — Upper end 40, running total 60.
8
$(50, 74)$ — Upper end 50, running total 74.
9
$(60, 80)$ — The last point is at the total, 80. Now join all seven points.

Rule

Join the points with a smooth curve or with straight lines. Both get the marks. Bars score nothing.

Common mistake

Plotting at the middle of the class, like 25 for $20 < t \leq 30$ . Plot at 30, the upper end.

Key idea

If the first class is $40 < m \leq 50$ , start the graph at $(40, 0)$ , not at $(0, 0)$ . Nobody is below the start of the first class.

3. How Many Are More Than a Value?

أشهر سؤال على المنحنى: قدّر كم شخصًا استغرق أكثر من قيمة معيّنة. ابدأ من هذه القيمة على المحور الأفقي واصعد رأسيًا حتى تلمس المنحنى، ثم اذهب أفقيًا إلى المحور الرأسي واقرأ العدد. هذا العدد هو من استغرقوا هذه القيمة أو أقل، لأن المنحنى يعدّ ما تحت القيمة. فلتعرف من استغرقوا أكثر منها، اطرح هذه القراءة من العدد الكلي. الخطأ الشائع أن تكتب القراءة نفسها جوابًا؛ في سؤال «أكثر من» اطرحها من الكل.

The most common 2-mark question: use your graph to estimate how many took more than 45 minutes.

Worked example

1
$up from 45 to the graph$ — Start on the bottom axis at 45 minutes and go straight up until you hit the curve.
2
$across: 67$ — Go across to the side axis and read 67. The graph counts people at or below 45, so 67 took 45 minutes or less.
3
$80 - 67 = 13$ — Everyone else took more than 45, so take the 67 away from the total of 80.

Common mistake

Giving 67. The graph counts people at or below 45. For "more than", take it from the total.

4. Percentage More Than a Value

كثير من الأسئلة تطلب النسبة المئوية أو الاحتمال لمن هم أكثر من قيمة معيّنة. أولًا أوجد العدد كما تعلّمت: اصعد من القيمة إلى المنحنى ثم اذهب أفقيًا واقرأ عدد من هم عندها أو أقل، ثم اطرحه من العدد الكلي لتحصل على من هم أكثر منها. بعدها ضع هذا العدد على العدد الكلي: للنسبة المئوية اضرب الكسر في مئة، وللاحتمال اترك الكسر كما هو وبسّطه بقسمة البسط والمقام على عامل مشترك. الخطأ الشائع استعمال القراءة نفسها على العدد الكلي، فهذه نسبة من هم أقل أو يساوون القيمة؛ في سؤال «أكثر من» استعمل الباقي.

Many questions ask what percentage, or what probability, is more than a value. Find the number first, exactly as before, then put it over the total.

Worked example

1
$at 50 : 102$ — A graph for 120 runners. Go up from 50 minutes to the curve, then across: 102 runners took 50 minutes or less.
2
$120 - 102 = 18$ — More than 50 is everyone else, so take 102 from the total of 120.
3
$\frac{18}{120} \times 100 = 15%$ — A percentage is the part over the total, times 100.
4
$P = \frac{18}{120} = \frac{3}{20}$ — A probability is the same fraction, without the times 100. Simplify it: divide top and bottom by 6.

Common mistake

Using 102 out of 120. That gives 85%, the runners at or below 50 minutes. For “more than”, use the 18.

5. How Many Are Between Two Values?

لمعرفة كم شخصًا يقع بين قيمتين، اقرأ المنحنى مرتين. اصعد من القيمة الكبرى إلى المنحنى واقرأ العدد على المحور الرأسي، ثم افعل الشيء نفسه من القيمة الصغرى. القراءة الكبرى تشمل من هم تحت القيمة الصغرى أيضًا، فاطرح القراءة الصغرى من الكبرى ليبقى عدد من بينهما. الخطأ الشائع جمع القراءتين؛ المجموع الأكبر يشمل الأصغر، لذلك نطرح.

The 1 or 2-mark question: estimate how many took between 25 and 35 minutes. Read the graph twice.

Worked example

1
$at 35 : 50$ — Go up from 35 to the curve, then across. 50 people took 35 minutes or less.
2
$at 25 : 30$ — Do the same from 25. 30 people took 25 minutes or less.
3
$50 - 30 = 20$ — The 50 already includes the 30 people below 25. Take them away to leave the 20 between 25 and 35.

Common mistake

Adding the two readings. The bigger total already includes the smaller one, so subtract.

6. The Median and the Interquartile Range

الوسيط والمدى الربيعي يُستخرجان من المنحنى نفسه: نذهب أفقيًا ثم ننزل. الوسيط هو الشخص الأوسط، فخذ نصف العدد الكلي، وهذا عدد أشخاص على المحور الرأسي. اذهب منه أفقيًا إلى المنحنى ثم انزل إلى محور الوقت لتقرأ الوسيط. الربيع الأدنى عند ربع العدد الكلي، والربيع الأعلى عند ثلاثة أرباعه، وتقرأهما بالطريقة نفسها. المدى الربيعي يساوي الربيع الأعلى ناقص الربيع الأدنى، وهو انتشار النصف الأوسط من البيانات. الخطأ الشائع البحث عن نصف العدد على محور الوقت؛ إنه عدد أشخاص، فابحث عنه على المحور الرأسي.

The 1-mark median and the 2-mark interquartile range come from the same graph. Read across, then down.

Worked example

1
$\frac{1}{2} \times 80 = 40$ — The median is the middle person, so find half of the 80 people. This is a number of people, on the side axis.
2
$across at 40, down: 30$ — Go across from 40 to the curve, then down to the time axis. Median = 30 minutes.
3
$\frac{1}{4} \times 80 = 20 \to 20 min$ — The lower quartile is a quarter of the way through. Across at 20, down: 20 minutes.
4
$\frac{3}{4} \times 80 = 60 \to 40 min$ — The upper quartile is three quarters of the way. Across at 60, down: 40 minutes.
5
$40 - 20 = 20 minutes$ — Interquartile range = upper quartile − lower quartile. It is the spread of the middle half.

Common mistake

Reading 40 on the time axis. The 40 is a number of people, so find it on the side axis.

Key idea

The lesson Finding the Median and Quartiles practises this in more depth.

7. Which Method? Read the Question

انظر إلى المطلوب في السؤال. لرسم المنحنى: ارسم نقطة عند الحد الأعلى لكل فئة بارتفاع المجموع المتراكم ثم صِل النقاط. لعدد من هم أكثر من قيمة: اقرأ عندها واطرح من العدد الكلي. للنسبة المئوية أو الاحتمال: ضع هذا العدد على العدد الكلي. لعدد من هم بين قيمتين: اقرأ مرتين واطرح. وللوسيط والربيعيات والمدى الربيعي ارجع إلى درسها، ولإكمال الجدول فقط ارجع إلى درس جدول التكرار التراكمي. القراءات من المنحنى تقديرية ويقبل نموذج التصحيح مدى صغيرًا، فارسم خطوط القراءة على المنحنى لأنها تُظهر طريقتك، والأجزاء التالية تُصحَّح بناءً على منحناك أنت.

Look at what the question wants you to find.

You see	You do
Draw a cumulative frequency graph	plot (upper end, running total), join
How many more than 45?	read at 45, take it from the total
Percentage or probability	that number over the total
Between two values	read twice, subtract
Median, quartiles, IQR	Finding the Median and Quartiles
Only fill in the running totals	Constructing a Cumulative Frequency Table
Graph given, complete a frequency table	Constructing a Cumulative Frequency Table

Key idea

Readings from a graph are estimates, and the mark scheme accepts a small range. Draw your reading lines on the graph: they show your method, and later parts are marked from your own curve.

تدرّب على رسم التمثيلات البيانية للتكرار التراكمي

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح رسم التمثيلات البيانية للتكرار التراكمي

1. What a Cumulative Frequency Graph Shows

2. Drawing the Graph

3. How Many Are More Than a Value?

4. Percentage More Than a Value

5. How Many Are Between Two Values?

6. The Median and the Interquartile Range

7. Which Method? Read the Question

تدرّب على رسم التمثيلات البيانية للتكرار التراكمي

أسئلة امتحانات سابقة على رسم التمثيلات البيانية للتكرار التراكمي، محلولة ومشروحة بالعربي