شرح تحويل الأعداد العشرية إلى كسور

Converting Decimals to Fractions

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Decimal Is as a Fraction

كل منزلة بعد الفاصلة لها اسم: الأعشار، ثم الأجزاء من مئة، ثم الأجزاء من ألف. لتحويل العدد العشري إلى كسر، ضع الأرقام التي بعد الفاصلة في البسط، وفي المقام واحدًا يليه أصفار بعدد المنازل بعد الفاصلة. فمنزلة واحدة تعني مقامًا عشرة، ومنزلتان تعنيان مئة، وثلاث منازل تعني ألفًا. هذا عكس درس تحويل الكسور إلى أعداد عشرية: هناك تقسم، وهنا تقرأ المنازل.

Each place after the point has a name: tenths, hundredths, thousandths. The last digit tells you the bottom of the fraction.

Formula

decimal = \frac{the digits after the point}{1 0 ^{n}}

$n$ is the number of places after the point. $1 0^{n}$ is 1 with $n$ zeros after it: $1 0^{1} = 10$ , $1 0^{2} = 100$ , $1 0^{3} = 1000$ .

Decimal	Fraction
0.7 (one place)	$\frac{7}{10}$
0.53 (two places)	$\frac{53}{100}$
0.125 (three places)	$\frac{125}{1000}$

Rule

One zero on the bottom for each place after the point.

Key idea

This is the reverse of the lesson Converting Fractions to Decimals. There you divide; here you read the places.

2. Read It Off

أشهر سؤال هنا: اكتب عددًا عشريًا على صورة كسر. عُدّ المنازل بعد الفاصلة، ثم ضع كل الأرقام في البسط وفي المقام عشرة أو مئة أو ألفًا حسب عدد المنازل. منزلة واحدة تعني أعشارًا، ومنزلتان تعنيان أجزاء من مئة. إذا كان أول رقم بعد الفاصلة صفرًا فهو يحجز منزلة الأعشار فقط، فلا يُكتب في البسط لكن المقام يبقى مئة. الخطأ الشائع أن تنسى هذا الصفر فتضع المقام عشرة بدل مئة.

The most common 1-mark question: write 0.53 as a fraction. Count the places after the point, and put the digits over 10, 100 or 1000.

Worked example

1
$0. 7 = \frac{7}{10}$ — There is one place after the point, so the 7 is tenths. One place means 10 on the bottom.
2
$0. 53 = \frac{53}{100}$ — There are two places, so the last digit is in the hundredths place. Put all the digits, 53, over 100.
3
$0. 09 = \frac{9}{100}$ — Still two places, so still over 100. The 0 only holds the tenths place, so 09 on top is just 9.

Common mistake

Writing 0.09 as $\frac{9}{10}$ . The 9 is in the second place, so it is 9 hundredths: $\frac{9}{100}$ .

3. Simplest Form

في هذا السؤال تحوّل العدد العشري إلى كسر ثم تكتبه في أبسط صورة. أولًا اكتب الكسر بمقام مئة أو ألف، واكتب هذا السطر دائمًا لأنه وحده يمكن أن يأخذ درجة. ثم اقسم البسط والمقام على العدد نفسه، مثلًا نصّف الاثنين ما داما زوجيين، والكسر لا تتغير قيمته. توقف عندما لا يوجد عدد غير الواحد يقسم البسط والمقام معًا. بما أن العشرة والمئة والألف مكوّنة من الاثنين والخمسة فقط، يكفي أن تسأل: هل البسط زوجي؟ هل ينتهي بخمسة أو صفر؟ الخطأ الشائع أن تتوقف قبل أبسط صورة فتخسر درجة.

The 2-mark question: write a decimal as a fraction in its simplest form. Read it off, then divide the top and the bottom by the same number until you cannot go further.

Worked example

1
$0.84 = \frac{84}{100}$ — Two places after the point, so the bottom is 100. Write this line down: it can earn a mark on its own.
2
$= \frac{42}{50}$ — 84 and 100 are both even, so halve the top and the bottom. The fraction stays the same size.
3
$= \frac{21}{25}$ — 42 and 50 are still both even, so halve again.
4
$21 = 3 \times 7, 25 = 5 \times 5$ — No number except 1 goes into both 21 and 25, so you can stop. $\frac{21}{25}$ is the simplest form.

Key idea

10, 100 and 1000 are made only of 2s and 5s. So only two checks: is the top even? Halve. Does it end in 5 or 0? Divide by 5. Faster: 4 goes into 84 and 100, so divide by 4 in one go.

Key idea

Show the $\frac{84}{100}$ line. In a 2-mark question, one mark is for a correct fraction like $\frac{84}{100}$ or $\frac{42}{50}$ , even if you do not finish simplifying.

Common mistake

Stopping at $\frac{42}{50}$ . It is right but not simplest, so you lose a mark. Keep dividing until nothing goes into both.

4. Thousandths and Numbers Bigger Than 1

إذا كان بعد الفاصلة ثلاث منازل فالمقام ألف، ثم نبسّط الكسر. الأعداد التي تنتهي بخمسة أو صفر تقبل القسمة على خمسة، فاقسم البسط والمقام على خمسة مرة بعد مرة حتى لا يبقى عامل مشترك. وإذا كان العدد العشري أكبر من الواحد، فاترك الجزء الصحيح كما هو وحوّل الجزء الذي بعد الفاصلة فقط إلى كسر وبسّطه، فتحصل على عدد كسري. وإن طُلب كسر غير حقيقي فحوّل الأعداد الصحيحة إلى الأجزاء نفسها واجمعها مع البسط. الخطأ الشائع أن تضع مئة مقامًا لعدد له ثلاث منازل، فيصبح الكسر أكبر من الواحد.

Three places after the point means over 1000. Then simplify: numbers ending in 5 or 0 share a 5.

Worked example

1
$0.125 = \frac{125}{1000}$ — There are three places, so the last digit is thousandths. The bottom is 1000.
2
$= \frac{25}{200}$ — 125 and 1000 both end in 5 or 0, so divide the top and the bottom by 5.
3
$= \frac{5}{40}$ — 25 and 200 still end in 5 or 0, so divide both by 5 again.
4
$= \frac{1}{8}$ — 5 and 40 share a 5 once more: 5 ÷ 5 = 1 and 40 ÷ 5 = 8. Nothing else goes into 1 and 8, so stop.

If the decimal is bigger than 1, keep the whole number and change only the part after the point.

Worked example

1
$2.4 = 2 + 0.4$ — Split the number at the point. The whole number 2 stays as it is.
2
$= 2 + \frac{4}{10}$ — 0.4 has one place, so it is 4 tenths.
3
$= 2 + \frac{2}{5}$ — 4 and 10 are both even, so halve both to simplify.
4
$= 2 \frac{2}{5}$ — Write it as a mixed number: a whole number and a fraction together.
5
$= \frac{12}{5}$ — If you need a top-heavy (improper) fraction: 2 wholes are 10 fifths, and 10 + 2 = 12 fifths.

Common mistake

Writing 0.125 as $\frac{125}{100}$ . That is bigger than 1. Three places needs 1000.

5. Zeros Straight After the Point

الامتحان يحب الأعداد العشرية التي تأتي بعد فاصلتها أصفار مباشرة، وهذه الأصفار سهلة النسيان، فعُدّها كلها. عُدّ كل المنازل بعد الفاصلة بما فيها الأصفار لتعرف المقام: عشرة أو مئة أو ألف. الأصفار في البداية تحجز المنازل فقط، فلا تكتبها في البسط؛ يكفي الرقم الذي بعدها. ثم بسّط الكسر بالقسمة على اثنين أو على خمسة. الخطأ الشائع أن تنسى صفرًا فتضع المقام مئة بدل ألف، فتكتب عددًا آخر تمامًا.

Exams like decimals such as 0.004. The zeros straight after the point are easy to miss, so count every one.

Worked example

1
$0. 006$ — Count the places: 0, 0, 6. That is three places, so the bottom is 1000.
2
$= \frac{6}{1000}$ — The zeros in front only hold places, so just the 6 goes on top.
3
$= \frac{3}{500}$ — 6 and 1000 are both even, so halve the top and the bottom.
4
$3 and 500$ — 3 does not go into 500 (5 + 0 + 0 = 5, not a multiple of 3), so $\frac{3}{500}$ is the simplest form.

Worked example

1
$0. 05 = \frac{5}{100}$ — Two places, so over 100. Only the 5 goes on top.
2
$= \frac{1}{20}$ — 5 and 100 both end in 5 or 0, so divide both by 5: 5 ÷ 5 = 1 and 100 ÷ 5 = 20.

Common mistake

Writing 0.006 as $\frac{6}{100}$ . That is 0.06. Three places after the point needs 1000 on the bottom.

6. Which Method? Read the Question

ابدأ دائمًا بعدّ المنازل بعد الفاصلة. منزلة أو منزلتان: المقام عشرة أو مئة. ثلاث منازل: المقام ألف ثم بسّط. إذا طُلبت أبسط صورة فاقسم البسط والمقام حتى لا يقسمهما عدد مشترك. وإذا كان العدد أكبر من الواحد فاحتفظ بالجزء الصحيح وحوّل الباقي. أما النقطة فوق رقم، أو التحويل من كسر إلى عدد عشري، أو إلى نسبة مئوية، فلها دروس أخرى. الخطأ الشائع أن تترك فاصلة عشرية داخل الكسر؛ البسط والمقام يجب أن يكونا عددين صحيحين، وإلا فلا درجة. وللتحقق، ارجع بالكسر إلى مقام مئة لترى العدد العشري الأصلي.

Count the places after the point first.

You see	You do
one or two places	over 10 or over 100
three places	over 1000, then simplify
in its simplest form	divide top and bottom until nothing goes into both
a number bigger than 1	keep the whole number, change the rest
a dot over a digit, or show that using algebra	Recurring Decimals
write a fraction as a decimal	Converting Fractions to Decimals
write it as a percentage	Introduction to Percentages

Common mistake

Leaving a decimal inside the fraction, like 7.3 over 10 for 0.73. A fraction needs whole numbers on top and bottom, so write $\frac{73}{100}$ . The decimal version scores 0.

Key idea

Check by going back: $\frac{21}{25} = \frac{84}{100}$ , which is 0.84 again.

تدرّب على تحويل الأعداد العشرية إلى كسور

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تحويل الأعداد العشرية إلى كسور

1. What a Decimal Is as a Fraction

2. Read It Off

3. Simplest Form

4. Thousandths and Numbers Bigger Than 1

5. Zeros Straight After the Point

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على تحويل الأعداد العشرية إلى كسور

أسئلة امتحانات سابقة على تحويل الأعداد العشرية إلى كسور، محلولة ومشروحة بالعربي