شرح الإحداثيات وتحديد النقاط

Coordinates and Plotting Points

يأتي في امتحانات Edexcel IGCSE Maths 4MA1 · Cambridge IGCSE Maths 0580 · Cambridge O Level Maths 4024

الشرح بالعربية، والرياضيات كما تظهر في ورقة الامتحان بالإنجليزية، لأن الامتحان بالإنجليزية.

1. Across, Then Up

الإحداثيات زوج من الأعداد يحدد نقطة واحدة على الشبكة. العدد الأول هو الإحداثي السيني: كم تتحرك أفقيًا. والعدد الثاني هو الإحداثي الصادي: كم تصعد أو تنزل. نبدأ دائمًا من نقطة الأصل حيث يتقاطع المحوران. الموجب يعني يمينًا أو أعلى، والسالب يعني يسارًا أو أسفل. وللتذكّر: امشِ في الممر أولًا ثم اصعد الدرج، أي أفقيًا ثم رأسيًا. وسمّيت الإحداثيات الديكارتية باسم الفيلسوف الفرنسي ديكارت الذي نشر الفكرة في القرن السابع عشر، ووصل إليها فيرما وحده في الوقت نفسه تقريبًا.

A coordinate is a pair of numbers that fixes one point on a grid. The first number is x: how far across. The second is y: how far up or down.

Start at the origin $(0, 0)$ , where the two axes cross. Minus means left or down.

Number	Tells you
First (x)	right if plus, left if minus
Second (y)	up if plus, down if minus

Memory trick

Along the corridor, then up the stairs: across first, then up.

Key idea

“Cartesian coordinates” are named after the French thinker René Descartes, who published the idea in 1637. Pierre de Fermat found it on his own at about the same time. The neat x and y axes you use were developed later by those who translated Descartes' book.

2. Writing Down Coordinates

في سؤال الدرجة الواحدة يُطلب كتابة إحداثيات نقطة. ابدأ من نقطة الأصل وانظر أفقيًا أولًا: كم مربعًا يمينًا (موجب) أو يسارًا (سالب)؛ هذا هو الإحداثي السيني. ثم انظر رأسيًا: كم مربعًا إلى أعلى (موجب) أو إلى أسفل (سالب)؛ هذا هو الإحداثي الصادي. اكتب العدد الأفقي أولًا ثم الرأسي، بين قوسين وبينهما فاصلة. والخطأ الشائع عكس الترتيب، فتحصل على نقطة مختلفة تمامًا. والنقطة الواقعة على أحد المحورين يكون أحد إحداثييها صفرًا، فانتبه في أي مكان تضعه.

The 1-mark question: “Write down the coordinates of A.” Read across first, then up.

Worked example

1
$x = - 3$ — Start at the origin and look along the x-axis. A is 3 squares left, and left means minus.
2
$y = 2$ — Now look up or down. A is 2 squares above the x-axis, and up means plus.
3
$A = (- 3, 2)$ — Write the across number first, then the up number, in brackets with a comma. Everyone reads coordinates in that order.

Common mistake

Writing (2, −3). The order matters: (2, −3) is a different point, in another corner of the grid.

Key idea

A point on an axis has a 0 in it. A point on the y-axis 4 up is $(0, 4)$ , not $(4, 0)$ .

3. Marking a Point

في سؤال الدرجة الواحدة يُطلب تحديد نقطة على الشبكة بعلامة ضرب صغيرة وكتابة اسمها. اقرأ الزوج: العدد الأول للحركة الأفقية والثاني للحركة الرأسية. ابدأ من نقطة الأصل، وتحرك يمينًا إذا كان العدد الأول موجبًا أو يسارًا إذا كان سالبًا. ثم من هناك اصعد إذا كان العدد الثاني موجبًا أو انزل إذا كان سالبًا. ارسم علامة صغيرة على تقاطع خطوط الشبكة تمامًا، واكتب اسم النقطة بجانبها. والخطأ الشائع استعمال العددين بالترتيب المعكوس؛ العدد الأول دائمًا للحركة الأفقية.

The 1-mark question: “Mark with a cross the point $(4, - 3)$ . Label it T.”

Worked example

1
$(4, - 3)$ — Read the pair. The first number is across, the second is up or down.
2
$4 right$ — Start at the origin. 4 is plus, so go 4 squares right along the x-axis.
3
$3 down$ — From there, the minus in −3 means go 3 squares down.
4
$\times T$ — Draw a small cross exactly where the grid lines meet, then write T next to it. The centre of the cross is the point, and the label shows which point it is.

Common mistake

Using the numbers the wrong way round. Going 3 left and 4 up plots $(- 3, 4)$ , a different point. The first number is always across.

4. The Missing Corner

في سؤال الدرجة الواحدة تُعطى ثلاثة رؤوس لمستطيل أضلاعه على خطوط الشبكة، والمطلوب الرأس الرابع. ارسم الرؤوس أولًا بترتيب حروفها، فالرأس الأخير يتصل بالرأس الأول. الرأس المجهول يقع تحت الرأس الأول أو فوقه مباشرة، والنقاط الواقعة على خط رأسي واحد لها الإحداثي السيني نفسه، فخذه من الرأس الأول. وهو أيضًا على مستوى الرأس الثالث، والنقاط على خط أفقي واحد لها الإحداثي الصادي نفسه، فخذه من الرأس الثالث. ثم اجمع الإحداثيين وتحقق أن الأضلاع الأربعة تغلق المستطيل.

The 1-mark question: “PQRS is a rectangle. Find the coordinates of S.” A rectangle's sides here run along the grid lines.

Worked example

1
$P (- 2, 3), Q (3, 3), R (3, - 1)$ — The three corners you have. Sketch them with the letters in order: P, Q, R, then S joins back to P.
2
$S is below P : x = - 2$ — PS is an upright side, like QR. Points straight above or below each other have the same across number, so S takes P's x.
3
$S is level with R : y = - 1$ — RS is a flat side, like PQ. Points level with each other have the same up number, so S takes R's y.
4
$S = (- 2, - 1)$ — Put x and y together. Check: S is below P and level with R, so the four sides close the rectangle.

Key idea

Sketch it first. Your fourth corner must close the shape with the letters in order round it.

5. Corner of a Parallelogram

بعض الأسئلة تستعمل متوازي أضلاع أو معينًا، فتكون الأضلاع مائلة ولا يكفي نسخ إحداثي من رأس آخر. القاعدة: الضلعان المتقابلان متوازيان ومتساويان، فلهما الخطوة نفسها أفقيًا ورأسيًا. ارسم الرؤوس الثلاثة بترتيب حروفها، ثم احسب الخطوة على أحد الأضلاع المعروفة (انتبه إلى طرح السالب). الضلع المقابل له يبدأ من الرأس المجاور للرأس المجهول، فأضف الخطوة الأفقية إلى إحداثيه السيني والرأسية إلى إحداثيه الصادي. وتحقق أن الزوج الآخر من الأضلاع المتقابلة له الخطوة نفسها أيضًا. والخطأ الشائع إضافة الخطوة إلى الرأس الخطأ، فلا ينغلق الشكل. والمعين متوازي أضلاع، فيُحل بالطريقة نفسها.

Some questions use a parallelogram or a rhombus, so the sides are slanted. Use this when copying an x and a y does not work.

Rule

Opposite sides of a parallelogram are parallel and the same length. So they are the same step: the same number across and the same number up.

Worked example

1
$A (- 3, - 1), B (2, - 1), C (4, 3)$ — ABCD is a parallelogram. Sketch the three corners: the letters go round in order, so D joins on to A and to C.
2
$B \to C : + 2 across, + 4 up$ — Count the step from B to C: 4 − 2 = 2 across and 3 − (−1) = 4 up.
3
$A \to D is the same step$ — AD is the side opposite BC. Opposite sides match, so going from A to D is the same step.
4
$x : - 3 + 2 = - 1$ — Add the across step to A's x.
5
$y : - 1 + 4 = 3$ — Add the up step to A's y.
6
$D = (- 1, 3)$ — Check: D to C is 5 across and 0 up, the same step as A to B. So both pairs of opposite sides match.

Common mistake

Adding the step to C. That gives (6, 7), which does not close the shape. D sits next to A, so start from A.

Key idea

A rhombus is a parallelogram with four equal sides, so its missing corner is found the same way.

6. Which Method? Read the Question

الفعل في السؤال يخبرك ماذا تفعل. «اكتب الإحداثيات»: اقرأ أفقيًا ثم رأسيًا. «حدّد النقطة بعلامة»: تحرّك أفقيًا ثم رأسيًا ثم اكتب اسمها. «أوجد الرأس الرابع»: ارسم الشكل وانسخ الإحداثي السيني من رأس والصادي من رأس آخر. رأس متوازي أضلاع أو معين: انسخ خطوة الضلع المقابل. أما الميل والأقطار والطائرة الورقية ونقطة المنتصف فلها دروس أخرى. واكتب الإحداثيات دائمًا بين قوسين بينهما فاصلة، والعدد السيني أولًا، لأن نموذج التصحيح يريد العددين بالترتيب الصحيح.

The command word tells you which way to go.

You see	You do
“Write down the coordinates”	read across, then up
“Mark with a cross”	go across, then up, then label
“Find the fourth corner”	sketch the shape, copy an x and a y
Parallelogram or rhombus corner	copy the step of the opposite side
Gradients, diagonals or a kite	Coordinate Geometry of Shapes
The middle of two points	Length of a Line Segment

Key idea

Brackets and a comma every time: (x, y). The mark scheme wants both numbers in the right order.

تدرّب على الإحداثيات وتحديد النقاط

أسئلة امتحانات حقيقية تُصحَّح كما يصحّحها الممتحِن، مع شرح بالعربية لكل سؤال.

تدرّب مجاناً على Lemmara

شرح الإحداثيات وتحديد النقاط

1. Across, Then Up

2. Writing Down Coordinates

3. Marking a Point

4. The Missing Corner

5. Corner of a Parallelogram

6. Which Method? Read the Question

تدرّب على الإحداثيات وتحديد النقاط

أسئلة امتحانات سابقة على الإحداثيات وتحديد النقاط، محلولة ومشروحة بالعربي