شرح تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

Converting Fractions to Decimals

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. What a Fraction Is as a Decimal

الكسر في الحقيقة عملية قسمة: البسط مقسومًا على المقام. لذلك يمكن كتابة أي كسر في صورة عدد عشري بقسمة البسط على المقام. البسط هو العدد في الأعلى، والمقام هو العدد في الأسفل. احفظ جيدًا الكسور المشهورة في الجدول (النصف والربع وثلاثة الأرباع والخُمس والعُشر) مع صورها العشرية. وتذكّر: كل كسر أصغر من الواحد يعطي عددًا عشريًا أصغر من الواحد، يبدأ بصفر ثم الفاصلة.

A fraction is a division. $\frac{3}{4}$ means 3 divided by 4, and that is 0.75.

Formula

\frac{top}{bottom} = top \div bottom

The top number is the numerator. The bottom number is the denominator. Learn these by heart:

Fraction	Decimal
$\frac{1}{2}$	0.5
$\frac{1}{4}$	0.25
$\frac{3}{4}$	0.75
$\frac{1}{5}$	0.2
$\frac{1}{10}$	0.1

Key idea

Every fraction less than 1 gives a decimal less than 1. It starts with 0 and a point.

2. Tenths and Hundredths

إذا كان المقام عشرة أو مئة فاقرأ العدد العشري مباشرة. المقام عشرة يعني أعشارًا: رقم واحد بعد الفاصلة العشرية. المقام مئة يعني أجزاء من مئة: رقمان بعد الفاصلة. فإذا كان البسط رقمًا واحدًا والمقام مئة، نضع صفرًا في خانة الأعشار أولًا ثم الرقم. الخطأ الشائع: نسيان هذا الصفر، فتكتب أعشارًا بدل أجزاء من مئة وتكون القيمة أكبر بعشر مرات.

The most common 1-mark question: write $\frac{29}{100}$ as a decimal. If the bottom is 10 or 100, just read it off.

Rule

Over 10: one digit after the point. Over 100: two digits after the point.

Worked example

1
$\frac{7}{10} = 0.7$ — Over 10 means tenths. Tenths are the first place after the point, so the 7 goes there.
2
$\frac{29}{100} = 0.29$ — Over 100 means hundredths. That needs two digits after the point, and 29 fills both.
3
$\frac{3}{100} = 0. 03$ — Still hundredths, so two digits. 3 is only one digit, so a zero holds the tenths place.

Common mistake

Writing $\frac{3}{100}$ as 0.3. That is 3 tenths, which is 30 hundredths. Over 100 needs two digits: 0.03.

3. Make the Bottom 10 or 100

إذا لم يكن المقام عشرة أو مئة، فابحث عن عدد تضرب فيه المقام ليصبح عشرة أو مئة. اضرب البسط في العدد نفسه أيضًا حتى تبقى قيمة الكسر كما هي. بعد ذلك اقرأ الناتج: مقام عشرة يعني رقمًا واحدًا بعد الفاصلة، ومقام مئة يعني رقمين. الخطأ الشائع: تغيير المقام وحده؛ ما تفعله بالمقام افعله بالبسط.

The next 1-mark question: write $\frac{9}{20}$ as a decimal. Multiply the top and the bottom by the same number to get 10 or 100.

Worked example

1
$\frac{9}{20} = \frac{9 \times 5}{20 \times 5}$ — 20 × 5 = 100, so multiply by 5. Do it to the top too, so the fraction keeps its value.
2
$= \frac{45}{100}$ — 9 × 5 = 45 on top. The bottom is now 100.
3
$= 0.45$ — Over 100 means hundredths: read off two digits after the point.

Worked example

1
$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2}$ — 5 × 2 = 10, so multiply the top and the bottom by 2.
2
$= \frac{8}{10}$ — 4 × 2 = 8 on top. The bottom is now 10.
3
$= 0.8$ — Over 10 means tenths: one digit after the point.

Common mistake

Only changing the bottom. $\frac{9}{20}$ is not $\frac{9}{100}$ . Whatever you do to the bottom, do to the top.

4. Divide Top by Bottom

عندما لا يمكن تحويل المقام إلى عشرة أو مئة (مثل الأثمان)، اقسم البسط على المقام قسمة مطوّلة. أضف أصفارًا بعد الفاصلة العشرية للبسط؛ فهي لا تغيّر قيمته لكنها تعطيك أرقامًا تواصل بها القسمة. في كل خطوة: كم مرة يدخل المقام، ثم انقل الباقي إلى الصفر التالي، وتوقف عندما يصبح الباقي صفرًا. اقرأ الأرقام بالترتيب بعد الفاصلة. اختصار مفيد: احفظ قيمة الثُّمن العشرية ثم اضربها في البسط. الخطأ الشائع: كتابة البسط والمقام كأنهما رقمان حول فاصلة؛ خط الكسر يعني القسمة.

The 1-mark question with eighths: write $\frac{5}{8}$ as a decimal. 8 does not go into 10 or 100, so divide.

Worked example

1
$\frac{5}{8} = 5 \div 8$ — The fraction line means divide the top by the bottom.
2
$5.000 \div 8$ — Write 5 as 5.000. The zeros do not change its value, but they give you digits to divide into.
3
$5 \div 8 = 0 r 5$ — 8 does not go into 5, so the answer starts 0. and the 5 is carried.
4
$50 \div 8 = 6 r 2$ — 8 × 6 = 48, so 6 with 2 left. 6 is the first digit after the point.
5
$20 \div 8 = 2 r 4$ — Carry the 2 onto the next 0 to make 20. 8 × 2 = 16, so 2 with 4 left.
6
$40 \div 8 = 5 r 0$ — Carry the 4 to make 40. 8 × 5 = 40 exactly. Nothing is left, so stop.
7
$\frac{5}{8} = 0. 625$ — Read the digits in order after the point.

Key idea

A shortcut: $\frac{1}{8} = 0.125$ , so $\frac{5}{8} = 5 \times 0.125 = 0.625$ .

Common mistake

Writing $\frac{5}{8}$ as 5.8 or 0.58. The fraction line means divide, not a decimal point.

5. Fractions Bigger Than 1

إذا كان الكسر أكبر من الواحد، فالعدد الصحيح يوضع قبل الفاصلة العشرية. في العدد الكسري: افصل العدد الصحيح، وحوّل الكسر وحده إلى عدد عشري، ثم أعد العدد الصحيح أمام الفاصلة. وفي الكسر غير الحقيقي: اقسم البسط على المقام لتعرف عدد المرات الكاملة والباقي، فتحصل على عدد كسري، ثم حوّل الكسر الباقي. الخطأ الشائع: كتابة البسط والمقام رقمين بعد الفاصلة؛ هما كسر يجب تحويله أولًا.

Some questions give a fraction bigger than 1, like $2 \frac{3}{5}$ or $\frac{11}{4}$ . The whole number goes in front of the point.

Worked example

1
$2 \frac{3}{5} = 2 + \frac{3}{5}$ — A mixed number is a whole number plus a fraction. Change the fraction on its own.
2
$\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ — Multiply the top and the bottom by 2, because 5 × 2 = 10 and tenths are easy to read.
3
$\frac{6}{10} = 0.6$ — Over 10 means one digit after the point.
4
$2 + 0.6 = 2.6$ — Put the whole number back in front of the point.

Worked example

1
$\frac{11}{4} = 11 \div 4$ — The top is bigger than the bottom, so the answer will be bigger than 1.
2
$11 \div 4 = 2 r 3$ — 4 goes into 11 2 whole times with 3 left, so $\frac{11}{4} = 2 \frac{3}{4}$ .
3
$\frac{3}{4} = 0.75$ — A fraction you know by heart from the first card.
4
$\frac{11}{4} = 2 .75$ — The 2 goes in front of the point and 0.75 after it.

Common mistake

Writing $2 \frac{3}{5}$ as 2.35. The 3 and 5 make a fraction, not two digits. $\frac{3}{5} = 0.6$ , so the answer is 2.6.

6. Will the Decimal Stop?

قد يسألك الامتحان: أي كسر يعطي عددًا عشريًا منتهيًا (يتوقف)؟ تستطيع أن تعرف بدون قسمة. أولًا بسّط الكسر، ثم حلّل المقام إلى عوامله الأولية. إذا كانت العوامل اثنين وخمسة فقط فالعدد العشري ينتهي، وإذا ظهر أي عدد أولي آخر مثل ثلاثة أو سبعة فهو لا ينتهي. لا تنسَ التبسيط أولًا، فقد يختفي العامل المزعج. وإذا لم ينتهِ، فاقسم كالمعتاد وستلاحظ أن الباقي نفسه يعود، فيتكرر الرقم نفسه: هذا عدد عشري دوري، وقرّبه إذا طُلب منك. الخطأ الشائع: الخلط بين الثلثين وكسر آخر قريب منه.

A question may list fractions and ask which one gives a decimal that stops (a terminating decimal). You can tell without dividing.

Rule

First simplify the fraction. Then split the bottom number into primes. Only 2s and 5s: the decimal stops. Any other prime, like 3 or 7: it goes on for ever.

Worked example

1
$\frac{5}{6} : 6 = 2 \times 3$ — The bottom has a 3, so $\frac{5}{6}$ goes on for ever.
2
$\frac{4}{9} : 9 = 3 \times 3$ — Only 3s. This one goes on for ever too.
3
$\frac{7}{12} : 12 = 2 \times 2 \times 3$ — The 2s are fine, but the 3 makes it go on for ever.
4
$\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ — 15 has a 3, but simplify first: divide the top and the bottom by 3. The 3 cancels.
5
$\frac{3}{5} = 0.6$ — The bottom is now only a 5, so the decimal stops. $\frac{9}{15}$ is the answer.

When it does not stop, divide as usual and watch the remainder come back.

Worked example

1
$2 \div 3 = 0 r 2$ — 3 does not go into 2, so the answer starts 0. and the 2 is carried.
2
$20 \div 3 = 6 r 2$ — 3 × 6 = 18, so 6 with 2 left.
3
$20 \div 3 = 6 r 2$ — Carry the 2 again: the same 20, the same 6. It will repeat for ever.
4
$\frac{2}{3} = 0. 666 \dots$ — A recurring decimal. If the question asks you to round, write 0.667 (3 decimal places).

Common mistake

Writing $\frac{2}{3}$ as 0.6. That is $\frac{3}{5}$ . Two thirds is 0.666...

7. Fractions and Decimals Together

في سؤال يخلط كسرًا وعددًا عشريًا (جمع أو طرح أو إيجاد العدد الذي في المنتصف)، حوّل الكسر إلى عدد عشري أولًا، غالبًا بجعل المقام مئة. بعدها اجمع أو اطرح مع ترتيب الفواصل العشرية تحت بعضها. الفرق يعني الأكبر ناقص الأصغر. ولإيجاد المنتصف بين عددين: اجمعهما ثم اقسم المجموع على اثنين، وتحقّق أن المسافة من الجهتين متساوية. اكتب كل سطر، فإحدى الدرجتين على خطوات الحل. الخطأ الشائع: نسيان القسمة على اثنين عند المنتصف.

The 2-mark question mixes a fraction and a decimal: add them, subtract them, or find the number halfway between. Change the fraction to a decimal first.

Worked example

1
$\frac{11}{20} + 0.68$ — The question. You cannot add a fraction and a decimal as they are, so make both decimals.
2
$\frac{11}{20} = \frac{11 \times 5}{20 \times 5}$ — Multiply the top and the bottom by 5, because 20 × 5 = 100.
3
$= \frac{55}{100} = 0.55$ — 55 hundredths is 0.55: two digits after the point.
4
$0.55 + 0.68 = 1.23$ — Now both are decimals, so add them. Line up the points.

Worked example

1
$halfway between \frac{3}{25} and 0.48$ — The question. Halfway means the middle of the two numbers.
2
$\frac{3}{25} = \frac{3 \times 4}{25 \times 4}$ — Multiply the top and the bottom by 4, because 25 × 4 = 100.
3
$= \frac{12}{100} = 0.12$ — 12 hundredths is 0.12.
4
$0.12 + 0.48 = 0.6$ — Add the two numbers.
5
$0.6 \div 2 = 0.3$ — Halve the total to land exactly in the middle.
6
$0.3 - 0.12 = 0.18, 0.48 - 0.3 = 0.18$ — Check: the gap on each side is the same, so 0.3 really is halfway.

Worked example

1
$difference between \frac{17}{20} and 0.59$ — The question. Difference means the bigger number minus the smaller one.
2
$\frac{17}{20} = \frac{85}{100} = 0.85$ — Multiply the top and the bottom by 5, because 20 × 5 = 100.
3
$0.85 - 0.59 = 0.26$ — 0.85 is bigger than 0.59, so take 0.59 away from it.

Key idea

Show every line. One of the 2 marks is for the working, like $0.55 + 0.68$ , so you can still score if the last sum slips.

Common mistake

Forgetting to halve. Adding gives 0.6, but halfway is the middle, so divide by 2.

8. Which Method? Read the Question

انظر إلى المقام أولًا. إذا كان عشرة أو مئة فاقرأ الجواب مباشرة. إذا كان عددًا يمكن تحويله بالضرب إلى عشرة أو مئة فافعل ذلك. وإذا لم يمكن ذلك، كالأثمان، فاقسم البسط على المقام. عند الجمع أو الطرح أو المنتصف حوّل الكسر إلى عشري أولًا. في العدد الكسري ضع العدد الصحيح قبل الفاصلة. ولمعرفة إن كان العدد العشري ينتهي، بسّط ثم ابحث عن اثنين وخمسة فقط في المقام. الكسر الذي لا ينتهي تقسمه فيتكرر رقم. وباقي الأنواع (التحويل العكسي، الترتيب، النسب المئوية) لها دروسها الخاصة. تحقّق دائمًا من الحجم: كسر أكبر قليلًا من النصف يعطي عددًا عشريًا أكبر قليلًا من نصف.

Look at the bottom number first.

You see	You do
bottom is 10 or 100	read it off: tenths or hundredths
bottom is 2, 4, 5, 20, 25, 50	make the bottom 10 or 100
bottom is 8 or 40	divide top by bottom
add, subtract, or halfway between	fraction to decimal first
write 0.23 as a fraction	Converting Decimals to Fractions
a mixed number, or top bigger than bottom	whole number in front of the point
which fraction gives a decimal that stops?	simplify, then look for only 2s and 5s on the bottom
write $\frac{2}{3}$ as a decimal	divide: the 6 repeats, 0.666...
write 0.666... as a fraction	Recurring Decimals (Extended)
put fractions and decimals in order	Ordering Values
write it as a percentage	Introduction to Percentages

Key idea

Check the size. $\frac{5}{8}$ is a bit more than a half, so its decimal must be a bit more than 0.5.

تدرّب على تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

1. What a Fraction Is as a Decimal

2. Tenths and Hundredths

3. Make the Bottom 10 or 100

4. Divide Top by Bottom

5. Fractions Bigger Than 1

6. Will the Decimal Stop?

7. Fractions and Decimals Together

8. Which Method? Read the Question

تدرّب على تحويل الكسور إلى أعداد عشرية

أسئلة امتحانات سابقة على تحويل الكسور إلى أعداد عشرية، محلولة ومشروحة بالعربي